精9北师大版（2024）七年级数学下册第一章《整式的乘除》1.3平方差公式_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（2025春季新版）持续更新

《整式的乘除》分课时教学设计 第9课时平方差公式教学设计 课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级 （下）第一章《整式的运算》第七节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既 是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基 础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。 本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学 生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式 乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习 可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。 学习者分析 学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并 经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。学生已经具备了小组合 作、交流的能力。学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识 结构，通过创造问题情境，让学生在探究相应问题，建立并运用公式从而拓展学生 知识技能结构成为可能. 学生活动经验基础：通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要 性，同时，有了对式的运算要求既快又准的积极心理，学生已具备学习公式的知识 与技能结构，通过新课程教学的实施，学生已具有独立探索，合作交流的习惯。因 而为学生独立探索，合作交流得出并运用平方差公式奠定了基础。由于学生初次学 习公式，只有原始的的换元思想，同时，在运用公式时，认清结构不容易，而且本 课节所学的公式运用仅是局部的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应 在今后的教学中采取滚动式，逐步达到灵活运用的目的，使之与学生的知识结构同 步发展完善 教学目标 (1)知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能 力；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。 (2)过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中探索平方差公式的 结构特征，发展学生的符号感和推理能力.通过设问，培养学生观察、归纳、概括 等能力. (3)情感与态度：在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学 语言的简捷美. 教学重点 （1）弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； （2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。 教学难点 准确理解和掌握公式的结构特征 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：回顾与思考 教师活动1： 学生活动1： 1.多项式与多项式是如何相乘的？ 计算、观察、比 较发现平方差公 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 式。 2.计算下列多项式的积，看谁算的又对又快观察上述计算结果有什么特征？ 是否每个式子的计算结果都有这种特征？ 活动意图说明： 通过复习引入，让学生在数学活动中建立平方差公式模型。 环节二：探究平方差公式 教师活动2： 学生活动2： (a+b) (a-b)= a2 - b2 1、平方差公式 1、在探究学习 中体会数学的现 平方差公式的结构特征： 实意义，培养学 (1）等式左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项 习数学的信心. 互为相反数。 2、分析平方差 （2）等式右边是乘式中两项的平方差（即相同项的平方减去相反项的平方）。 公式的结构特 （3）公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式。 征。 2、探究平方差公式的几何意义 2、利用求面积 （1）图1-7中阴影部分的面积是 验证平方差公式 的正确性。 （2）把图1-7剪拼成图1-8，与1- 8 阴影部分的面积是：（a+b)(a-b） 活动意图说明： 培养观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力; 环节三：典例精析 教师活动3： 学生活动3： 例1：利用平方差公式计算 自学例题，提出 质疑。 例2：利用平方差公式计算例3：利用平方差公式计算 （1） 103×97 ； （2）118×122 例4：利用平方差公式计算 活动意图说明： 平方差公式的应用，发散学生的思维，为学有余力的学生提供学习提升的机会。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.利用平方差公式计算 (2)(x y)(x y) (1)(mn)(nm) 解：（-原y）2x式2 解m：2n2 原式 y2x2 解：（2a原）232式 解：(x2)原2(y2)式2 4a29 x4y4解：（-原y）2x式2 解m：2n2 原式 y2x2 解：（2a原）232式 解：(x2)原2(y2)式2 4a29 x4y4  3  x2  y2  x2  y2  (4)(3  2a)(2a  3) 2.下列各式中,能用平方差公式运算的是( ) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c) 3.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) 4.下列各式中，运算结果是 a2−16b4 的是 (C) A. (−4b2+a)(−4b2+a) B. (a+2b2)(a−8b2) C. (−4b2−a)(4b2−a) D. (−4b2+a)(4b2−a) 5. 计算 (x−1)(x+1)(x2+1) 结果正确的是 (A) A. x4−1 B. x4+1 C. (x−1) 4 D. (x+1) 4 6. 若 (2a+3b)()=4a2−9b2，则括号内应填的代数式是 (C) A. −2a−3b B. 2a+3b C. 2a−3b D. 3b−2a 选做题：  1 1 1 x x2  x   2 4 2  1 1 1 x x x2    2 2 4  1 1 x2  x2    4 4 1 x4  16 8.你能计算出 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (2128+1) 的结果吗 【综合拓展类作业】 9. （1）用简便方法计算：2012×2014−20132．（2）先化简，再求值：(x+ y)(2x−y)−(x+2y)(x−2y)，其中 x=3，y=4． （3）计算：(m+2n)(m−2n)(m2+4n2) 参考答案：（1） −1． （2） 原式=x2+xy+3 y2， 当 x=3，y=4 时，值为 69． （3） m4−16n4． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列各式中，运算结果是 9m2−16n2 的是 (C) A. (3m+2n)(3m−8n) B. (−4n+3m)(−4n−3m) C. (−3m+4n)(−3m−4n) D. (4n+3m)(4n−3m) 2. 若 (2a+3b)()=4a2−9b2，则括号内应填的代数式是 (C) A. −2a−3b B. 2a+3b C. 2a−3b D. 3b−2a 3. 对于任意正整数 m，能整除式子 (m+2)(m−2)−(m+3)(m−3) 的整数是 (D) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 12−22+32−42+52−62+⋯+20192−20202 的计算结果的个位数字是 (D) A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 5. 一个正方形的边长增加了 3cm，面积相应增加了 39cm2，则原来这个正方形 的边长为 5 cm． 2021 6. 已知 m+n=2020，m−n= ，则 m2−n2−1 的值为 202 0 2020 选做题： 7. 阅 读 材 料 后 解 决 问 题 ： 小 明 遇 到 下 面 一 个 问 题 ： 计 算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后 可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(2+1)(2−1)(22+1)(24+1)(28+1) ¿ =(24−1)(24+1)(28+1) ¿ =216−1. 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)= ． （2）(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)= ． （3）化简：(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)．332−1 参考答案：（1） 232−1 （2） 2 （3） 当 m≠n 时， 1 原式 = (m−n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16) m−n ¿ ¿ 当 m=n 时，原式=2m⋅2m2 ⋯2m16=32m31. 【综合拓展类作业】 教学反思