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2021/5/19 备授课-备课页
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
有
例题练习题答案
所
例1 【答案】A
权
练1.1 【答案】（1）是；（2）否；（3）是；（4）否；（5）否
例2 【答案】 2 版
3x −8x−10 = 0，二次项系数3、一次项系数−8，常数项−10
习
练2.1 【答案】D
育
练2.2 【答案】D 学
教 9
例3 【答案】解：∵关于x的 爱 方程(a−3)x|a−1| +(a+1)x−3 = 9 0是一元二次方程
代
5
∴a−3 ≠ 0，|a−1| = 2 6
时
风
∴a = −1
随
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】1或−3
例4 【答案】 2
解：（1）∵x = 25
∴x = 5，x = −5
1 2
2
（2）∵4x = 9
9
2
∴x =
4
3 3
∴x = ，x = −
1 2
2 2
2
（3）∵(x−1) = 3
∴x−1 = √3或x−1 = −√3
有
∴x = 1+√3，x = 1−√3
1 2
所
2
（4）∵(2x+3) = 49
权
∴2x+3 = 7或2x+3 = −7
版
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版
∴x = 2，x = −5
1 2
习
育
练4.1 【答案】 2
解：（1）∵x = 12
学
教 9
∴x = 2√3，x = −2√3
1 爱 2 9
代
5
1
6
（2）∵ x 2 = 5 时
风
3
随
∴x2 = 15
∴x = √15，x = −√15
1 2
1
( )2
（3）∵ x+ = 4
2
1 1
∴x+ = 2或x+ = −2
2 2
3 5
∴x = ，x = −
1 2
2 2
1
( )2
（4）∵ x+3 = 16
2
1 1
∴ x+3 = 4或 x+3 = −4
有
2 2
所
∴x = 2，x = −14
1 2
权
练4.2 【答案】D
版
【解析】移项得x2 = 2，
习
解得x=±√2． 育
学
教 9
例5 (1)【答案】C
爱 9
代
5
(2)【答案】D
6
时
风
(3)【答案】 2
①∵x +2x = 0
随
∴x2+2x+1 = 1即(x+1)2 = 1
∴x+1 = 1或x+1 = −1
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∴x = 0,x = −2
1 2
2
②∵x −4x−1 = 0
2
∴x −4x+4−1 = 4
∴(x−2)2 = 5
∴x−2 = √5或x−2 = −√5
∴x = 2+√5,x = 2−√5
1 2
1
2
③∵ x +2x−5 = 0
3
1 有
( )
∴ x2+6x+9 −5−3 = 0
3 所
1 权
2
∴ (x+3) = 8
版
3
∴x+3 = 2√6或x习+3 = −2√6
育
∴x = −3+学2√6,x = −3−2√6
1 2 教 9
爱 9
2
④∵3x −6x−15 = 0 代
5
( ) 6
∴3 x2−2x+时1 −15−3 = 0
风
2
∴3(x−1) = 18
随
∴x−1 = √6或x−1 = −√6
∴x = 1+√6,x = 1−√6
1 2
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】D
【解析】 2
方程移项得：x −6x = 10
配方得：x
2
−6x+9 =
19，即（x−3）2
= 19
故选D．
能力提高 / 初三 / 暑假
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第 1 讲 一元二次方程初步
有
自我所巩固答案
1 【答案】D 权
2 【答案】B
版
【解析】 2
−2(x−1) = x+3，
习
育
( )
−2 x2−2x+1 = x学+3，
教
9
−2x 2 +4x−2 爱 = x+3， 9
代
5
−2x2+4x−2−x−3 = 0， 6
时
风
2
−2x +3x−5 = 0，
随
2
2x −3x+5 = 0，
则b = −3，c = 5，
故选：B．
3 【答案】B
【解析】一元二次方程有②③，共2个，
故选：B．
4 【答案】C
【解析】 { a−1 ≠ 0
由题意可知：
|a|+1 = 2
∴a = −1
故选：C．
5 【答案】C
有
6 【答案】D
所
7 【答案】B
权
8 【答案】D
版
9 【答案】A
习
10 【答案】 √6 √6 育
x
1
= 1+ ，x
2
=学1−
2 2 教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
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6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 1 讲 一元二次方程初步
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】D
【解析】x(x−9) = −3，
2
x −9x+3 = 0，
所以一次项系数、常数项分别为−9、3，
故选：D．
3 【答案】A
【解析】 m2+1 有2
由(m−1)x −2x−m = 0是关于x的一元二次方程，得m +1 = 2，且m−1 ≠ 0．
所
解得m = −1，
故选：A． 权
4 【答案】D 版
5 【答案】（1）x
1
= x
2
= −5；
习
育
1+√5 学1−√5
教 9
（2）x = ，x = ．
1 2
2爱 2 9
代
5
6
时
能力提高 / 初三风 / 暑假
随
第 1 讲 一元二次方程初步
精选精练
1 【答案】B
【解析】 2
（1）ax +bx+c = 0中，a可能为0，所以不一定是一元二次方程；
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2 2
（2）x −4x = 8+x 化简后只含有一个未知数，是一元一次方程；
( )
（3）1+(x−1)(x+1) = 0和（4） k2+1 x2+kx+1 = 0符合定义，是一元二次方程．
一元二次方程的个数为2个．
故选：B．
2 【答案】C
有
【解析】(x+1)(2x−3) = 1，
所
2
整理得2x −x−4 = 0，
权
则a = 2，b = −1，c = −4，
版
故选：C．
习
3 【答案】−2 育
学
【解析】∵方程3x2−5x+2 = 0的一个根是 教 a， 9
爱 9
∴3a 2 −5a+2 = 0， 代 5
6
时
2
∴3a −5a = −2， 风
( )
∴6a2−10a+2 = 2 3a2−5a 随+2 = −2×2+2 = −2．
故答案是：−2．
4 【答案】6
【解析】 2
∵m是关于x的方程x −2x−3 = 0的一个根，
∴m2−2m−3 = 0，
2
∴m −2m = 3，
2
∴2m −4m = 6，
故答案为：6．
5 【答案】A
【解析】A−B = 10a2+2b2−7a+6−a2−2b2−5a+1
2
= 9a −12a+7
4 2 2 有
( ] 2
2 2
= 9[a − a+ − ) +7−9×(− )
3 3 3 所
权
版
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版
2
( )2
习
= 9 a− +3，
育
3
学
教 9
2
( )2
爱 9
∵9 a− ≥ 0，
代
5
3
6
时
2 风
( )2
∴9 a− +3 > 0，即A−B > 0．
3 随
∴A−B的值是正数．
故选：A．
6 【答案】B
能力提高 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1 (1)【答案】D
(2)【答案】①x = −4,x = 2
1 2 有
1
所
②x = −1,x = −
1 2
2 权
3
版
③x = 3,x = −
1 2
2 习
育
3学 √2 3√2
教 9
④x = −1+ ,x = −1−
1 2
爱2 2 9
代
5
6
练1.1 (1)【答案】B 时
风
(2)【答案】5−√53
随
2
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练1.2 (1)【答案】B
(2)【答案】B
例2 【答案】 2
解：原方程整理得2x −x−6 = 0
∵a = 2，b = −1，c = −6
∴Δ = b2−4ac = 1−4×2×(−6) = 49 > 0
1±7
∴x =
4
3
即x = 2，x = −
1 2
有
2
练2.1 【答案】C 所
练2.2 【答案】A 权
例3 【答案】C 版
练3.1 【答案】C
习
育
练3.2 【答案】C
学
教 9
【解析】 2
由题知：x +4x+4 = 16
爱 9
代
5
2
∴x +4x−12 = 0
6
时
风
∴(x−2)(x+6) = 0
∴x = 2，x = −6 随
1 2
故选C
例4 (1)【答案】D
(2)【答案】 2
解：①∵5x = 4x
∴5x2−4x = 0
∴x(5x−4) = 0
∴x = 0或5x−4 = 0
4
∴x = 0，x =
1 2
5
2
②∵x −9 = 0
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∴(x+3)(x−3) = 0
有
∴x−3 = 0或x+3 = 0
所
∴x = 3，x = −3
1 2
权
2
③∵x +2x+1 = 0
版
2
∴(x+1) = 0
习
育
∴x = x = −1
1 2
学
教
9
2
④∵x −x−2 = 0
爱 9
代
∴(x−2)(x+1) = 0 5
6
时
∴x−2 = 0或x+1 = 0
风
∴x = 2，x = −1
1 2 随
2
⑤∵3x −x−4 = 0
∴(x+1)(3x−4) = 0
∴x+1 = 0或3x−4 = 0
4
∴x = −1，x =
1 2
3
2
⑥∵2(x+5) = x(x+5)
2
∴2(x+5) −x(x+5) = 0
∴[2(x+5)−x](x+5) = 0
∴x+5 = 0或x+10 = 0
∴x = −5，x = −10
1 2
练4.1 【答案】B 有
【解析】解：x(x−2) = 3x， 所
x(x−2)−3x = 0， 权
x(x−2−3) = 0， 版
x = 0，x−2−3 = 0，
习
育
x = 0，x = 5，
1 2 学
教 9
故选B． 爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
练4.2 【答案】 2 时
解：（1）∵x −2x−35 = 0 风
∴(x+5)(x−7) = 0 随
∴x = −5，x = 7
1 2
2
（2）∵2x −x−15 = 0
∴(x−3)(2x+5) = 0，
5
∴x = 3，x = −
1 2
2
（3）∵x+3−x(x+3) = 0
∴(x+3)(x−1) = 0
∴x = −3，x = 1
1 2
（4）∵x(x−4) = 8−2x
∴(x+2)(x−4) = 0
∴x = −2，x = 4
1 2
有
所
能力提高 / 初三 / 暑假
权
版
习第 2 讲 一元二次方程的解法
育
学
教自我巩固答9案
爱 9
1 【答案】A 代
5
6
【解析】 解：方程−x 2 +3x = 1时整理得：−x 2 +3x−1 = 0，
风
则a，b，c依次为−1；3；−1．
随
故选：A．
2 【答案】D
【解析】解：∵a = 3，b = −2，c = −2
√
2
−b± b −4ac
∴x =
2a
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√
−(−2)± (−2)2−4×3×(−2)
=
2×3
2±2√7
=
6
有
1±√7
=
所
3
权
1+√7 1−√7
∴x = ，x = 版
1 2
3 3
习
1+√育7
∴两个实数根学中较大的根是
教 9
3
爱 9
代
故选：D． 5
6
3 【答案】B 时
风
4 【答案】C
随
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】B
10 【答案】 2
解：（1）x +3x+1 = 0
∵a = 1，b = 3，c = 1
∴Δ = b2−4ac = 32−4×1×1 = 5 > 0
−3±√5 −3±√5
∴x = =
2×1 2
−3+√5 −3−√5
∴x = ，x =
1 2 有
2 2
所
（2）(x−2)2 = 3x−6
权
2
(x−2) = 3(x−2)
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
2
(x−2) −3(x−2) = 0
习
育
(x−2)(x−2−3) = 0
学
教 9
∴x−2 = 0或x−5 = 0
爱 9
代
解得：x = 2，x = 5 5
1 2
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】解：（1）2(x−3)−3x(x−3) = 0，
(x−3)(2−3x) = 0，
x−3 = 0或2−3x = 0，
2
有
所以x = 3，x = ；
1 2
3 所
（2）x2−2x = 2， 权
x 2 −2x+1 = 3， 版
(x−1)2 = 3， 习
育
x−1 = ±√3， 学
教 9
所以x = 1+√爱3，x = 1−√3． 9
1 2 代
5
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 2 讲 一元二次方程的解法
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精选精练
1 (1)【答案】 2
解：∵2x −7x+1 = 0，
∴Δ = b2−4ac = (−7)2−4×2×1 = 41，
7±√41
∴x = ，
4
7+√41 7−√41
∴x = ，x = ；
1 2
4 4
【解析】 2
求出b −4ac的值，再代入公式求出即可；
有
(2)【答案】∵x(x−3)+x−3 = 0．
所
∴x(x−3)+x−3 = 0，
权
∴(x−3)(x+1) = 0，
版
∴x−3 = 0，x+1 = 0，
习
∴x 1 = 3，x 2 = −1． 育
学
【解析】先分解因式，即可得出两个一教元一次方程，求9出方程的解即可．
爱 9
代
2 (1)【答案】解：∵x2−2x
= 0；
5
6
时
∴x(x−2) = 0， 风
∴x = 0或x−2 = 0，
随
∴x = 0，x = 2；
1 2
【解析】利用因式分解法求解即可；
(2)【答案】方法一：
∵x2−6x−1 = 0
2
∴x −6x+9 = 10
∴(x−3)2 = 10
∴x−3 = √10或x−3 = −√10
∴x = 3+√10，x = 3−√10．
1 2
方法二：
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2
∵x −6x−1 = 0
有
∴a = 1，b = −6，c = −1，
所
∴Δ = (−6)2−4×1×(−1) = 40，
权
6±√40
版
∴x = = 3±√10，
2
习
育
∴x = 3+√10，x = 3−√10．
1 学2
教
9
3 (1)【答案】 2爱 9
解：∵x −10x+9 = 0代
5
∴(x−9)(x−1) = 0 6
时
风
∴x−9 = 0或x−1 = 0
随
∴x = 9，x = 1
1 2
【解析】根据因式分解法，可得答案；
(2)【答案】 2
∵x −3x−1 = 0
∴a = 1，b = −3，c = −1，
2
∴Δ = b −4ac = 9−4×1×(−1) = 13 > 0，
3±√13
∴x = ，
2
3+√13 3−√13
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
【解析】根据公式法，可得答案．
4 (1)【答案】∵x(2x−5) = 4x−10 有
∴x(2x−5)−2(2x−5) = 0
所
∴(2x−5)(x−2) = 0
权
∴2x−5 = 0或x−2 = 0
版
5
习
∴x = ，x = 2 育
1 2
2
学
教 9
【解析】用因式分解法求解即可；
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
(2)【答案】 2
∵2x +5x+1 = 0 风
∴a = 2，b = 5，c = 1 随
∴Δ = 52−4×2×1 = 17
−5±√17 −5±√17
∴x = =
2×2 4
−5+√17 −5−√17
∴x = ，x =
1 2
4 4
【解析】用公式法求解即可；
(3)【答案】 2
∵x +5x+7 = 3x+6
2
∴x +2x+1 = 0
∴(x+1)2 = 0
∴x = x = −1
1 2
有
【解析】用因式分解法求解即可．
所
5 【答案】解：∵2(x−2)2 = 338
权
2
∴(x−2) = 169
版
∴x−2 = ±13
习
育
∴x = 15，x = −11
1 2
学
教 9
爱 9
能力提高代 / 初三 / 暑假5
6
时
风
随
第 3 讲 判别式
例题练习题答案
例1 (1)【答案】A
(2)【答案】B
(3)【答案】D
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 15/842021/5/19 备授课-备课页
(4)【答案】C
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】B
(3)【答案】C
有
(4)【答案】C
所
练1.2 【答案】A
权
例2 【答案】 2
解：方程x +x+a = 0是一元二次方程
版
∴Δ = 1−4a
习
育
（1）如果方程有两个不等的实数根
学
则Δ > 0 教 9
爱 9
1 代
5
解得a <
6
4 时
风
（2）如果方程有两个相等的实数根
随
则Δ = 0
1
解得a =
4
（3）如果方程没有实数根
则Δ < 0
1
解得a >
4
练2.1 【答案】A
练2.2 【答案】4或0
例3 (1)【答案】k < −1
(2)【答案】 2 2
∵关于x的一元二次方程(m−2) x +(2m+1)x+1 = 0有解
有
2 2
∴Δ = (2m+1) −4(m−2) ≥ 0，
所
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 16/84权
2021/5/19 备授课-备课页
版
3
习 2
解得m ≥ ，且二次项系数(m−2) ≠ 0，
育
4
学
教 9
3
爱 9
故m ≥ 且m ≠ 2
代
5
4
6
时
风
练3.1 【答案】m > −1且m ≠ 0
随
【解析】 2
∵方程mx +2x−1 = 0（m为常数）有两个不相等的实数根，
{ m ≠ 0 { m ≠ 0
∴ ，即 ，
△> 0 22+4m > 0
解得：m > −1且m ≠ 0．
故答案为：m > −1且m ≠ 0．
练3.2 (1)【答案】 9
k >
4
(2)【答案】 2 2
∵关于x的一元二次方程m x +(2m+1)x+1 = 0有两个不相等的实数根
2 2
∴Δ = (2m+1) −4m > 0
1
2
解得m > − ，且二次项系数m ≠ 0
4
有
1
所
故m > − 且m ≠ 0
4
权
例4 (1)【答案】 2 版
解：∵关于x的方程ax +(2a−1)x+a−5 = 0有两个不同的实根
习
∴Δ = (2a−1)2−4a(a−5) = 16a+育1 > 0
学
∵二次项系数a ≠ 0 教 9
爱 9
1
代
5
故a > − 且a ≠ 0
6
16 时
风
(2)【答案】∵关于x的方程mx2+(m−随2)x+2
= m有两个相等的实数根
2
∴Δ = (m−2) −4m(2−m) = 0
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 17/842021/5/19 备授课-备课页
2
∴m = 2或m =
5
∵m是整数
∴m = 2
练4.1 【答案】 9
k < 且k ≠ 0
8
【解析】 2
根据题意得k ≠ 0且Δ = (−3) −8k > 0
9
解得k < 且k ≠ 0
8 有
9
所
故答案为：k < 且k ≠ 0
8 权
版
练4.2 (1)【答案】 2
解：∵关于x的方程ax +(2a−3)x+a+4 = 0有两个不同的实数根
习
∴Δ = (2a−3)2−4a(a+4) = −28a育+9 > 0
学
9 教 9
解得a < 爱 9
28 代 5
6
∵二次项系数a ≠时0
风
9
随
∴a < 且a ≠ 0
28
(2)【答案】 1
解：∵关于x的方程x2−2x+ m+3 = 0有两个不相等的实数根
4
1
( )
2
∴Δ = 2 −4 m+3 > 0
4
解得m < −8，
∵m是整数
∴m的最大整数值为−9
例5 (1)【答案】解：∵方程x2+ax+a−1
= 0是一元二次方程
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2 2
∴Δ = a −4(a−1) = (a−2)
有
∵(a−2)2 ≥ 0
所
∴Δ ≥ 0
权
2
∴方程x +ax+a−1 = 0总有实数根
版
(2)【答案】解：若k+1 = 0即k =习−1
育
则方程可化为一学元一次方程−4x−4 = 0
教
9
解得x = −1
爱 9
代
5
若k+1 ≠ 0即k ≠ −1，可得：
6
时
∴Δ = (3k−1)2−4(k+1)(2k−2风) = (k−3)2
∵(k−3) 2 ≥ 0 随
∴此时，一元二次方程总有实根．
综上，无论k取何值，此方程总有实数根
练5.1 (1)【答案】解：由题意，得：
2 2
Δ = 4k −8(k−1) = 4(k−1) +4
∵(k−1)2 ≥ 0
2
∴4(k−1) +4 > 0
∴方程2x2+2kx+k = 1总有实数根
(2)【答案】A
练5.2 【答案】 2
证明：∵Δ = (m+4) −4(2m−1)
2
= m +8m+16−8m+4 有
= m2+20 > 0， 所
∴不论m为何值，关于x的方程x 2 +(m权+4)x+2m−1 = 0一定有两个不相等的实数根．
版
能力提高 / 初三 / 暑假
习
育
学
教 9
爱 9
代第 3 讲 判别式
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 19/84爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
自我巩固答案
风
1 【答案】D
随
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】D
【解析】 2
∵关于x的一元二次方程(m−2)x +2x+1 = 0有实数根，
∴m−2 ≠ 0且Δ ≥ 0，即22−4×(m−2)×1 ≥ 0，解得m ≤ 3，
∴m的取值范围是 m ≤ 3且m ≠ 2．
故选：D．
有
10 【答案】解：根据题意，得：
所
1
( )
权
Δ = [−(2k+1)]2−4×1×4 k− = (2k−3)2 ≥ 0
2
版
∴无论k取何值，此方程总有两个实数根．
习
育
学
能力提高 / 初教三 / 暑假 9
爱 9
代
5
6
时
风
第 3 讲 判别式
随
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】解：由题意，得：
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 20/842021/5/19 备授课-备课页
( )
2 2
Δ = (4m) −4 4m −1 = 4 > 0
∴不论实数m取何值，方程总有两个不相等的实数根
能力提高 / 初三 / 暑假
有
第 3 讲所 判别式
权
精选精练
版
1 【答案】B
习
2 【答案】B 育
学
3 【答案】B 教 9
爱 9
【解析】△ = 4k2−4(k−1) 代
5
6
= (2k−1) 2 +3， 时
风
∵(2k−1)2 ≥ 0，
随
2
∴(2k−1) +3 > 0，
即△ > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4 (1)【答案】解：将x = 1代入原方程，得：1+a+a−2 = 0，
1
解得：a = ．
2
【解析】代入x = 1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
(2)【答案】证明：Δ = a2−4(a−2) = (a−2)2+4．
2
∵(a−2) ≥ 0，
∴(a−2)2+4 > 0，即Δ > 0， 有
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相所等的实数根．
权
5 【答案】解：根据题意，得：
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 21/84权
2021/5/19 备授课-备课页
版
2
m−2 ≠ 0且Δ = 2 −4(m−2)×(−1) ≥ 0
习
育
解得m ≥ 1且m ≠ 2
学
教 9
爱 9
能力提高代 / 初三 / 暑假
5
6
时
风
随
第 4 讲 二次函数的初步认识
例题练习题答案
例1 (1)【答案】C
(2)【答案】−2
练1.1 【答案】a ≠ 2
练1.2 【答案】0
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】C
(3)【答案】5
|m|-3
【解析】解：∵y=(2-m)x 是二次函数,∴|m|-3=2,解得m=5或m=-5,
有
∵抛物线图象开口向下,∴2-m<0,解得m>2,∴m=5,
所
故答案为：5．
权
(4)【答案】a > a > a
1 2 3
版
练2.1 【答案】C
习
育
练2.2 【答案】D
学
教 9
【解析】 1
爱 9
四个选项中二次项系数的绝代对值依次为： ，3，1，6，
5
5
6
时
1 风
∵ ＜1＜3＜6，
随
5
2
∴四个抛物线中开口最小的是：y = 6x ．故选D．
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 22/842021/5/19 备授课-备课页
例3 【答案】
y = x2+2 y = x2−2
有
所
开口方向 向上 向上
权
对称轴 x = 0 x = 0
版
习
顶点坐标 (0,2) 育 (0, −2)
学
教 9
爱当x < 0时，y随x增大而减小； 9当x < 0时，y随x增大而减小；
增减性 代 5
当x ≥ 0时，y随x增大而增大 当x ≥ 0时，y随x增大而增大
6
时
风
最值 x = 0时，有最小值，最小值为2 x = 0时，有最小值，最小值为−2
随
练3.1 【答案】(0, −1)；x = 0； > 0； < 0；0 ；大；−1
练3.2 【答案】(0, −1)；x = 0； < 0； > 0；0；小；−1
例4 【答案】C
练4.1 【答案】C
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的初步认识
自我巩固答案
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 23/842021/5/19 备授课-备课页
1 【答案】B
有
2 【答案】A
所
3 【答案】A
权
4 【答案】A
版
5 【答案】C
6 【答案】B 习
育
7 【答案】B 学
教
9
【解析】 （1）y = 2x 2 开爱口向上，对称轴为y轴，有最低点9，顶点为原点；
代
5
（2）y = −2x2 开口向下，对称轴为y轴，6有最高点，顶点为原点；
时
风
2
（3）y = 2x +1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为(0,1)．
随
故选：B．
8 【答案】D
9 【答案】A
10 【答案】 1
2
函数y = x −3的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0, −3)；
3
1
函数y = x2 的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,0)．
3
有
所
权
版
能力提高 / 初三 / 暑假
习
育
学
教 9
爱 9
第代 4 讲 二次函数的初步认识
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 24/84爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
课堂落实答案
风
1 【答案】D
随
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 二次函数的初步认识
精选精练
1 【答案】0
2 【答案】−1
有
【解析】 2
∵m −m = 2
所
∴m = 2或m = −1
权
∵m−1 ≠ 0
版
∴m ≠ 1
习
育
∴当m = 2或−1时，这个函数都是二次函数，
学
教 9
∵m−1 < 0，m < 1
爱 9
代
∴m = −1． 5
6
3 【答案】> 时
风
【解析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数绝对值越大，开口越小，故
随
m > n，答案为>．
4 【答案】D
5 【答案】C
【解析】A、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a > 0，则a的取值互相矛盾，故本
选项错误；
B、根据一次函数得出a > 0，b < 0，根据二次函数得出a > 0，则ab < 0，故本选项错误；
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 25/842021/5/19 备授课-备课页
C、根据一次函数得出a < 0，b < 0，根据二次函数得出a < 0，则ab > 0，故本选项正确；
D、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a < 0，则ab < 0，故本选项错误；
故选：C．
6 【答案】D
【解析】 2
A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n < 0，错误；
有
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m > 0，由直线可知，−m > 0，错误；
所
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m < 0，错误；
权
D、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m > 0，正确，
版
故选：D．
习
育
能力提高 / 初三 / 暑假
学
教 9
爱 9
代
5
6
时第 5 讲 二次函数的图象与性质
风
随
例题练习题答案
例1 【答案】开口向上，对称轴为x = 1，
顶点坐标为(1,2)；
x < 1时，递减；
x > 1时，递增；
x = 1时，有最小值为2．
有
练1.1 【答案】开口向下，对称轴为x = 1，
所
顶点坐标为(1,2)；
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 26/84权
2021/5/19 备授课-备课页
版
当x > 1时，y随x的增大而减小；
习
育
当x < 1时，y随x的增大而增大；
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
练1.2 【答案】C
【解析】∵a = 2 > 0，
∴抛物线开口方向向上；
2
∵二次函数解析式为y = 2(x+2) −1，
∴顶点坐标为(−2, −1)，对称轴x = −2．
故选：C．
例2 【答案】(−2, −3)
x = −2
< −2
> −2
−2
有
小
所
−3
权
练2.1 【答案】(2,5)
版
练2.2 【答案】C
习
例3 【答案】y = 2(x−1)2−3；(1, −3)；x = 1. 育
学
练3.1 【答案】D 教 9
爱 9
【解析】 ∵y = x 2 −4x+7 = (x−2) 2 +代3， 5
6
∴抛物线的顶点坐标为时（2，3）．
风
练3.2 【答案】(−1, −2)
随
例4 【答案】向下;
x = 2；
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 27/842021/5/19 备授课-备课页
(2,3)
x < 2
练4.1 【答案】(1)开口向上，对称轴为x = −3，顶点坐标为(−3, −10)；
(2)x > −3；
(3)x = −3，y有最小值，最小值为−10．
练4.2 【答案】−1
例5 【答案】D
【解析】A是顶点纵坐标，不是Δ
练5.1 【答案】A
练5.2 【答案】四 有
【解析】根据图象得：a < 0，b > 0，c > 0 ， 所
故一次函数y = bx+c的图象不经过第四象限．
权
版
能力提高 / 初三 / 暑假
习
育
学
教 9
爱第 5 讲 二次函数 9 的图象与性质
代
5
6
时
风自我巩固答案
1 【答案】D
随
2 【答案】A
【解析】 2
由y = 2(x−3) +1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)．
故选：A．
3 【答案】D
【解析】A、a = 2 > 0，则函数开口向上，故正确；
B、对称轴是x = 1，故正确；
C、顶点坐标是(1, −3)，故正确；
D、最小值是−3，故错误．
4 【答案】C
【解析】∵二次函数y = 2(x−3)2−2，
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 28/842021/5/19 备授课-备课页
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(3, −2)，对称轴为x = 3，
有
∴当x ≤ 3时，y随x的增大而减小，
所
故①、②、④正确，
权
令x = 0可得y = 16，故图象与y轴的交点坐标为(0,16)，
版
故③不正确，
习
∴正确的有3个，
育
故选：C． 学
教
9
5 【答案】B 爱 9
代
5
6 【答案】A
6
时
7 【答案】C 风
8 【答案】 1 1 随
2 2
∵y = x −4x+5 = (x−4) −3，
2 2
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x = 4，顶点坐标是(4, −3)．
【解析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
9 【答案】C
10 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质
课堂落实答案
有
1 【答案】C
所
【解析】二次函数y = (x−1)2+1的图象的顶点坐标是(1,1)．
权
故选：C．
版
2 【答案】D
3 【答案】D 习
育
学
4 (1)【答案】 ∵y = −x 2 +4x−6 = − ( x 2 −教4x ) −6 = − ( x 29−4x+2 2 −4 ) −6
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 29/84爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
2
= −(x−2) −2 风
故二次函数写成y = a(x+随h)2+k的形式为：y = −(x−2)2−2；
【解析】根据配方法的操作整理即可得解；
(2)【答案】a = −1 < 0，图象开口向下，对称轴x = 2，所以当x > 2时，y随x的增大而减小．
【解析】由a = −1 < 0利用二次函数的性质即可得出：当x > 2时，y随x的增大而减小，此题得
解．
5 【答案】C
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 二次函数的图象与性质
精选精练
有
1 【答案】D
所
2 【答案】C
权
【解析】∵抛物线的顶点(−m,n)在第四象限，
版
∴−m > 0，n < 0，
习
∴m < 0， 育
学
∴一次函数y = mx+n的图象经过二教、三、四象限，9
爱 9
故选：C． 代
5
3 【答案】C 6
时
风
【解析】①∵抛物线的开口向上，∴a > 0，
随
∵与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c < 0，
∴ac < 0，故①正确；
②∵对称轴在y轴的右侧，
b
∴− > 0，
2a
∵a > 0，
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∴b < 0，故②错误；
③当x = −1时，y = a−b+c > 0，故③正确．
故选：C．
4 【答案】B
【解析】∵a > 0，
有
∴开口方向向上，
∵b < 0，a > 0， 所
b 权
∴对称轴x = − > 0，
版
2a
∵c = 0， 习
育
∴此函数过原点． 学
教 9
∴它的图象经过爱一，二，四象限． 9
代
5
故选：B．
6
时
5 【答案】B 风
【解析】∵开口向上， 随
∴a > 0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c < 0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b > 0，
∴bc < 0，
∴一次函数y = ax+bc的图象不经过第二象限．
故选：B．
6 【答案】A
【解析】 b
A、由抛物线可知，a < 0，x = − < 0，得b < 0，由直线可知，a < 0，b < 0，故本选
2a
项正确； 有
B、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a所< 0，故本选项错误；
权
版
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版
b
习
C、由抛物线可知，a > 0，x = − > 0，得b < 0，由直线可知，a > 0，b > 0，故本选项
育
2a
学
教 9
错误；
爱 9
代
D、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a <50，故本选项错误．
6
故选：A． 时
风
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式与平移
例题练习题答案
例1 (1)【答案】y = −3x2+4x−1
(2)【答案】 2
y = x −2x−3
(3)【答案】y = 2x2−3x+5
练1.1 【答案】 2
y = −x +2
y轴
有
(0,2)
所
练1.2 【答案】 2
y = −x +4x+5
权
例2 (1)【答案】y = 2x2−8x+11 版
习
(2)【答案】 2
y = 2x −12x+22 育
学
(3)【答案】 5 5 3 教 9
爱2 9
y = − x − x+
代
4 2 4 5
6
时
练2.1 【答案】D 风
练2.2 【答案】 随2
设二次函数的解析式为y = a(x+1) −3，
把(1,5)代入得a×4−3 = 5，解得a = 2，
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2
所以二次函数的解析式为y = 2(x+1) −3．
例3 【答案】 1 81
( )
2
y = x −x−20，顶点 , − ．
2 4
练3.1 【答案】 2
y = −x −2x+3
【解析】设抛物线解析式为y = a(x+3)(x−1)，
把C(0,3)代入得a×3×(−1) = 3，解得a = −1，
所以抛物线解析式为y = −1(x+3)(x−1)，即y = −x2−2x+3．
练3.2 【答案】A
例4 【答案】 2
y = −x +6x−8
有
【解析】根据题意得抛物线的对称轴为直线x = 3，
所
而抛物线与x轴两交点之间的距离为2，
权
所以抛物线与x轴的两交点坐标为(2,0)，(4,0)，
版
设抛物线解析式为y = a(x−2)(x−4)，
习
把(3,1)代入得a×1×(−1) = 1，解得a育= −1，
学
教 92
所以抛物线的解析式为y = −(x−2)(x−4)，即y = −x +6x−8．
爱 9
练4.1 【答案】根据题意可知二次函数过(4代, −3)，(7,0)，(15,0)．
6
时 1
风
2
设y = a(x−4) −3，则9a−3 = 0，解得a = ，
3
随
1 8 7
所以这个二次函数的解析式为y = x2− x+ ．
3 3 3
练4.2 【答案】 1 3
2
y = x +x−
2 2
例5 (1)【答案】D
(2)【答案】b = 2，c = 0．
【解析】 2 2
把y = x −2x−3向上移动3个单位，再向左平移2个单位长度得到y = x +2x．
练5.1 (1)【答案】B
(2)【答案】C
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练5.2 【答案】C
有
所
能力提高 / 初三 / 暑假
权
版
第 6 讲 二次函数求解析式与平移
习
育
学
教自我巩固答案
9
1 【答案】C 爱
代
9
5
2 【答案】D 6
时
风
3 【答案】C
4 【答案】B 随
5 【答案】B
6 【答案】B
7 【答案】A
8 【答案】 2
解析式为y = −x +2x+8，顶点坐标为(1,9)
9 【答案】A
10 【答案】D
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 二次函数求解析式与平移
有
课堂落实答案
所
1 【答案】A
权
2 【答案】C
版
3 【答案】C
4 【答案】 2 10 8 习
育
2
y = x − x+
学
9 9 9
教 9
5 【答案】A 爱 9
代
5
6
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代
5
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6
时
能力提高 / 初三风 / 暑假
随
第 6 讲 二次函数求解析式与平移
精选精练
1 【答案】 1 1 1 3
y = x2− x+2 或 y = − x2+ x+2
8 4 8 4
【解析】 ∵ 点C在直线x = 2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴ 抛物线的对称轴为直线x = 1或x = 3，
当对称轴为直线x = 1时，设抛物线解析式为y = a(x−1)2+k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
a+k = 2
{
则 ，
9a+k = 3
有
1
所
{a =
8 权
解得 ，
15 版
k =
8 习
育
1 学15 1 1
教 9
所以，y = (x−1)2+ = x2− x+2；
8 爱8 8 4 9
代
5
6 2
当对称轴为直线x = 3时，设抛物线解析式为y = a(x−3) +k，
时
风
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
随
9a+k = 2
{
则 ，
a+k = 3
1
{a = −
8
解得 ，
25
k =
8
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1 25 1 3
2 2
所以，y = − (x−3) + = − x + x+2，
8 8 8 4
1 1 1 3
2 2
综上所述，抛物线的函数解析式为y = x − x+2或y = − x + x+2．
8 4 8 4
2 (1)【答案】 y = −x 2 +2x+3 有
所
(2)【答案】 1 5
2
y = x −3x+ 权
2 2
版
3 (1)【答案】 2
y = x −6x+8
习
育
(2)【答案】 1 1学
2 2 教 9
y = − x + x或y = x +x
3 爱3 9
代
5
6
4 【答案】解：（1）∵抛物线的时对称轴为y轴，
风
∴b = 0.
随
又∵抛物线过点(0, −4)，
∴c = −4.
∴抛物线的解析式为y = x2−4；
2
（2）当x = −2时，y = x −4 = 0，
1
2
当x = 3时，y = x −4 = 5，
2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【解析】（1）利用对称轴方程可得b=0，利用抛物线与y轴的交点可得到c的值，于是可确定抛物线
解析式；
（2）把点（-2，y ）与（3，y ）都代入（1）中的解析式计算出y 和y 的值，然后比较大
1 2 1 2
小．
有
5 (1)【答案】 16+4b+c = 3 b = −4
{ {
将(4,3)，(3,0)代入y = x2+bx+c，得 所 ，解得： ；
9+3b+c = 0 c = 3
权
版
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版
(2)【答案】 2 2
二次函数y = x −4x+3 = (x−2) −1，则顶点坐标为(2, −1)，对称轴是直线x = 2，
习
育
如图，
学
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
随
【解析】把二次函数的解析式配成顶点式y = (x−2)2−1，然后确定顶点坐标和对称轴，再画
出函数图象；
(3)【答案】 2
将该函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y = x 的图象．
【解析】把顶点(2, −1)移到原点即可．
6 (1)【答案】 2
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y = −x 向左平移3个单位所得直线的解析式
为：y = −(x+3)2 ；
2
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y = −(x+3) 向上平移4个单位所得抛物线的
解析式为：y = −(x+3)2+4．
2
故平移后的抛物线的函数关系式是：y = −(x+3) +4．
有
【解析】分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；
所
(2)【答案】顶点坐标A(−3,4)
权
2
令 y = −(x+3) +4 = 0，
版
解得x = −1，x = −5．
1 2
习
育
∴C(−1,0)， B(−5,0)，CB = 4．
学
教 9
1
爱 9
∴S
ΔABC
= CB×4 = 8 代．
5
2
6
时
【解析】在解析式中令y = 0，求得x的值风，即可求得B和C的横坐标，则BC的长即可求得，然
后根据三角形的面积公式随即可求得．
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】C 有
5 【答案】A 所
6 【答案】B
权
7 【答案】A
版
8 【答案】B
习
育
9 【答案】A
学
10 【答案】C 教 9
爱 9
11 【答案】x 1 = 2，x 2 = 0 代 5
6
12 【答案】−2 时
风
13 【答案】m ≤ 2且m ≠ 1
随
14 【答案】−1
【解析】 2
∵m −m = 2
∴m = 2或m = −1
∵m−1 ≠ 0
∴m ≠ 1
∴当m = 2或−1时，这个函数都是二次函数，
∵m−1 < 0，m < 1
∴m = −1．
15 【答案】6
16 【答案】>
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17 【答案】−1
有
18 【答案】 1
解：（1）x = ，x = −1 所
1 2
3
权
1−√21 1+√21
版
（2）x = ，x =
1 2
2 2
习
育
19 【答案】解：（1）由题意得：Δ = 22−4(2k−4) > 0，
学
教
5 9
爱 9
解得：k < ； 代
5
2
6
时
（2）由k为正整数，得到k = 1或2，风
利用求根公式表示出方程的解为x = −1±√5−2k，
随
∵方程的解为整数，
∴5−2k为完全平方数，
则k的值为2．
20 【答案】 1 5
( ) ( )
解：（1）将点 1, 、 −2, − 、(3,5)分别代入二次函数y = ax2+bx+c得，
3 3
1
{a+b+c = 1
3 { a =
3
5 ，解得 ，
4a−2b+c = − b = 1
3
c = −1
9a+3b+c = 5
1
有
2
所以这个二次函数的解析式为y = x +x−1．
3
所
权
（2）由二次函数与y轴的交点(0,4)得：c = 4，
版
将点(−3,0)和(1,0)代入二次函数解析式y = ax2+bx+4,
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
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6
时
4
风
{a = −
{a(−3) 2 +b(−3)+4 = 0 随3
，解得 ，
a+b+4 = 0 8
b = −
3
4 8
2
所以二次函数解析式为y = − x − x+4．
3 3
21 (1)【答案】将点(1,0)、(0, −3)代入y = x2+bx+c，
1+b+c = 0
{
得： ，
c = −3
b = 2
{
解得： ，
c = −3
2
∴抛物线的解析式为y = x +2x−3；
有
【解析】将(1,0)和(0, −3)两点代入二次函数y = x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解
所
析式；
权
(2)【答案】 2
当y = 0时，x +2x−3 = 0，
版
解得：x = 1或x = −3，
习
育
所以抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)和(1,0)，
学
结合函数图象知，当x < −3教或x > 1时，y > 09．
爱 9
代
22 【答案】 2 ( 2 ) 5
解：（1）∵Δ = 4(n−1) −4 n −2n = 4 > 0，
6
时
风
∴这个方程有两个不等的实数根；
（2）∵−2 ≤ x < x ≤ 4， 随
1 2
∴由求根公式得x = n−2，x = n，
1 2
∴−2 ≤ n−2 < n ≤ 4，
解得0 ≤ n ≤ 4．
23 【答案】解：a(a+1)2−a(a2+a)−3a−2
3 2 3 2 2
= a +2a +a−a −a −3a−2 = a −2a−2
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∵ a是方程x 2 −2x−4 = 0的根，
∴ a2−2a−4 = 0，
∴ a 2 −2a = 4，
∴ 原式 = 4−2 = 2．
24 【答案】解：（1）把点A(0,3)，B(−1,0)代入抛物线y = ax2+2x+c得
有
c = 3
{ 所
，
a−2+c = 0
权
a = −1
{
版
解得 ，
c = 3
习
育
2
所以抛物线的解析式y = −x +2x+3；
学
教 9
2 2
（2）y = −x爱+2x+3 = −(x−1) +4， 9
代
5
顶点D的坐标为(1,4)，点E坐标为(1,0)，
6
时
√ 风
则BD = 4 2 +2 2 = 2√5；
随
（3）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式
y = −(x−1−3)2+4+2 = −(x−4)2+6．
【解析】 2
（1）把点A（0，3），B（-1，0）代入抛物线y=ax +2x+c，建立方程组求得a、c即可；
（2）化为顶点式求得抛物线的顶点坐标，得出点E坐标，利用勾股定理求得BD的长；
（3）利用平移的规律和顶点式得出平移后的规律即可．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转与中心对称
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B 有
所
(2)【答案】A
权
练1.1 【答案】C
版
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版
练1.2 【答案】B
习
育
例2 (1)【答案】 ( −2√2, −2√2 )
学
教 9
(2)【答案】B 爱 9
代
5
练2.1 【答案】 ( 0, −√2 ) 时 6
风
练2.2 【答案】D
随
例3 (1)【答案】D
(2)【答案】D
(3)【答案】如图
练3.1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
有
练3.2 【答案】解：如图所示：
所
权
版
习
育
学
教 9
例4 【答案】D 爱 9
代
5
练4.1 【答案】B 6
时
风
练4.2 【答案】B
随
例5 【答案】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAC = ∠DAE = 60∘，
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∴∠BAD = ∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AB = AC
{
∠BAD = ∠CAE
AD = AE
∴△ABD≌△ACESAS．
∴BD = CE．
∵AD = DE = AE，
∴BE = BD+DE = EC+AD．
有
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD = ∠ACE， 所
∴∠BAC = ∠BEC = 60∘， 权
∴∠AEC = ∠AEB+∠BEC = 12 版 0∘．
练5.1 【答案】60∘ 习
育
例6 【答案】证明：（1）∵△ABC 学 和△ECD都是等腰直角三角形，
教 9
∴BC = ACCD 爱 = CE，∠ACB = ∠ECD = 90∘， 9
代
5
∴∠ACB−∠ACD = ∠ECD−∠ACD， 6
时
风
即∠ACE = ∠BCD．
随
在△ACE和△BCD中，
AC = BC
{
∠ACE = ∠BCD
CE = CD
∴△ACE≌△BCD (SAS)
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴BD = AE，∠CAE = ∠B = 45∘，∠ACE = ∠BCD，
∴∠DAE = ∠BAC+∠EAC = 45∘ +45∘ = 90∘，
∴在Rt△ADE中，AD2+BD2 = DE2 ，
2 2 2
∴AD +BD = DE ．
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 43/842021/5/19 备授课-备课页
练6.1 【答案】4
有
所
能力提高 / 初三 / 暑假
权
版
第 8 讲 旋转与中心对称
习
育
学
教自我巩固答案
9
1 【答案】B 爱 代 9
5
2 【答案】C 6
时
风
3 【答案】C
4 【答案】B 随
5 【答案】A
6 【答案】C
7 【答案】A
8 【答案】A
9 【答案】C
10 【答案】解：易证△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC = ∠CAE，
∴62∘ −∠EBC = 60∘ −∠BAE，
∴62∘ −(60∘ −∠ABE) = 60∘ −∠BAE，
移项可得∠ABE+∠BAE=58∘，
∴∠AEB = 180∘ −(∠ABE+∠BAE) = 122∘．
有
所
能力提高 / 初三 / 暑假
权
版
第 8 讲 旋转与中心对称
习
育
学
教课堂落实答9案
爱 9
1 【答案】B 代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 44/84爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
2 【答案】D 时
风
3 【答案】B
随
4 【答案】C
5 【答案】证明：∵将△ACD绕点A旋转至△ABF处，
∴△ACD≌△ABF，
∴∠ABF = ∠ACD = 45∘，
又∵∠ABC = 45∘，
∴∠FBC=90°，BF⊥BC．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 旋转与中心对称
精选精有练
1 【答案】60∘ 所
2 【答案】 权
版
习
育
学
教 9
3 【答案】(−2,0)或(2,10)
爱 9
代
5
4 【答案】（1）旋转中心是C点，旋转了90∘；
6
时
（2） △ CAB≌ △ CED； 风
（3）115∘，90∘． 随
5 【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60∘．
将△BPC绕点B顺时针旋转60∘得出△ABP′
，如下图所示，
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∴AP′ ＝CP＝1，BP′ ＝BP = √3， 有
∠PBC＝∠P ′ BA，∠AP ′ B＝∠BPC． 所
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60∘， 权
∴∠ABP ′ +∠ABP＝∠ABC＝60 版∘，
习
∴△BPP′
是等边三角形， 育
学
∴PP ′ = √3，∠BP ′ P＝60∘． 教 9
爱 9
∵AP ′ ＝1，AP＝2， 代 5
6
′2 ′2 2 时
∴AP +PP ＝AP ， 风
∴∠AP′P＝90∘，则△PP′A是直随角三角形，
∴∠BPC＝∠AP ′ B＝90∘ +60∘＝150∘．
′ ′
过点B作BM⊥AP ，交AP 的延长线于点M，
√3
∴∠MP ′ B＝30∘，BM = ，
2
3
′
由勾股定理得：PM = ，
2
3 5
∴AM＝1+ = ，
2 2
√
由勾股定理得：AB = AM 2 +BM 2 = √7．
6
有
所
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 46/84权
2021/5/19 备授课-备课页
版
(1)【答案】
习
育
学
解：
教 9
爱 9
代
5
6
时
风
将△BPC绕点B逆时针旋转90∘得到△AEB，
随
可得：AE＝PC＝1，BE＝BP = √2，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90∘，
1
∴∠BEP = × ( 180∘ −90∘) ＝45∘．
2
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP = √5，EP＝2，
2 2 2
∴AE +PE ＝AP ，
∴∠AEP＝90∘，
∴∠BPC＝∠AEB＝90∘ +45∘＝135∘．
(2)【答案】解：B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∴∠FEB＝45∘，
有
∴FE＝BF＝1，
所
∴AF＝2，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得 权 AB = √5，
∴正方形边长为√5． 版
习
育
能学力提高 / 初三 / 暑假
教 9
爱 9
代
5
6
时
第风 9 讲 垂径定理
随
例题练习题答案
例1 (1)【答案】①②⑤
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(2)【答案】C
练1.1 【答案】B
【解析】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是
圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假
命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把
圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的
弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两
个．故选：B．
练1.2 【答案】C
【解析】半径相等的圆是等圆，所以①正确； 有
长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；所
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③权正确；
半径相等的两个半圆是等弧，所以④正确．
版
故选C．
习
育
例2 (1)【答案】C
学
教 9
(2)【答案】36∘，54 爱∘． 9
代
5
6
练2.1 (1)【答案】D 时
风
(2)【答案】29∘，58∘． 随
练2.2 (1)【答案】C
(2)【答案】28∘
例3 【答案】B
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】D
例4 【答案】A
练4.1 【答案】D
练4.2 【答案】D
例5 【答案】D
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练5.1 【答案】C
有
练5.2 【答案】A
所
能力提高 / 初三 权/ 暑假
版
习
育
第 9 讲 垂径定理
学
教
9
爱 自我巩固9答案
代
5
1 【答案】B 6
时
风
2 【答案】B
3 【答案】D 随
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】A
7 【答案】A
8 【答案】B
9 【答案】A
10 【答案】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴PE = AE，PF = BF，
1
∴EF为△ABP的中位线，EF = AB = 5．
2
能力提高 / 初三 / 暑假 有
所
权
第 9 讲 垂径定理
版
习
课堂落实答案
育
1 【答案】D 学
教 9
2 【答案】B 爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
3 【答案】C 时
风
4 【答案】D
随
5 【答案】解：连接OA，连接OC交AB于点D，
设⊙O的半径为r．
⌢
∵C是AB的中点，AB = 8，
1
∴OC⊥AB，AD = AB = 4，
2
在Rt△ACD中，AC 2 = AD 2 +CD 2 ，AC = 2√5，解有得CD = 2．
在Rt△AOD中，r2 = AD2+(r−2)2 ，解得r = 所 5．
∴⊙O的半径的长为5． 权
版
能力提高 / 初三 / 暑假
习
育
学
教 9
爱 9
代第 9 讲 垂径定理
5
6
时
风
精选精练
1 【答案】A 随
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】2.5
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能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆周角定理
有
例题练习题答案
所
例1 (1)【答案】D
权
(2)【答案】44∘
版
(3)【答案】40∘ 习
育
学
(4)【答案】5 教 9
爱 9
代
练1.1 (1)【答案】30∘ 5
6
时
风
(2)【答案】12.5∘
随
(3)【答案】50∘
练1.2 (1)【答案】30∘
(2)【答案】40∘
例2 (1)【答案】120∘
(2)【答案】100∘
练2.1 (1)【答案】A
(2)【答案】30°或150°
练2.2 (1)【答案】120∘
(2)【答案】120°或60°
有
例3 【答案】解：（1）如图，连接OB，OC． 所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
习
育
学
教 9
爱 9
代
5
∵四边形ABCD为正方形， 6
时
风
∴∠BOC = 90∘，
随
1
∴∠BPC = ∠BOC = 45∘；
2
（2）由（1）得∠BOC = 90∘，则在Rt△BOC中， OB2+OC2 = BC2 ，
又∵OB = OC = 8，
∴BC = 8√2．
∴正方形ABCD的边长为8√2．
练3.1 【答案】解：如图，连接OB，OA．
∵∠BCA = 45∘， 有
∴∠BOA = 90∘， 所
权
∴在Rt△BOA中，OB2+OA2 = AB2 ，
版
又∵OB = OA，AB = 2，
∴OB = OA = √2． 习
育
∴⊙O的半径为√2． 学
教 9
练3.2 【答案】D 爱 9
代
5
6
例4 (1)【答案】70∘ 时
风
(2)【答案】证明： ∵ AB = BC = C随D，DE = EF = FA
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴AB+AF = CD+DE
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1
= ×360∘ = 120∘
3
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
即BF = CE = BC+EF = 120∘
⌢ ⌢
∴BDF = CAE = 240∘
∴∠BAF = ∠CDE = 120∘
练4.1 【答案】C
练4.2 【答案】AD = BC
有
所
能力提高 / 初三 / 暑假
权
版
第 10 讲 圆周角定理
习
育
学
教自我巩固答
9
案
爱 9
1 【答案】B
代
5
2 【答案】C 6
时
风
3 【答案】A
随
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】C
10 【答案】解：连接CB，CO，DO，
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 53/842021/5/19 备授课-备课页
有
所
权
版
习
育
学
∵AB为⊙O的直径， 教
9
∴∠ACB = 90 爱 ∘， 代 9
5
又∵∠P = 75∘， 时 6
风
∴∠PBC = 15°
随
1
又∵∠PBC = ∠COD，
2
∴∠COD=30∘．
⌢
∴CD所对的圆心角的度数为30∘．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆周角定理
课堂落实答案
1 【答案】C 有
2 【答案】A
所
3 【答案】C
权
4 【答案】B
版
5 【答案】解：∵AB为⊙O的直径，
习
育
∴∠ACB = ∠ADB = 90∘，
学
教 9
∵AB = 10，AC = 6，
爱 9
代
5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 54/84爱 9
代
5
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6
√ 时
∴BC = AB2−AC2 = 8． 风
∵CD平分∠ACB， 随
⌢ ⌢
∴AD = BD，AD = BD．
√
2
AB
∴AD = BD = = 5√2．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 圆周角定理
精选精练
1 【答案】75
有
2 【答案】B
所
3 【答案】D
权
4 【答案】B
5 【答案】B 版
6 【答案】解：（1）∵AB＝BC＝CD习＝DE
育
⌢ ⌢ ⌢ 学⌢
教 9
∴AB = BC 爱 = CD = DE 9
代
5
⌢ ⌢
6
时
∴BCDE = ABCD 风
∴∠A＝∠E 随
又∵AB∥ED
∴∠A+∠E＝180∘
∴∠A＝∠E＝90∘；
（2）①CH平分∠BCD；
②CH∥BA；
③CH∥DE；
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④CH⊥AE；
⌢ ⌢
⑤AH = EH
⑥AG＝EG等．
（写出其中4条即可）
有
能力提高 / 初三 / 暑假
所
权
版
第 11 讲 平行与比例
习
育
学 例题练习题答案
教 9
例1 (1)【答案】a d 爱 9
代
5
=
6
c b 时
风
(2)【答案】5
随
3
(3)【答案】1
3
(4)【答案】3
(5)【答案】2或−1
练1.1 【答案】−13
6或−3
练1.2 (1)【答案】C
(2)【答案】D
有
例2 【答案】A
练2.1 【答案】C 所
练2.2 【答案】B 权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
例3 (1)【答案】C
习
育
(2)【答案】C
学
教 9
练3.1 【答案】B 爱 9
代
5
练3.2 【答案】D
6
时
例4 【答案】2 风
随
3
练4.1 【答案】15
练4.2 【答案】A
例5 【答案】AE 2
=
AC 3
练5.1 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD DE
∵ = ，
BD EF
AE DE
∴ = ，
EC EF
有
∴AD∥CF．
所
AE 2
权
∵ = ，
AC 3
版
AD AE
习
∴ = = 2． 育
FC EC
学
教 9
练5.2 【答案】6
爱 9
代
5
5
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 57/842021/5/19 备授课-备课页
第 11 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】 由题：a = k(b+c+d),b = k(a+c+d),c = k(a+b+d),d = k(a+b+c)
全部相加：a+b+c+d = 3k(a+b+c+d)
（1）若a+b+c+d = 0，则k = −1
1
有
（2）若a+b+c+d ≠ 0，则k =
3
所
1
权
∴k = −1或
3
版
4 【答案】A
习
5 【答案】C 育
学
6 【答案】D 教 9
爱 9
7 【答案】C 代
5
8 【答案】A
时
6
风
9 【答案】C
随
10 【答案】 AF AD AF AE AE AD DE AE
∵DF∥BE，∴ = ，又 = ，∴ = ，∴DE∥BC，∴ = ，
FE DB FE CE CE DB BC AC
AE 2 AE 2 DE 2
∵ = ，∴ = ，∴ =
CE 3 AC 5 BC 5
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
课堂落实答案
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1 【答案】A
有
2 【答案】A
所
3 【答案】B
权
4 【答案】B
版
5 【答案】∵DE∥BC，
AD AE 习
育
∴ = ，
学
BD EC
教
9
5 3 爱 9
代
即 = ， 5
10 EC 6
时
风
解得EC = 6．
随
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 平行与比例
精选精练
1 【答案】 3
2 【答案】 a+4 b+3 c+8
解：令 = = = k．
3 2 4
∴a+4 = 3k，b+3 = 2k，c+8 = 4k，
∴a = 3k−4，b = 2k−3，c = 4k−8．
又∵a+b+c = 12，
有
∴(3k−4)+(2k−3)+(4k−8) = 12，
所
∴k = 3．
权
∴a = 5，b = 3，c = 4．
版
∴△ABC是直角三角形．
习
3 【答案】3:2 育
学
4 【答案】1 教 9
爱 9
代
4 5
6
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 59/84爱 9
代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
5 【答案】解：（1） ∵ GF∥BC 时 ，
风
DF DG
随
∴ = ，
FC BG
DF 3
∵ BD = 20， =
FC 2
∴ BG = 8．
（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB = CD，
DM DG
∴ = ，
AB GB
DM 3
∴ = ，
AB 2
DM 3
∴ = ， 有
CD 2
所
CM 1
权
∴ = ．
CD 2
版
6 【答案】证明： ∵ AD∥BC，
习
育
AM AO
∴ = ， 学
教 9
NC CO
爱 9
代
∵ AD∥BC， 5
6
AO AD PD 时MD
风
∴ = = = ，
OC BC PC NC 随
AM MD
∴ = ，
NC NC
∴ AM = MD．
能力提高 / 初三 / 暑假
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 60/842021/5/19 备授课-备课页
第 12 讲 相似三角形判定
例题练习题答案
例1 (1)【答案】③
(2)【答案】②
有
(3)【答案】α = 80∘；β = 72∘；x = 12
所
练1.1 (1)【答案】B 权
版
(2)【答案】24
28 习
育
83∘ 学
教 9
爱 9
练1.2 (1)【答案】B 代
5
6
时
(2)【答案】4.4
风
2.7
随
85∘
例2 (1)【答案】C
(2)【答案】证明：∵∠A = 36∘，AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 72∘，又BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠CBD = ∠ABC = 36∘ = ∠A，又∠C = ∠C，
2
∴△BDC∽△ABC．
练2.1 (1)【答案】B
(2)【答案】证明：∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A，
∴△ADC∽△ACB．
有
练2.2 (1)【答案】C
所
(2)【答案】证明：∵∠BAD = ∠EAC，
权
版
https://bsk.aixuexi.com/courseInfo.html#/printdiy?classTypeId=165913&lessonIds=1127922634,1127922635,1127922636,1127922637,1127922638,… 61/84权
2021/5/19 备授课-备课页
版
∴∠BAC = ∠DAE，又∠C = ∠E，
习
育
∴△ABC∽△ADE．
学
教 9
例3 【答案】 证明： ∵ AB 2 = AC⋅AD，
爱 9
代
5
AB AD
6
∴ = ， 时
风
AC AB
又 ∵ ∠BAD = ∠CAB， 随
∴ ΔADB ∽ ΔABC．
练3.1 【答案】证明： ∵ AB⋅AD = AC⋅AE，
AB AC
∴ = ．
AE AD
又 ∵ ∠BAC = ∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
例4 【答案】 AD 1
证明：∵ = ，AE = EB，AB = AC = BC，
AC 3
AE AD 1
∴ = = ，
BC CD 2
又∠A = ∠C = 60∘，
有
∴△AED∽△CBD．
所
练4.1 【答案】 BC AB
权
证明：∵ = = 3，
DE CD
版
∠ABC = ∠CDE = 90∘，
习
育
∴△ABC∽△CDE．
学
教 9
练4.2 【答案】C
爱 9
例5 【答案】证明：∵AB = AC， 代 5
6
∴∠ABC = ∠ACB， 时
风
∴∠ABD = ∠ACE，
随
又AB2 = BD⋅CE，
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AB CE CE
∴ = = ，
BD AB AC
∴△ABD∽△ECA．
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】证明：∵点D、E、F分别为△ABC的三边中点，
∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，
1 1 1
∴DE = AC，EF = AB，DF = BC（中位线定理），
2 2 2
DE DF EF 1
∴ = = = ， 有
AC BC AB 2
所
∴△ABC∽△EFD．
权
能力提高 / 版初三 / 暑假
习
育
学
教 9
第 12 讲 相似三角形判定
爱 9
代
5
自6我巩固答案
时
风
1 【答案】D
随
2 【答案】D
3 【答案】25
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】B
10 【答案】 证明：∵CD = CE，
∴∠CDE = ∠CED．
∵∠AEC+∠CED = 180∘ = ∠BDA+∠CDE，
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∴∠BDA = ∠AEC．
有
又∵∠B = ∠EAC，
所
∴△ABD∽△CAE．
权
能力提高 / 版初三 / 暑假
习
育
学
教
第 12 讲 相似三 9 角形判定
爱 9
代
5
课堂6落实答案
时
风
1 【答案】A
随
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB = ∠DBC．
∵BD⊥DC，
∴∠BDC = 90∘．
∵∠BAD = 90∘，
∴∠BAD = ∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 12 讲权 相似三角形判定
版
精选精练
习
1 【答案】∵矩形ABFE∽矩形DEFC， 育
学
且相似比为1:2， 教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
AB AE 1
风
∴ = = ，
DE DC 2 随
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD = AB = 4，
4 AE 1
∴ = = ，
DE 4 2
∴DE = 8，AE = 2，
∴AD = AE+DE = 2+8 = 10．
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】证明：在△ABC与△AEF中，
∵AB = AE，BC = EF，∠B = ∠E， 有
∴△AEF≌△ABC， 所
∴AF = AC，
权
∴∠AFC = ∠C，
版
又∵∠E = ∠B，∠ADE = ∠FDB，
习
育
∴△ADE∽△FDB．
学
教 9
爱 9
能力提高代 / 初三 / 暑假
5
6
时
风
随
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
例题练习题答案
例1 (1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】A
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(4)【答案】1:4
(5)【答案】√2
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】C
有
练1.2 (1)【答案】C
所
(2)【答案】A
权
例2 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
版
∴∠A = D = 90∘．
习
育
∵CE⊥EF ，
学
教 9
∴∠AEF+∠DEC = 90∘．
爱 9
代
5
又∵∠F+∠AEF = 90∘，
6
时
∴∠F = ∠DEC． 风
∴ △ AEF ∼△ DCE． 随
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC = AB = 4．∵AE = 6，AD = 14，
∴DE = AD−AE = 8．
∵ △ AEF ∼△ DCE，
AF AE AF 6 3
∴ = ，即 = = ，
DE DC 8 4 2
∴AF = 12．
练2.1 【答案】∵ΔADE与ΔACB相似，
∠AED = ∠B，∠A = ∠A，
ED BC
∴ = ，
AD AC
有
5 14
∴ = 所
AD 12
权
版
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版
30
习
∴AD =
育
7
学
教 9
AE DE
爱 9
∵ =
代
5
AB BC
6
时
AE 5 风
∴ =
20 14 随
50
∴AE =
7
练2.2 【答案】（1）∵△ABC∽△DEC，
AC BC
∴ = ，
DC EC
又∵AC = 4.8，CD = 1.6，BC = 9.3，
∴EC = 3.1；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB = ∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE = 180∘，
∴∠ACB = ∠DCE = 90∘，
有
∴BC⊥AD．
所
例3 【答案】6
权
练3.1 【答案】9
版
5
习
练3.2 【答案】5 育
学
例4 【答案】∵CD = 20m，CE = 40m，AD = 1教00m，BE = 20m，9
爱 9
∴AC = CD+AD = 120m，B代C = CE+BE = 60m．
5
6
∴CE:AC = 40:120 =时1:3，CD:BC = 20:60 = 1:3．
风
∴CE:AC = CD:BC．
随
∵∠C = ∠C，
∴△CED∽△CAB．
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∴DE:AB = CD:BC = 1:3．
∴AB = 3DE = 135m．
∴A、B两地间的距离为135m．
练4.1 【答案】10
练4.2 【答案】D
例5 (1)【答案】B
(2)【答案】 如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
有
所
权
版
习
育
学
教 9 a b
( )
由作爱图知，△ABC内一点M(a,b)的对应 9 点的坐标为 , ．
代
5 2 2
6
时
练5.1 【答案】A 风
随
练5.2 (1)【答案】如图，四边形OA′B′C′为所求．
(2)【答案】由图可知，A′(−2,2)，B′(−4, −2)，C′(−2, −2)．
能力提高 / 初三 / 暑假
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第 13 讲 相似三角形的性质与应用
有
自我所巩固答案
1 【答案】A 权
2 【答案】B
版
3 【答案】B
习
育
4 【答案】C
学
教
5 【答案】B 9
爱 9
6 【答案】13.5m 代
5
6
7 【答案】B 时
风
8 【答案】D
随
9 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
AC √2
（2） = ．
BC 2
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
有
∵∠E=∠E，
所
∴△EAC∽△ECB；
权
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
版
∴CD∥AB，即：CD∥AE
CD DF 习
育
∴ = ，
学
AE AF 教 9
爱 9
∵DF=AF
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
∴CD=AE，
风
∵四边形ABCD是平行四边形，
随
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
AE CE AC
∴ = = ，
CE BE BC
1 CE √2
∴CE2=AE•BE= BE2，即： = ，
2 BE 2
AC √2
∴ = ．
BC 2
10 (1)【答案】
有
所
权
【解析】位似中心一定在对应点的连线上，那么做两对对应点连线，两直线的交点即为位似中
版
心；
习
育
(2)【答案】AO:A′O = 6:1学2 = 1:2．
教 9
【解析】 求出AO与爱A ′ O边之比即为△ABC与△A ′ B ′ C 9′ 的位似比．
代
5
6
时
风
能力提高 / 初三 / 暑假
随
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
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3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 13 讲 相似三角形的性质与应用
权
版
精选精练
1 【答案】B 习
育
【解析】∵∠ACB = 90∘，BC学= 3，AC = 4，
教 9
根据勾股定理爱得：AB = 5， 9
代
5
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点6E，
时
风
∴∠BDE = 90∘，∠B = ∠B，
随
∴△ACB∽△EDB，
∴BC:BD = AB:(BC+CE)，又BC = 3，AC = 4，AB = 5，
∴3:2.5 = 5:(3+CE)，
7
从而得到CE = ．
6
故选：B．
2 【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形
∴AB = BC = AC，∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60∘
有
1 1
所
∵BD = BC，CE = AC
3 3
权
版
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版
∴BD = EC
习
育
∴△ABD≌△BCE
学
∴∠BAD = ∠CBE， 教 9
爱 9
∵∠ABE+∠EBD = 60∘ 代 5
6
∴∠ABE+∠CBE = 6时0∘
风
∵∠AFE是△ABF的外角
随
∴∠AFE = 60∘
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM = CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM = CM = EC
1
∵EC = CD
2
∴EM = CM = DM
∴∠CED = 90∘
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD:AD = DF:DB 有
∴BD2 = DF⋅DA 所
2 权
∴CE = DF⋅DA
∴③是对的； 版
在△AFE和△BAE中，∠BA习E = ∠AFE = 60∘，∠AEB是公共角
育
∴△AFE∽△BAE 学
教 9
∴AF⋅BE = AE爱⋅AC 9
代
5
∴④是正确的．
6
时
故选：A． 风
随
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3 【答案】解：设AB = x米，BC = y米．
∵∠ABC = ∠EDC = 90∘，
∠ACB = ∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
AB BC
∴ = ，
ED DC 有
x y
所
∴ = ．
1.5 2 权
∵∠ABF = ∠GHF = 90∘， 版
∠AFB = ∠GFH， 习
育
∴△ABF∽△GHF，
学
教 9
AB BF
爱 9
∴ = ， 代 5
GH HF
6
时
风
x y+10
∴ = ，
随
1.5 3
y y+10
∴ = ，
2 3
解得：y = 20．
x y
把y = 20代入 = 中，
1.5 2
x 20
得 = ，
1.5 2
解得x = 15．
∴树的高度AB为15米．
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【解析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
有
4 【答案】C
所
【解析】作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，
权
版
习
育
学
教
9
爱 9
代
5
6
时
风
BD = CE = 9.6（米），
随
BE = CD = 2（米），
AE 1
根据题意得 = ，
EC 1.2
AE 1
即 = ，
9.6 1.2
解得AE = 8（米），
所以AB = AE+BE = 8+2 = 10（米）．
答：旗杆的高度为10米．
5 【答案】2：3
【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
AB 4
( )2 有
∴△ABC的面积：△DEF面积 = = ，
DE 9
所
∴AB:DE = 2:3，
权
故答案为：2：3．
版
6 (1)【答案】如图所示，△A
1
B
1
C 1习即为所求．
育
学
教 9
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
风
随
(2)【答案】点A 的坐标为(0,4)、B 的坐标为(−2,0)、C 的坐标为(4, −2)．
1 1 1
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1 (1)【答案】 3 4 3 4 3 4
有
①sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，tanB = ；
5 5 4 5 5 3
所
5 12 5 12 5 12
权
②sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，tanB = ．
13 13 12 13 13 5
版
(2)【答案】A 习
育
(3)【答案】 √10 学 3√10 1
教 9
sinB = 爱 ，cosB = ，tanB = ． 9
10 代10 3
5
6
时
(4)【答案】 4 4
风
cosA = ，tanB = ，AB = 15
5 3 随
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】∵在△ABC中，∠C = 90∘，
√ √
2 2 2 2
∴AC = AB −BC = 13 −5 = 12．
AC 12 AC 12
∴sinB = = ，tanB = = ．
AB 13 BC 5
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练1.2 (1)【答案】A
(2)【答案】 4
在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = 3，tanB = ，
3
AC
∵tanB = ，
BC 有
AC 3 9
所
∴BC = = = ，
tanB 4 4 权
3 版
习15
√ 育
2 2
则AB = AC +BC = ．
学4
教 9
爱 9
例2 (1)【答案】C 代
5
6
【解析】如图，取格点D，时连接BD，
风
随
∵AC和BD都是刚好穿过每个小正方形的对角顶点，
∴BD⊥AC，
AD √5
∴cos∠A = =
AB 5
(2)【答案】3
4
练2.1 【答案】C
有
练2.2 【答案】A
所
例3 (1)【答案】D
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
(2)【答案】B
习
育
(3)【答案】D
学
教 9
(4)【答案】1 爱 9
代
5
2 6
时
风
练3.1 (1)【答案】D
随
(2)【答案】B
练3.2 (1)【答案】B
(2)【答案】B
(3)【答案】D
例4 【答案】 √2 √3
| | ( )
2
已知 sinA− + −cosB = 0，
2 2
√2 √3
所以sinA− = 0，且 −cosB = 0，
2 2
√2 √3
所以sinA = ，且cosB = ，
2 2
有
又知∠A、∠B都是锐角，
所
所以∠A = 45∘，∠B = 30∘，
权
所以∠C = 105∘．
版
练4.1 【答案】A
习
育
【解析】 已知 (√3tanA−3 )2 + | 2cosB−√3 | = 0，则√3tanA−3 = 0，2cosB−√3 = 0，所以
学
教 9
√3
爱 9
tanA = √3，cosB = ，即代∠A = 60∘，∠B5= 30∘．
2
6
时
风
练4.2 【答案】A
例5 【答案】（1）1+√3； 随
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1
（2） ；
4
√3+1
（3） ；
2
（4）0．
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】B
能力提高 / 初三 / 暑假
有
所
第 14 讲 锐角三角函数
权
版
课堂落实答案
习
1 【答案】A 育
2 【答案】B 学
教 9
3 【答案】C 爱 9
代
5
4 【答案】D 6
时
风
5 【答案】 3
−
随
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】D
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5 【答案】A
有
6 【答案】A
所
7 【答案】D
权
8 【答案】D
版
9 【答案】C
10 【答案】 3 习
育
（1）2；（2） ．
学
2
教
9
爱 9
代
5
能力提高 / 初三 / 暑假
6
时
风
随
第 14 讲 锐角三角函数
精选精练
1 【答案】D
【解析】 √3
∵cos30∘ = ，sin80∘ = cos10∘，余弦函数随角增大而减小，
2
∴10∘ < A < 30∘．
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】解： ∵ CD⊥AB，BE⊥AC，则易证ΔABE ∽ ΔACD，
有
AD AC
所
∴ = ，
AE AB
权
又 ∵ ∠A = ∠A，
版
∴ ΔAED ∽ ΔABC，
习
育
AD DE 2
学
∴ = = ，
教 9
AC BC 5
爱 9
代
5
6
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代
5
2021/5/19 备授课-备课页
6
时
设AD = 2a，则AC = 5a，
风
根据勾股定理得到CD = √21a，
随
CD √21
因而sinA = = ．
AC 5
故选：B．
5 【答案】C
6 【答案】2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
有
1 【答案】C
2 【答案】D 所
3 【答案】C 权
4 【答案】C 版
5 【答案】D
习
育
6 【答案】B
学
教 9
7 【答案】D
爱 9
代
8 【答案】D 5
6
【解析】∵AE:ED = 2:1， 时
风
∴AE:AD = 2:3，
随
∵∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S :S = 4:9，
ΔABE ΔACD
9
∴S = S ，
ΔACD ΔABE
4
∵AE:ED = 2:1，
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∴S :S = 2:1，
ΔABE ΔBED
∴S = 2S ，
ΔABE ΔBED
9 9
∴S = S = S ，
ΔACD ΔABE ΔBED
4 2
9 15
有
∵S = S +S +S = 2S + S +S = S ，
ΔABC ΔABE ΔACD ΔBED ΔBED ΔBED ΔBED ΔBED
2 2
所
∴S :S = 2:15，
ΔBDE ΔABC 权
9 【答案】30∘
版
10 【答案】√5
习
育
11 【答案】6
学
教 9
12 【答案】40∘
爱 9
代
5
13 【答案】(−1, −5)
6
时
14 【答案】y > y > y 风
3 1 2
15 【答案】 3 随
（1）2−√3；（2）1− √2．
4
16 【答案】解：（1）方程可化为(x+4)(x−3) = 0
解得x = −4，x = 3
1 2
17 【答案】证明：作OE⊥AB于点E，则CE = ED
又∵OA = OB
∴AE = BE
∴AE−CE = BE−ED即AC = BD
有
所
权
版
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2021/5/19 备授课-备课页
版
18 【答案】 ⌢ ⌢
习
解：∵BC = BC 育
学
∴∠BDC = ∠BAC 教 9
爱 9
∵∠ABC = ∠BDC = 60∘ 代
5
6
∴∠ABC = ∠BAC = 6时0∘
风
∴∠ACB = 60∘
随
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60∘
∴△ABC为等边三角形
∵AC = 3cm
∴△ABC的周长为：3×3 = 9cm
19 【答案】解：∵AD = 4，BD = 8
∴ AB = AD+BD = 12
又∵DE∥BC，DE = 5
AD DE 4 5
∴ = 即 =
AB BC 12 BC
解得BC = 15
20 【答案】证明：（1）在△ADC和△ACB中
∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A 有
∴△ADC∽△ACB 所
（2）∵△ADC∽△ACB 权
∴AC:AB = AD:AC
版
∴AC2 = AB⋅AD
习
育
∵AD = 2，AB = AD+BD = 2+3 = 5
学
教 9
2
∴AC = 5×2 爱 = 10 9
代
5
∴AC = √10
6
时
21 【答案】（1）解：∵BC = DC 风
∴∠CBD = ∠CDB = 39∘ 随
∵∠BAC = ∠CDB = 39∘，∠CAD = ∠CBD = 39∘
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∴∠BAD = ∠BAC+∠CAD = 39∘ +39∘ = 78∘
（2）证明：∵EC = BC
∴∠CEB = ∠CBE
而∠CBE = ∠2+∠CBD，∠CEB = ∠1+∠BAC
∴∠2+∠CBD = ∠1+∠BAC
∵∠BAC = ∠CBD
∴∠1 = ∠2
22 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B = 180∘，∠ADF = ∠DEC． 有
所
∵∠AFD+∠AFE = 180∘，∠AFE = ∠B，
∴∠AFD = ∠C． 权
在△ADF与△DEC中， 版
{ ∠AFD = ∠C， 习
育
∠ADF = ∠DEC，学
教 9
∴△ADF∽△DE爱C； 9
代
5
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
6
时
∴CD = AB = 8． 风
由（1）知△ADF∽△DEC， 随
AD AF
∴ = ，
DE CD
AD⋅CD 6√3×8
∴DE = = = 12．
AF 4√3
易证△ADE是直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
√
AE = √ DE2−AD2 = 122− ( 6√3 )2 = 6．
23 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
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∵CF⊥CE
有
∴∠4+∠3=90°
所
∴∠2=∠4，
权
∴△CDE∽△CBF；
版
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB， 习
育
∵B为AF的中点 学
教
9
∴BF=AB， 爱 9
代
5
设CD=BF=x
6
时
∵△CDE∽△CBF， 风
CD DE
随
∴ = ，
CB BF
x 1
∴ = ，
3 x
∵x > 0，
∴x=√3，
即CD的长为√3．
有
所
权
版
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