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培优 01 平行线的有关类型题（5 大题型）
题型1 定义与命题的判定
区分定义（描述本质特征）与命题（判断真假的陈述句）。命题必须能判断真假，且由题设和结论组
成。识别时看是否具有"如果…那么…"结构，定义则是对数学名词的本质规定。
1．下列句子中，属于命题的是（ ）
A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短
C．利用三角板画出 的角 D．直角都相等吗？
2．下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
3．下列语句是命题的是（ ）
A．作 B．若 ，则
C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗4．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两个锐角的和一定大于
B．两直线平行，内错角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
5．下列选项中不是命题的是（ ）
A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果 ，那么
6．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号）
①三角形的内角和等于 ；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对
顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
7．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命
题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？
题型2 真命题与假命题的判定
通过逻辑推理或举反例判断。真命题需证明其普遍成立；假命题只需找到一个反例即可推翻。注意几何
命题需考虑所有情况，避免以偏概全。
8．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形
C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
9．已知下列命题，其中真命题的个数（ ）
（1）27的立方根是 ；
（2）有理数与数轴上的点一一对应；
（3）平方根是它本身的数有 和0；
（4）同位角相等；
（5）等腰三角形两腰上的高相等；（6）若 ，则 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知题设：直线 ， ，以及三个结论：① ；② ；③ ，
则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
11．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ．
12．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：
13．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ．
14．已知命题“如果 ，那么 ．”
(1)写出此命题的题设和结论；
(2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
15．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；
如果是假命题，举出反例．
(1)若 ，则 ；
(2)对于任意实数 ，一定有 ；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
16．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
(1)直角都相等；
(2)如果 ，那么 ， ．
17．用举反例的方法说明下列命题是假命题：
(1)如果 ，则 ；
(2)相等的两个角一定是对顶角；
(3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．题型3 平行公理及其应用
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。应用时用于证明两条直线平行或解决与平
行线相关的存在性和唯一性问题。
18．下列各图中，不能画出 的是（ ）
A． B． C． D．
19．a，b，c是三条直线，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．以上全不对
20．“如果 ，那么 ，”这一推理的依据是（ ）
A．垂直定义
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．等量代换
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
21．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于
这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角
互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④22．若直线 ， ，则 的依据是 ．
23．如图， 中， ， 是 的中线，已知 ， 为过点 的一条直线，且
，则 的度数是 ．
题型4 平行线的判定
掌握三种判定方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。关键是找准角的位置关系，并证明对应
角满足上述条件之一。
24．如图，点E在 的延长线上，则下列条件中，不能判定 的是( )
A． B． C． D．
25．下列各图形中， ，能确定 的是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）A． B．
C． D．
27．如图，点 在 的延长线上，下列条件能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图，不能作为判断 的条件是（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，如果 ，那么 ，根据 ．（只需写出一种情况）
30．请完成平行线的判定定理1的证明：
已知：如图， 和 是直线a，b被直线c截出的内错角，且 ．求证： ．证明： （已知），
________（________），
________ ________（等量代换），
（________）．
31．请完成平行线的判定定理2的证明：
已知：如图， 和 是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且 与 互补．求证： ．
证明： 与 互补（已知），
________ （互补的定义），
________ （等式的性质）．
________ （________），
________ （等式的性质），
（等量代换），
（________）．
32．如图，已知：在 中， ， ，点E、F分别为边 、 上的点，且
．求证： ．证明： ，
（______），
．
又 ，
______ ______．
，
______．
（______）．
题型5 平行线的性质与判定的综合
明确判定（由角的关系推平行）与性质（由平行推角的关系）的区别。综合题中常需交替使用，需理清
推理链条，注意每一步的依据。
33．下列说法中：
①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，
在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的
光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 ， ，则 的大小是（ ）A． B． C． D．
35．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且 ， 若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
36．如图，下列过程及括号中所注明的依据正确的是（ ）
A．因为 ，所以 （内错角相等，两直线平行）
B．因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补）
C．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）
D．因为 ，所以 （同位角相等，两直线平行）
37．下列命题是真命题的有（ ）
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；
③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点， ， ， ，那么点P到
直线l的距离是 ；④ 与 的两边分别平行； 比 的3倍少 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
38．如图，在 中， 相交于点 ．当 时，则
的大小是（ ）A． B． C． D．
39．如图， ，在 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，试说明 与 的位置关系，
并说明理由．
40．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面 ，前支架 与后支架
分别与 交于点G和点D， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求扶手 与靠背 的夹角 的度数．
41．懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象
出的几何图形，其中 ，点 在同一直线上，点 在同一条直线上，且
．求证： ．证明：如图（2），延长 交 于点P．
∵ （已知），
（两直线平行，内错角相等）．
又 ______（已知），
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
（______）．
又∵______（已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
∴______（同角的补角相等）．
42．如图，在四边形 中，已知 ， ，求 的度数．能否求得 的度数？
43．如图，点A，B，D在同一条直线上， ， ， ．求证： ．
44．如图，在 和 中， 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ．(1) 和 全等吗？请说明你的理由；
(2)若 ，求 的值．
45．如图，在四边形 中， ， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，当 时， ， ，求 的长．
46．请填空，完成下面的证明．
如图，已知 于点D， 于点F， ，证明：
证明： ， 已知 ，
______ ，
同位角相等，两直线平行 ，
______ ，
已知 ，______ ，
______ ，
______
47．如图，已知 分别为 上一点（ ），EF平分
．则下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．
其中正确的是 ．（填序号）
48．如图，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， 于点E， ，求 的度数．
49．如图，已知 ，试说明： ．完善下面的解答过程，并填写理由或数
学式：解：∵ （已知）
∴ （ ）
∴ （ ）
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）即
∵ （已知）
∴ （ ）
即
∴ （ ）．
50．已知：如图，点 在 上，点 在 上， ．求证：
(1) ；
(2) ．
51．如图， ， ， ， ，(1)问直线 与 有怎样的位置关系？并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
52．看图填空：已知如图， 于 ， 于 ， ，求证： 平分 ．
证明：∵ 于 ， 于 （已知），
∴ （___________________）．
∴ （等量代换）
∴ （__________________）
∴ （_________________），
_________（两直线平行，同位角相等）
又∵ （已知）
∴__________ = _________（__________________）
∴ 平分 （____________________）．
53．如图，四边形 中， 为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．若
， ， ．
（1）试说明 ；
（2） 与 的位置关系如何？为什么？（3） 与 相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过
程．
解：（1） ，（已知）
．（_____）
（2）AD与BC的位置关系是： ，理由如下：
，（已知）
_____．（__________________）
，（已知）
_____．（_________________）
，（已知）
，
即 _____ _____，
_____．（等量代换）
．（_____________）
（3）_____________．
54．补全下面的证明过程及推理依据，
已知：如图点E在直线 上，点B在直线 上， ， ．
求证： ．
证明： （已知）， （ ）
（ ）
（ ）
（ ）
又 （已知）
（ ）
（ ）
55．已知，如图， ， ， ．求证： ．请补全下面的证明：
证明： （已知）
∴ （_________）
_________（两直线平行，内错角相等）
（已知）
_________（等量代换）
∴ （_________）
（两直线平行，同位角相等）
，
，
．（_________）
培优综合练
56．如图，在 中， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于 ，交 于
，下面说法：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
57．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证． 年5月 日，抖空竹经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗
产名录．
【特殊与一般】小明在观察“抖空竹”时发现，可将某一时刻的情形抽象成数学问题．
如图①，已知 ，
（1）若 ，则 __________°．
（2）若 ，则 __________．（用含 、 的代数式表示）
【拓展与探究】小明继续思考，在平面内，已知射线 、 ，若 ，点 为 、 外一点
（不同于图①），连接 、 ．请补全图形，并探究 与 、 之间的数量关系．
【迁移与应用】根据以上启发，请你利用平行线的性质证明“四边形内角和是 ”．
（要求：画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
58．如图， ，直线l与 ， 分别交于点E，F直角三角形 的顶点M，N分别在直线 ，
上， ．
(1)∠AMP+∠PNC=______．
(2)如图2， ， 的角平分线 交直线 于点 ．①若 ，求证： ；
②过点N作 交 于点Q，连接 ，补全图形．若 ，比较线段 ， 的长度，并说
明理由．
59．如图 ，直线 与直线 、 分别交于点 、 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图 ， 与 的角平分线交于点 ，延长 交 于点 ，点 是 上一点，且
，求证： ；
(3)如图 ，在（2）的条件下，连接 ， ，K是GH上一点，连接PK，作 平分 ，
若 ，求 的度数．
60．如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜
筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右
壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直， 是离
开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如： ，
．设 ， ．(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为______；
(2)如图2，当光线经过 处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经平
面镜上的点 处反射到平面镜 上的点 处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时 与 满
足怎样的数量关系？并说明理由．
61．已知 ， 平分 ， 平分 ， 的延长线交 于点F，过点F作 ，
交 的延长线于点G．
(1)如图1，求证： ；
(2)点M在线段 上，点N在线段 上，且 ，连接 ．若有 成立．
①如图2，当 时，求 的度数．
②当 时，请直接写出 ________ （用含有k的代数式表示）
62．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤 ，
上安装了 两盏激光探照灯如图所示．光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便
立即回转；光线 按顺时针方向以每秒 的速度从 旋转至 便立即回转．(1)若两灯同时旋转， 灯发出的光线 顺时针旋转到 ，然后回转到 时，两灯同时停止旋转．
① 当两灯旋转 秒时，判断光线 所在直线与光线 所在直线的位置关系，并说明理由；
② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时 灯的
旋转时间；若不能，请说明理由．
(2)如果 灯先旋转 秒， 灯才开始旋转．在 灯发出的光束第一次到达 之前，请直接写出 灯旋转
多少秒时，光线 所在直线与光线 所在直线平行．
63．如图，将两个直角三角尺作如下摆放， ，直线 过点 ，
在直线 上， 平分 ．
(1)求 的度数．
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(3)将 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，同时 绕点 逆时针旋转，速度为每秒 ，记旋转
时间为 ，当 旋转一周时，整个运动停止．当 与 的任意一边平行时，求出所有满足条件的
的值．
64．综合与实践：如图， ，点 为平面内任意一点，连接 ，某数学兴趣小组对 ，
， 之间的数量关系进行了探究学习．
【探究一】当点 在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果： ．证明：过点 作 ，
．
， ，
，
．
．
．
【探究二】当点 在如图2所示位置时，猜想 ， ， 之间的数量关系，并给出证明．
【探究三】当点 在如图3所示位置时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系，不要求给出证
明．
【探究四】若 ，请在图4中找到一个符合条件的点 ，并补全图形，不要求给出证明．
【思维拓展】当点 在如图5所示位置时，请直接写出 ， ， ， 之间的数量关系，不要求
给出证明．
