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3整式的乘法（培优）
一、填空题
1．计算：a（a-1）＝ ．
2．课本上，公式(a−b) 2=a2−2ab+b2是由公式(a+b) 2=a2+2ab+b2推导得出的．已知
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，则(a−b) 4= ．
3．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分
别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用
它们拼成一个新的正方形．
4．（x-2）（x+1）= ．
5．若□×3xy=6x3y2，则□内应填的单项式是 ．
6．计算3x2 ⋅2x3的结果等于 ．
二、单选题
7．下列计算结果正确的是（ ）
A．4a+3b=7ab B．3a2b−3b2a=0
C．−3a2×2a3=−6a5 D．4a6÷2a3=2a2
8．如图，由3个长相等、宽不等的小长方形组成一个大的长方形，用a，b，c表示大长方形面积为
（ ）
A．3ac+2bc B．3ab+3ac C．3ab+ac D．3ab+2ac
1 / 69．若x+m与x−3的乘积中不含常数项，则m的值为（ ）
A．−3 B．3 C．0 D．1
10．要使（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，则a的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．13 D．﹣13
11．图1是长为a，宽为b（a>b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长
方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的
面积分别表示为S ，S ，若S=S −S ，且S为定值，则a，b满足的关系是（ ）
1 2 1 2
A．a=4b B．a=3b C．a=2b D．a=b
三、解答题
12．在(x2+ax+b)(2x2−3x−1)的积中，x3项的系数为−5，x2项的系数为−6，求a，b的值．
四、计算题
13．计算：
（1）（a+b2﹣c2）•（﹣2a2）；
3 3 4
（2）( x2+xy− y2 )⋅(− x2y2 ) ；
2 5 3
（3）x•（x2﹣x）+2x2（x﹣1）．
14．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得
到(a+b) 2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
2 / 6（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，则
a2+b2+c2=_____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的
长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+ y+z=_______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，
连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b=12,ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个
“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b) n
（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，
第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，
3，1，恰好对应(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出(a+b) 4的展开式；
（2）利用上面的规律计算：25−5×24+10×23−10×22+5×2−1；
3 / 6（3）(a+b) n的展开式的系数和为 ；
（4）运用：若今天是星期三，经过20242024天后是星期 ．
五、综合题
16．如图，现有一块长为(4a−b)米，宽为(a+2b)米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间
预留部分是边长为a米的正方形．
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若a=3，b=2，绿化成本为20元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
17．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是
长为(a+4b)米，宽为(a+3b)米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的
底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S 和种植区的总面积S ； （请将结果化为最简）
1 2
（2）若a=2，b=4，求出此时种植区的总面积S ．
2
18．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为(3a＋2b)米，宽为(2a＋b)米的长
方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若a=3，b=2，求这两条小路的总面积．
4 / 6答案解析部分
1．【答案】a2-a
【知识点】单项式乘多项式
2．【答案】a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
【知识点】多项式乘多项式
3．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
4．【答案】x2-x-2
【知识点】单项式乘多项式
5．【答案】2x2y
【知识点】单项式乘单项式
6．【答案】6x5
【知识点】单项式乘单项式
7．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
10．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
11．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
12．【答案】a=−1，b=−4
【知识点】多项式乘多项式
13．【答案】（1）解：（a+b2﹣c2）•（﹣2a2）=﹣2a3﹣2a2b2+2a2c2
3 3 4 4 4
（2）解： ( x2+xy− y2 )⋅(− x2y2 ) =﹣2x4y2﹣ x3y3+ x2y4
2 5 3 3 5
（3）解：x•（x2﹣x）+2x2（x﹣1）
=x3﹣x2+2x3﹣2x2
=3x3﹣3x2
【知识点】单项式乘多项式
14．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42
5 / 6【知识点】多项式乘多项式
15．【答案】（1）(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（2）1；
（3）2n；
（4）四．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
16．【答案】（1）(3a2+7ab−2b2)平方米
（2）1220元
【知识点】多项式乘多项式
17．【答案】（1）S =a2＋4ab， S =3ab＋12b2；
1 2
（2）216．
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
18．【答案】（1）(5ab+2b2 )m2
（2）这两条小路的总面积为38m2
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
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