文档内容
1.2 直角三角形
课堂知识梳理
1.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的 平方和 等于 斜边 的平方．
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三
角形 ．
3.命题与定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这
两个命题成为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命
题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
4.直角三角形全等
斜边及一直角边对应 相等的两个直角三角形全等（HL）
要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边
的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平
方”．
②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（湖北武汉市东湖高新区2022--2023学年七年级上学期数学期末考试）将两个三角板
按如图所示的位置摆放，已知∠α=36°，则∠β=（ ）
A．69° B．36° C．54° D．121°
2．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①
一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应
相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
1A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
3．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的
是（ ）
A．两个内角互余 B．∠B+∠A=∠C
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A:∠B:∠C=2:3:5
4．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．有两边对应相等的直角三角形全等
5．（2023春·八年级单元测试）如图，已知∠A=90°，AC=AB=3，CD=√2，
BD=2√5，则点C到BD的距离为（ ）．
2√5 3√5 3√3 4√3
A． B． C． D．
5 5 5 5
6．（2023春·八年级单元测试）如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，
CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．92m2 B．93m2 C．96m2 D．90m2
7．（2019春·山东东营·七年级统考期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的RtΔABC，
要求点C也在格点上，这样RtΔABC的能做出（ ）
2A．3个 B．4个 C．5 个 D．6个
8．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）有下列说法：
①一个直角三角形的两条直角边长分别为1，√3，则它的斜边长是2；
②一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；
③“一个三角形的三条边长分别是2，3，4．因为22+32≠42，所以这个三角形不是直角三
角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上一
点，连接CD，BD=5，DC=12，BC=13，则AB=________．
10．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C=55°，
点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E=30°，则∠CFE的度数为 __．
11．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若a、b、c为△ABC的三边长，
且满足(a−12) 2+√b−13+|c−5|=0，则△ABC是______三角形．
12．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，将长方形ABCD沿对角线
BD折叠，使点C恰好落在点C 的位置，若∠DBC=20°，则∠ADC = _______°．
1 1
13．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，
△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．
314．（2022秋·广西河池·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，△ABC的高
AD，BE相交于点F．则∠AFB的度数是__________．
15．（2022秋·福建南平·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中
∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且
垂直于AC射线AX上运动使△ABC和△QPA全等，则AP=_______．
16．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，
BC=13，CD=12，AD=4且 ∠A=90∘，则四边形 ABCD 的面积是___________．
17．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且
a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．
18．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有
两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为
方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条
4路CD，测得CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米．求原来的路线AC的长．
19．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于
D，AC=2，BC=1.5，DB=0.9．
(1)求CD的长；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
培优第二阶——拓展培优练
20．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边
上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD=DE，且∠BDE=2∠ABC，那么
∠CDE的度数是________．
21．（2022秋·广西钦州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，
AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度
为________．
522．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一
点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E．若AE=6cm，则DE的长为 __cm．
23．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，
AB=AD=2√2，CD=3，BC=5，则∠ADC的度数为___________．
24．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若
∠B=55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD=B'D，则∠CAB'=
___________°．
25．（2022秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在直线上依次摆着七个正方形（如图），
已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是
S ，S ，S ，S ，则S +S −S −S = _________．
1 2 3 4 1 2 3 4
26．（2021春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=4，
6BC=4√3，点P在▱ABCD的边上，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为______．
27．（2022秋·江西南昌·八年级校考阶段练习）△ABC中，AB=AC，点D在射线BA上，
且AD=BC，连接CD，若∠BDC=30°，则∠BAC=______．
28．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在△ABC中，AB=CB，
∠BAC=∠BCA，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)求证：AE⊥CF．
29．（2021春·湖南郴州·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
已知平面内两点M(x ,y ),N(x ,y )，则这两点间的距离可用下列公式计算：
1 1 2 2
MN=√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
1 2 1 2
例如：已知P(5,1)、Q(3,−2)，则这两点间的距离为PQ=√(5−3) 2+(1+2) 2=√13， 特
别地，如果两点M(x ,y ),N(x ,y )所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于
1 1 2 2
坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x −x |或MN=|y −y |．
1 2 1 2
(1)已知A(1,4)、B(−2,3)，求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为−1，
求A、B两点间的距离；
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(−1,2)、C(4,2)，你能判定△ABC的形状
吗？请说明理由．
30．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，
7BD=8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接
AE、AF，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，AE=AF；
(2)当t=5时，判断△ABE的形状，并说明理由．
31．（2023春·八年级单元测试）在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接
BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：
BD⊥AF；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2=AE2+BD2，
求证：AB2=AH2+BH2．
8培优第三阶——中考沙场点兵
32．（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
33．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在△ABC中，AD为边BC上的高，
∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．
34．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫
做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
35．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的
边分别为a、b、c．
（1）若a＝6,b＝8,c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
91
(a+b+c)
（3）若 a 2 ，求证：△ABC是直角三角形．
=
a−b+c c
10
