文档内容
1.2 一定是直角三角形吗
2大知识点（基础）+能力提升练（7道）+拓展培优练（3道）
一、勾股数问题
1．能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（
）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41
2．下列几组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，❑√1，❑√2
3．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，12，13 B．20，21，29 C．7，24，25 D．8，11，15
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、
B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（ ）
A．13 B．11 C．8 D．6
5．勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数
a2
a(a≠1)，b，当a为偶数， =b+b+2，则a，b，b+2为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的a为偶
2
数，且其中一个数为8，则b对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）．
6．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，
则2n，n2-1，n2+1为勾股数．例如：当n=2时，2n=4，n2-1=3，n2+1=5．
∵32+42=52，
∴数据3，4，5是勾股数．对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明：
∵n>1，
∴n2+1-2n=(n-1) 2>0，
∴n2+1① 2n．（填“>”或“<”）
∵n2+1-(n2-1)=2>0，
∴n2+1>n2-1．
∵(n2-1) 2 +(2n) 2=② =③ ，(n2+1) 2 =④ ，
∴(n2-1) 2 +(2n) 2=(n2+1) 2 ，
∴2n,n2-1,n2+1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a，b为勾股数，且a1，
∴n2+1-2n=(n-1) 2>0，
∴n2+1 ① 2n．（填“>”或“<”）
∵n2+1-(n2-1)=2>0，
∴n2+1>n2-1．
∵(n2-1) 2 +(2n) 2= ② = ③ ，(n2+1) 2 = ④ ，
∴(n2-1) 2 +(2n) 2=(n2+1) 2 ，
∴2n，n2-1，n2+1为勾股数．
(1)请补全横线上所缺的内容．
(2)若数据8，a,b为勾股数，且a1)的等式表示上述规律： =(n2+1) 2 ；
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角
边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．1．2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的
热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路
线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB=160m，
AC=200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的正北方50m处．
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更
短．
2．如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，BD=9．点E从D点沿射线DC向右以2个单位/秒的速度匀
速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运动，当点F到达终点D时，点E也立
即停止运动，连接AE、AF，设点F运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，AD是△AEF的中线？
(2)当t=1时，判断△AEF的形状，并说明理由；
(3)是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理
由．
3．已知：满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1)设a
