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1.2 一定是直角三角形吗
2大知识点（基础）+能力提升练（7道）+拓展培优练（3道）
一、勾股数问题
1．能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（
）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41
2．下列几组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，❑√1，❑√2
3．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．20，21，29 C．7，24，25 D．8，11，15
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、
B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（ ）
A．13 B．11 C．8 D．6
5．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数
a2
a(a≠1)，b，当a为偶数， =b+b+2，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶
2
数，且其中一个数为8，则b对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）．
6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，
则2n，n2-1，n2+1为勾股数．例如：当n=2时，2n=4，n2-1=3，n2+1=5．
∵32+42=52，
∴数据3，4，5是勾股数．对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵n>1，
∴n2+1-2n=(n-1) 2>0，
∴n2+1① 2n．（填“>”或“<”）
∵n2+1-(n2-1)=2>0，
∴n2+1>n2-1．
∵(n2-1) 2 +(2n) 2=② =③ ，(n2+1) 2 =④ ，
∴(n2-1) 2 +(2n) 2=(n2+1) 2 ，
∴2n,n2-1,n2+1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a，b为勾股数，且a<b，求a，b的值．
二、利用勾股定理逆定理求解
1．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面
积．
2．如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB=90°，AD=9cm，BD=12cm．
(1)求AB的长；
(2)若BC=36cm，AC=39cm，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘时，AB=BC=3❑√2，CD=8,AD=10．(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
4．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，
BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
1．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，BC=8，将△ABC沿直线AC向右平移3个单
位长度得到△DEF，连接BD，则下列结论：①AB∥DE，AB=DE；②ED⊥DF；③四边形ABDF的
15
周长是27；④点A到直线DF的距离是 ．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
23．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是边BC上的一点．连接AD，作
DE⊥AB于点E，则AD+DE的最小值是 ．
4．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．求图中阴影部分的面积．
5．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：
1 3
a 3 8 24 48 …
5 5
1
b 4 6 8 10 14 …
2
1 3
c 5 10 26 50 …
7 7
(1)当b=90时，直接写出a的值；
(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理
由；
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的
另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，
则2n，n2-1，n2+1为勾股数．例如：当n=2时，2n=4，n2-1=3，n2+1=5．∵32+42=52，∴数据3，4，5是勾股数．
对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵n>1，
∴n2+1-2n=(n-1) 2>0，
∴n2+1 ① 2n．（填“>”或“<”）
∵n2+1-(n2-1)=2>0，
∴n2+1>n2-1．
∵(n2-1) 2 +(2n) 2= ② = ③ ，(n2+1) 2 = ④ ，
∴(n2-1) 2 +(2n) 2=(n2+1) 2 ，
∴2n，n2-1，n2+1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a,b为勾股数，且a<b，求a,b的值．
7．观察下列等式：
第1个等式 (22-1) 2 +42=(22+1) 2
第2个等式 (32-1) 2 +62=(32+1) 2
第 3个等式 (42-1) 2 +82=(______) 2
第 4个等式 (52-1) 2 +102=(52+1) 2
…… ……
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： =(n2+1) 2 ；
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角
边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．1．2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的
热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路
线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB=160m，
AC=200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更
短．
2．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，BD=9．点E从D点沿射线DC向右以2个单位/秒的速度匀
速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运动，当点F到达终点D时，点E也立
即停止运动，连接AE、AF，设点F运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，AD是△AEF的中线？
(2)当t=1时，判断△AEF的形状，并说明理由；
(3)是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理
由．
3．已知：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1)设a<b<c，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数；当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ；
当a为偶数时，如①16，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ；
(2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完
整的猜想并验证这一猜想是否正确．
