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重难点突破01 数列的综合应用
目录
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立 ；
恒成立 .
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列
的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
项 与第 项 的递推关系还是前 项和 与前 项和 之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；
二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这
种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式
的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是： ； .
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
例1．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，
后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是
指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任
意正整数 ，按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则
（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【解析】由题知 ，因为 ，则有：
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数， ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .
综上所述： 或32.
故选：B
例2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第
三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为 ，则使得 成立的n的最小值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意 ， ， 且 ，
累加可得 ，所以 ，
∴ ，得 ，即 ．
故选：C．
例3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图
所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层
10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【答案】D
【解析】由题意，第一层 个球，第二层 个，第三层 个，第四层 个，
据此规律，第三十六层有小球 个.
故选：D
变式1．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1
将线段 等分为线段 ，如图2.以 为底向外作等边三角形 ，并去掉线段 ，将以上
的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设
线段 的长度为1，则图3中曲线的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3【答案】C
【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的 ，
因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以 为首项， 为公比的等比数列，
所以当进行三次操作后的曲线长度为 .
故选：C
变式2．（2023·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了
如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为
，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和
为（ ）
A．959 B．964 C．1003 D．1004
【答案】A
【解析】将这个数列分组：
第一组1个数 ；
第二组2个数 ；
，
第七组7个数，这7个数的和为
第八组8个数 ，
前八组共36 项，前36项和为 ，
所以前34 项和为 ，
故选：A．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，
即一个数列 本身不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列 为一阶等差数列），或者 仍旧不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每
一项与前一项的差构成等差数列 （则称数列 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数
列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，数列1，1，2，8，64，…为 ，且为一阶等比数列，
设 ，所以 为等比数列，其中 ， ，公比为 ，
所以 ，则 ，
所以第8项为 ．
故选：C.
【解题方法总结】
（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键
（2）解答数列应用题需过好“四关”
题型二：数列中的新定义问题
例4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列 的通项 ，如果把数列 的奇
数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为 ，再把数列 的奇数项又去掉，余下的项依次排列构
成新数列为 ，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构
成的数列记为 ，则数列 前10项的和为（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
【答案】C
【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列 的第
即得到的数列 的第 项为数列 的第 项，
因为 ，可得 ，所以 .
故选：C.
例5．（2023·人大附中校考三模）已知数列 满足：对任意的 ，总存在 ，使得 ，则
称 为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若 ，则 为“回旋数列”；
②设 为等比数列，且公比q为有理数，则 为“回旋数列”；
③设 为等差数列，当 ， 时，若 为“回旋数列”，则 ；
④若 为“回旋数列”，则对任意 ，总存在 ，使得 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①由 可得 ，
由 可得 ，取 即可，则 为“回旋数列”，故①正确；
②当 时， ， ，
由 可得 ，故当 时，很明显 不成立，故 不是“回旋数列，②错误”；
③ 是等差数列，故 ， ，
因为数列 是“回旋数列”，所以 ，即 ，
其中 为非负整数，所以要保证 恒为整数，
故 为所有非负整数的公约数，且 ，所以 ，故③正确；
④由①可得当 时， 为“回旋数列”，
取 ， ，显然不存在 ,使得 ，故④错误
故选：B
例6．（2023·湖北武汉·统考三模）将 按照某种顺序排成一列得到数列 ，对任意 ，
如果 ，那么称数对 构成数列 的一个逆序对.若 ，则恰有2个逆序对的数列 的个
数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B【解析】若 ，则 ，
由 构成的逆序对有 ，
若数列 的第一个数为 ，则至少有 个逆序对，
若数列 的第二个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
若数列 的第三个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 或 ，
若数列 的第四个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
综上恰有2个逆序对的数列 的个数为 个.
故选：B.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若存在实数 ，使得对任意的
，都有 ，则称数列 为“和有界数列”． 下列命题正确的是（ ）
A．若 是等差数列，且首项 ，则 是“和有界数列”
B．若 是等差数列，且公差 ，则 是“和有界数列”
C．若 是等比数列，且公比 ，则 是“和有界数列”
D．若 是等比数列，且 是“和有界数列”，则 的公比
【答案】C
【解析】对于A，若 是等差数列，且首项 ，当d>0时， ，
当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，则 不是“和有界数列”，故A不正确．
对于B，若 是等差数列，且公差 ，则 ，当 时，
当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，则 不是“和有界数列”，故B不正确．
对于C，若 是等比数列，且公比|q|<1，则 ，
故 ，则 是“和有界数列”，故C正确．
对于D，若 是等比数列，且 是“和有界数列”，则 的公比 或 ，故D不正确．
故选：C．变式5．（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔
子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那契
数列的第n项，则数列 满足： . ，记 ，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，数列 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
即 ，∴A正确；
当 时， ，
∴B正确；
由 ，可得 ，
累加得 ，则 ，即 ，∴C错误；
由 ， ，
，∴ ，∴D正确.
故选：C.
变式6．（2023·河北·统考模拟预测）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提
出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，
从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，
4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列 ，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该
数列的第20项为（ ）
A．173 B．171 C．155 D．151
【答案】A
【解析】根据题意得新数列为 ，则二阶等差数列 的通项公式为 ，则
故选：A.
【解题方法总结】
（1）新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解
题的目的．
（2）新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
例7．（2023·重庆巴南·统考一模）已知等比数列 满足： ， .数列 满足
，其前 项和为 ，若 恒成立，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
所以， ，解得 ，则 ，
所以， ，
，所以，数列 为等差数列，
所以， ，
则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， .
又因为 ，故 的最大值为 .
因此， 对任意的 恒成立，所以， ，故 的最小值为 .
故答案为： .
例8．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且
，若 恒成立，则 的最大值是 .
【答案】【解析】因为 ，所以 ，
所以数列 是常数列，则 ，可得 ，故 ，
因为 恒成立，所以 恒成立，即 恒成立，设 ，则
，从而 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 ，所以 的最小值是 ，即 ，
所以实数 的最大值为 .
故答案为： .
例9．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】6
【解析】由 得，
当 时， ， ，…， ，
将这 个式子累加得 ，
则 ， 时也适合，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：6.
变式7．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知数列 满足 ，且对于任意的正整
数n，都有 ．若正整数k使得 对任意的正整数成立，则整数k的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
可得 ，
则有 ，所以 ，
所以 ，
则
，
因为正整数k使得 对任意的正整数成立，
所以 ，
所以整数k的最小值为 .
故答案为： .
【解题方法总结】
（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
（2）数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立 ；
恒成立 .
题型四：数列在实际问题中的应用
例10．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的
需求量 （万件）近似地满足关系式 ，按此预测，在本年度内，需求量
超过1.5万件的月份是 .
【答案】7，8
【解析】因为 ，
所以当 时， ，当 时，
，
化为 ，
解得 ，
可知当 或8，需求量超过1.5万件.
故答案为：7，8.
例11．（2023·高三课时练习）某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备
费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二
实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费
用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元.
【答案】4709
【解析】设第 个实验室的设备费为 ，装修费为 ，则 ，
由题意可得 ，则 ，解得 或 （舍去），
故 ，
∵ 对任意的 均成立，
∴ ，即 ，
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用
，
即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4709万元.
故答案为：4709.
例12．（2023·全国·高三专题练习）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩
运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000
件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第 天收入达
到最高.
【答案】6
【解析】设第n天售出件数为 ,设第n天价格为 .
由题意, 均为等差数列,设公差分别为 .
所以所以 .
假设第n天的收入为 ,则
，
所以当 时, 取最大值,即第6天收入达到最高.
故答案为：6
变式8．（2023·全国·高三专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码
狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式
等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，
，
.
故答案为： .
变式9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）一件家用电器，现价2000元，实行分期
付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率
为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据： ， ，
， ）
【答案】176
【解析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款 元，
则 ，
，…
．
因为 ，所以 ，
解得 ，
即每期应付款176元．
故答案为：176变式10．（2023·全国·高三专题练习）在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将
提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取
2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2
万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5
万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的
水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为 万张．
【答案】
【解析】设每年发放燃油型车牌照数为 ，发放电动型车牌照数 ，发放牌照数为 ，则
成等差数列， 前四项成等比数列，第五项起为常数列， ，
， ，
前10项的和为 ，
， ， ，
因为 ，
所以 ，
前10项的和为： .
所以从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为 .
故答案为：134.
【解题方法总结】
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知
识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
项 与第 项 的递推关系还是前 项和 与前 项和 之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；
二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增
加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
题型五：数列不等式的证明例13．（2023·河北张家口·统考三模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】（1）由题意，数列 满足 ，
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，
两式相减得 ，所以 ，
当 时， ，适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）令 ，由 ，
可得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 .
例14．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式 ．
【解析】∵ ，
∴ ．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 的前n项和为 ，证明：
．
【解析】证法一：∵ ，∴ ．
证法二：∵ ，
当 时， ，∴
．
证法三：∵ ，
又 ， ，∴ ．∴
．
证法四：∵
，
∴ ．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
(3)记 为数列 的前n项和，证明∶ ．
【解析】（1）解法一：由题意知 ， ．
①当 时， ， ， ， 成立．
②假设 时，结论成立，即 ．∵ ，
∴ ．
故 时，结论也成立．
由①②可知，对于 ，都有 成立．
解法二： ， ， ， 成立．
令 ，显然 单调递减．
∵ ，假设 ，
则 ，即 ，
故 ，即 ．
故对于 ，都有 成立．
（2）由（1）知 ，∴ ．
同理，由数学归纳法可证 ， ．
猜测 ．下面给出证明．
∵ ，∴ 与 异号．
注意到 ，知 ， ，
即 ．
∴ ，
从而可知 ．
（3）
，∴
，
∴
．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）证明： ．（注： ．）
【解析】（将交错项合并求和）先考虑
．
可以放缩为等比数列
．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【解析】（1）对任意的 ，
当 时， ，两式相减 ．
整理得 ，
当 时， ，
也满足 ，从而 ．（2）证明：证法一：因为 ，
所以，
．
从而 ；
证法二：因为 ，
所以，
，证毕.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的数列 满足 ， ， ．证
明：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
又数列为正项数列，∴ 与 同号．
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
因为数列为正项数列，所以 ，
综上： .
（2）要证 ，只需要证 ．∵ ，
∴
，
因为 ，所以 为正项数列，且 ，
设 为等比数列，公比为 ，首项为 ，前 项和为 ，
∴ ，
即 ，证毕.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ．
(1)若 ，求实数a的值；
(2)设 ，若 ，证明： ．
【解析】（1） 数列 满足 ， ，
，易知a不为0，解得 ，
， ，
解得 或 ，
由 解得 ，由 ，解得 ．
实数 的值为1．
（2）当 时，数列 满足 ， ，
（各项均不为0），
， ， ，
，，
， ，当且仅当 ，即 时，取等号，
，
再证 ， ．
当 时， ，满足 ．
假设当 ， 时有 ，等价于 ，
， ，
当 时， ，
只需证 ．
证明如下： ， ，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
时， 成立．
综上知 ．综上所述： ．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ， ， ．
(1)证明： ．
(2)设 是数列 的前n项和，证明： ．
【解析】（1）先用数学归纳法证明 ．
当 时结论成立，假设 时结论成立，即 ，则 ，
∴ ．
故当 时结论也成立，由归纳原理知 对 成立．
作出函数 的图象，如图， ， 的方程 ，
根据割线 的位置易知 ，
从而 ．
综上可知 ．
（2）∵ ，且 ，
设 ， ，
则 ，∴ 在 上单调递减，
∴当 时， ，即 .∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
从而 ．
【解题方法总结】
（1）构造辅助函数（数列）证明不等式
（2）放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方
法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式
的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是： ； .
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对 进行放缩，然后求和.
当 既不关于 单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对 进行放缩，使目标变成
可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的
度.
方法2：添舍放缩
方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含n的式子看作是一个数列的前n项的
和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法
证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有n的式子，而是常数，则需要寻找目标
不等式的加强不等式，再予以证明.
方法4：单调放缩
题型六：公共项问题
例16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知 ， ，将数列 与数列
的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 .
【答案】【解析】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
例17．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列 和数列 的公共项从小到大构
成一个新数列 ，数列 满足： ，则数列 的最大项等于 .
【答案】 /1.75
【解析】数列 和数列 的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以
因为
所以当 时， ，即 ，
又 ，
所以数列 的最大项为第二项，其值为 .
故答案为： .
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到
新数列 ，则 .
【答案】
【解析】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为偶数；当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以， ，则 ，
因此， .
故答案为： .
变式17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列 与 的公共项由小到大排列得
到数列 ，则数列 的前n项的和为 ．
【答案】
【解析】由题意令 ，即2不是数列 与 的公共项；
令 ，即4是数列 与 的公共项；
令 ，即8不是数列 与 的公共项；
令 ，即16是数列 与 的公共项；
依次类推，可得数列 ： ，
即 是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列 的前n项的和为 ，
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）数列 与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 ，
则 .
【答案】
【解析】数列 与 分别是以 为公差， 为首项的等差数列，
则新的数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
故 .
故答案为： .
变式19．（2023·安徽蚌埠·统考一模）有两个等差数列 及 由这两个等差数列的
公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 .【答案】
【解析】在等差数列 和等差数列
中，公共项按从小到大的顺序组成一个新的等差数列： 共 项，它们的
和为
考点：等差数列及其求和公式.
题型七：插项问题
例19．（2023·全国·高三对口高考）在数1和100之间插入n个实数，使得这 个数构成递增的等比数
列，将这 个数的乘积记作 ，再令 .则数列 的通项公式为 .
【答案】 ，
【解析】记由 个数构成递增的等比数列为 ，
则 ， ，则 ，即
所以 ，
即
故答案为： ， .
例20．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列 中， ，若在数列 每
相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，
设在数列 每相邻两项之间插入三个数所得新数列为 ，
则新的等差数列 的公差为 ，首项为 ，
所以新数列的通项公式为 ，
故 .故答案为： .
例21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的首项 ， ，
.
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)在 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 .记 为数列
的前n项和，求 .
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，取倒得 ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 是 ， 的等比数列，
所以 .
（2）在 之间有2个3， 之间有 个3， 之间有 个3， 之间有 个3，
合计 个3，
所以 .
变式20．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列 的前2n项和 .
【解析】（1）因为 ①，
所以 时， ②，
① ②得： ，即 ，
又 时， ，所以 也满足上式，
故 的通项公式为 .（2）设数列 满足 ．
记 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，则 ．
由等比数列的求和公式得： ， ．
所以 ．
即新数列 的前 项和 ．
变式21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 为数列 的前 项和，已知
，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插入 项，
所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前100项的和.
【解析】（1）当 时， ，解得 （ 舍去），
由 得 时， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ，
所以 是等差数列，首项为4，公差为3，
所以 ；
（2）由于 ，
因此数列 的前100项中含有 的前13项，含有 中的前87项，
所求和为 .
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数），且满足
是 与 的等差中项；数列 满足 （ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数列 .设 是数列的前 项和，试求 .
【解析】（1）由题意，可得 ，所以 ，
解得 或 （舍），则 ，
又 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
因为数列 为等差数列，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列.
（3）因为 ，所以 与 之间插入 个2，
，所以 与 之间插入 个2，
，所以 与 之间插入 个2，
……
则 的前 项，由 个 ， 构成，
所以 .
变式23．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
故等比数列 的公比为 ，
，
，
故数列 的通项公式为 ．
（2）由 得： ， ，故 ，即 ，
，
，
得： ，
故 ．
题型八：蛛网图问题
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 若 （ 且 ），若
对任意 恒成立，则实数t的取值范围是 .
【答案】
【解析】法一：不妨先由 得到 恒成立的必要条件，
；
，设 ，则 ，
所以 ，解得 ，故 ，
又 ，
故 ，
所以 ，得证.
法二：蛛网法
记函数 ，过定点 .
当 时， 迭代收敛于点A，只需位于直线 下方，即 ；当 时， 迭代收敛于点A，由蛛网图： 单调递减，故只需
即
综上 .
故答案为：
例23．（2023•虹口区校级期中）已知数列 满足： ， ，前 项和为 ，
则下列选项错误的是 （参考数据： ，
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【解析】解：由 ，得 ，，
令 ，即 ，
则 ，
， ．
作图如下：
由图可得：
． 是单调递增数列， 是单调递减数列，因此 正确；
． ， ， ， ，
， ，
， ，因此 正确；
． ， ，因此 不正确；
．由不动点 ， ，得 ，可得： ， ，因此 正确．
故选： ．
例24．（2023•浙江模拟）数列 满足 ， ， ， 表示数列 前 项和，
则下列选项中错误的是
A．若 ，则
B．若 ，则 递减C．若 ，则
D．若 ，则
【 解 析 】 解 ： （ 法 一 ） 对 于 选 项 ， 令 ， ， 则 ， 令
，
易知 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，此时 ，
又 ，若 ，则有 ，故选项 正确；
对于选项 ，结合选项 中的过程，作出递推函数与 的交点，可得函数 的不动
点为 和1，且 ，
故函数 在 单调递增，且 ，
故 为吸引不动点， 为排斥不动点，
故当 时，数列 向吸引不动点 靠近，单调递减，故选项 正确；
对于选项 ， ，由选项 ， 的过程可知，当 时，数列 单调递减且
，故 ，
而显然 ，故 成立，故选项 正确；
对于选项 ，当 时，结合选项 ， 的过程及蛛网图，易知数列 单调递增，
又 ， 故 当 时 ， ， 即
，
故 ，
，故 ，故选项 错误．
（法二）作出 与 的图象，由蛛网图可知，选项 ， 正确；
若 ，由蛛网图可知， ， 时， ，则 ，
故 ，选项 正确；
若 ，则 ， ，比较 与 的大小，
，
则 ，选项 错误．
故选： ．
变式24．（2023•浙江模拟）已知数列 满足： ， ，前 项和为 （参
考数据： ， ，则下列选项中错误的是
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【解析】解：由 ，得 ，
，令 ，即 ，则 ， ， ，
作图如下：
由图得：
① 单调递增， 单调递减，
，故 正确；
② ， ， ， ，
， ，
， ，故 正确；
③ ， ，故 错误．
④由不动点 ，得 ， ，
， ，故 正确．
故选： ．
变式25．（2023•下城区校级模拟）已知数列 满足： ，且 ，下列说法正
确的是
A．若 ，则 B．若 ，则C． D．
【解析】解： ， ， ．
，故 且 ，于是
与 同号，
．
对于 ，若 ，则 ，则 ， ，所以 ，故
错误；
对于 ， ，
即 ，于是 ，
即 数列 单调递减，
于是 ，
所以 ，
即 ，
，
，
故 ， 正确；
对于 ，考虑函数 ，如图所示由图可知当 时，数列 递减，
所以 ，即 ，所以 不正确；
对于 ，设 ，则 ，
由上图可知，由上图可知， ，
即 ，
等价于 ，
化简得： ，
而 显然不成立，所以 不正确；
由排除法可知 正确．
故选： ．
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和是 ，且 ．
(1)证明： 为等比数列；
(2)证明：
(3) 为数列 的前n项和，设 ，是否存在正整数m，k，使 成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
【解析】（1） ， ，
两式相减，得
又 时， 是首项和公比都是2的
等比数列．
（2）由（1）得 ．
，
所以 是等比数列，首项和公比都是 ，
（3）假设存在正整数m，k， 使 成立，
， ，
，
所以 ，
，又正整数m，k，
，
或 或
或 或 .
例26．（2023·全国·高三专题练习）设 是各项为正数且公差为 的等差数列
(1)证明： 依次成等比数列；
(2)是否存在 ，使得 依次成等比数列，并说明理由；
(3)是否存在 及正整数 ，使得 依次成等比数列，并说明理由．
【解析】（1）∵ （ ）是同一个常数，
∴ ， ， ， 依次构成等比数列．（2）令 ，则 ， ， ， 分别为 ， ， ， （ ， ， ）．
假设存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列，
则 ，且 ．
令 ，则 ，且 （ ， ），
化简得 （ ），且 ．将 代入（ ）式，
，则 ．
显然 不是上面方程的解，矛盾，
∴假设不成立，
因此不存在 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列．
（3）假设存在 ， 及正整数 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列，
则 ，且 ．
分别在两个等式的两边同除以 及 ，并令 （ ， ），
则 ，且 ．
将上述两个等式两边取对数，得 ，
且 ．
化简得 ，
且 ．
再将这两式相除，化简得 （ ）．
令 ，
则 ．
令 ，
则 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．由 ， ，
知 ， ， ， 在 和 上均单调．
故 只有唯一零点 ，即方程（ ）只有唯一解 ，故假设不成立．
∴不存在 ， 及正整数 ， ，使得 ， ， ， 依次构成等比数列．
例27．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列 的前 项和为 且当
时， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项
（其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意， ，在数列 中，当 时， 成等差数列，所以
，即 ，
所以 时， ，又由 知 时， 成立，
即对任意正整数 均有 ，
所以 ，从而 ，
即数列 的通项公式为： .
（2）由题意及（1）得， ，在数列 中， ，所以 .
假设数列 中存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
即 ，化简得 ，
因为 成等差数列，所以 ，所以 ，化简得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，这与题设矛盾，
所以假设不成立，
所以在数列 中不存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，点
均在函数 图象上.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)问 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.【解析】（1）证明：对任意的正整数 ，点 均在函数 图象上，
可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）不存在.
理由：由（1）得 ，
当 时，可得 ，
又因为 ，所以 ，
反证法：因为 ，且从第二项起数列 严格单调递增，
假设存在 使得 成等差数列，
可得 ，即 ，
两边同除以 ，可得
因为 是偶数， 是奇数，所以 ，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 通项公式；
(2)设 ，在数列 中是否存在三项 （其中 ）成等比数列？若存在，求出这三项；
若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意，
在数列 中，
，
两式相减可得， ， ，
由条件， ，故 .
∴ 是以1为首项，4为公比的等比数列.
∴ .
（2）由题意及（1）得， ，
在数列 中， ，在数列 中， ，
如果满足条件的 ， ， 存在，
则 ，其中 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵
∴ ，与已知矛盾，所以不存在满足条件的三项.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）在① ， ，② ，
为 的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列 满足______．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求m的最小值；若不
存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件①：
由 ， ，得 是首项为4，公差为3的等差数列，
则 ，又 ，所以 ．
选择条件②：
由 ，可得当 时， ，
又当 时， 不满足上式，所以
（2）选择条件①：
假设存在满足题意的正整数m，使得 ， ， 成等比数列，
则有 ，即 ，
即
因为 且 ， ，
所以当 时， ．所以存在正整数m，使得 ， ， 成等比数列，m的最小值为8
选择条件②：
假设存在满足题意的正整数m，使得 ， ， 成等比数列，则有 ，
当 时，有 ，即 ，此时n无正整数解，
当 时， ，即 ．
因为 ，所以 不可能为正整数，
所以不存在正整数m，使得 ， ， 成等比数列
变式29．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
【解析】（1）设 的公比为 ，
由 ，两式相除并整理得 ，
解得 或 （舍去），即 ， ，
所以 ．
（2）由（1）有 ， ，所以 ，
假设存在三项 构成等差数列，
则有 ，即 ，
左右两边除以 ， ，
等式左边为偶数，右边为奇数，该等式显然无解，
所以在数列 中不存在不同的三项构成等差数列．
题型十：数列与函数的交汇问题
例73．（2022•龙泉驿区校级一模）已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ，
，数列 是等差数列，若 ， ，则
A． B． C．2 D．3【解析】解： 函数 是奇函数且满足 ，
有 ，
则 ，
即 ，
为周期为3的函数，
数列 是等差数列，若 ， ，
， ，
，
（1） （3） （5） ，
， ， （1） ，
（1） （3） （5） ，
（1） （3） （5） （1） （3） ，
故选： ．
例74．（2022•日照模拟）已知数列 的通项公式 ，则
A．150 B．162 C．180 D．210
【解析】解： ，
可得当 时，数列 递减， 时，数列 递增，
可得
．
故选： ．
例 76．（2022 秋•仁寿县月考）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
，则下列结论中正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】解：由 ，
可得 ， ，即 ， ，从而可得等差数列的公差，
把已知的两式相加可得
整理可得
结合上面的判断可知
所以 ，而
故选： ．
题型十一：数列与导数的交汇问题
例79．（2022•全国模拟）函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线在 轴上的
截距为 ．
（1）求 ；
（2）讨论 的单调性；
（3）设 ， ，证明： ．
【解析】解：（1）函数 的导数为 ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线斜率为 ，
切点为 ，切线方程为 ，
代入 可得 ，
解得 ；
（2） ，
，当 时， ，
可得 在 递增；
（3）要证 ，
只需证 ，
即为 ，只要证 ，
由 在 递减， ，
若 ， ，此时 ，
只要证 ，即为 ，
即 ，
此时 ，由（2）知 ；
若 ， ，此时 ，
只要证 ，即为 ，
即 ，
此时 ，由（2）知 ；
若 ，不等式显然成立．
综上可得 ， 成立，
则 ，
由 ，可得 ，
则 成立．
例80．（2022•枣庄期末）已知函数 ， ，曲线 在点 ， （1） 处的
切线在 轴上的截距为 ．
（1）求 ；
（2）讨论函数 和 的单调性；
（3）设 ， ，求证： ．
【解析】解：（1）对 求导，得 ．因此 ．又因为 （1） ，
所以曲线 在点 ， （1）处的切线方程为 ，
即 ．
由题意， ．
显然 ，适合上式．
令 ，
求导得 ，
因此 （a）为增函数：故 是唯一解．
（2）由（1）可知， ， ，
因为 ，
所以 为减函数．
因为 ，
所以 为增函数．
（3）证明：由 ， ，易得
由（2）可知， 在 上为减函数．
因此，当 时， ，即 ．
令 ，得 ，即 ．
因此，当 时， ．
所以 成立．
下面证明： ．
方法一：由（2）可知， 在 上为增函数．因此，当 时， ，
即 ．
因此 ，
即 ．
令 ，得 ，
即 ．
当 时， ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
所以，当 时， ．
所以，当 时， 成立．
综上所述，当 时， 成立．
方法二： 时，因为 ，
所以 ．
下面用数学归纳法证明： 时， ．
①当 时， ．
而 ，
因为 ，所以 ．可见 ，不等式成立．
②假设当 时不等式成立，即 ．当 时， ．
因为 ， 是增函数，
所以 ．
要证 ，只需证明 ．
而 ，
因为 ，所以 ．所以 ．
可见， 时不等式成立．
由①②可知，当 时， 成立．
题型十二：数列与概率的交汇问题
例28．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用 局
胜制 的比赛规则，即先赢下 局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率
为 ，比赛结束时，甲最终获胜的概率为 .
(1)若 ，结束比赛时，比赛的局数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即 .
(i)求 的取值范围；
(ii)证明数列 单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
【解析】（1） ，即采用3局2胜制， 所有可能取值为 ，
，
的分布列如下表：
2 3
所以 的数学期望为 .
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用 表示3局比赛中甲胜的局数，则 ，甲最终获胜的
概率为：，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用 表示5局比赛中甲胜的局数，则 ，甲最终获胜的概率为：
，
，
得 .
（ii）由（i）知 .
局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ，
局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ，
则 局比赛中甲至少赢 局的概率为 .
考虑 局比赛的前 局：
如果这 局比赛甲至少赢 局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为 ，
如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场至少赢一局，其概率为 ，
如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场都赢，其概率为 ，
因此 局里甲最终获胜的概率为： ，
因此 ，即数列 单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
例29．（2023·全国·高三专题练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记
忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有
任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子
中各任取一个球交换，重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的
概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 的分布列；(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
【解析】（1）（1）由题可知， 的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
; ; ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即： ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
即： .
（3）由全概率公式可得：,
即： ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
例30．（2023·全国·高三专题练习）雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生
活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的
育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮
是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，
若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答
题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第 次回答的
是甲的概率是 ，若 .
①求 和 ；
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，易知 的所有可能
取值为 ，则 ，
，
，
故 的分布列为
0 1 2
，则 .
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，
，则 .
②由第 次回答的是甲的概率为 ，得当 时，第 次回答的是甲的概率为 ，第 次回答的不
是甲的概率为 ，
则 ，即 ，又 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
变式30．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．
已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈
夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为 ,由妻子驾车的概率为 ;③妻子不能连续两天驾车．已知第一
天夫妻双方驾车的概率均为 ．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为 ,求数列 的通项公式．
【解析】（1）解:设妻子驾车天数为 ,则 的可能取值为: ,
由题意可知: ,,
,
所以 的分布列如下表所示:
0 1 2
所以 ;
（2）假设第 天,丈夫驾车的概率为 ,则妻子驾车的概率为 ,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为 ,
即 ,则有 ,
所以 ,因为 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
即 ,故 .
变式31．（2023·全国·高三专题练习）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，
第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词
的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论
答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回
答的是甲的概率为 ，若 ．
①求P，P；
2 3
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，
易知 的所有可能取值为0，1，2，则 ，
，
，
故 的分布列为
0 1 2
P
则 ，
所以 ．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴ ，则 ．
②由第n次回答的是甲的概率为 ，得当n≥2时，第 次回答的是甲的概率为 ，第 次回答的不
是甲的概率为 ，
则 ，
即 ，
又 ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
∴ ，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
变式32．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，
每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投
中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没
有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为 ．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为 ，求p；
(2)若 ，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
【解析】（1）设小明在 处投篮为事件 ，在 处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况
中 中 不中；
中 不中 中；
不中 中 中；
其概率为： ，解得： .
（2）由题意可得得分 的可能取值分别为 ， ， ， ，
；
；
；
；
.
综上所述可得 的分布列为
5 3 2 1 0
变式33．（2023·全国·高三专题练习）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机
地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两
人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
(2)设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
（i）试证明数列 为等比数列；（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【解析】（1）由题意知 的取值为 ，
； ；
；
所以X的分布列为
0 1 2
所以 ；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则 ，
时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不在甲手上并且第 次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当 时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数 .
题型十三：数列与几何的交汇问题
例31．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体 中， ， ， ，…， 在线段
上，且 ，过点 作平行于直线 ， 的平面，截面面积为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B． 为递减数列C．存在常数 ，使 为等差数列
D．设 为数列 的前 项和，则 时，
【答案】ABD
【解析】由题意得 ，
取 中点 ，连接 ，因为 均为等边三角形，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
A选项，过点 做 交 于点 ，过点 做 交 于点 ，连接 ，则 ，
故四边形 为截面，且四边形 为矩形，
由相似知识可知 ， ，
故 ，所以 ，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
故 ，故 为递减数列，B正确；C选项， ，则 ，
不是常数，C错误；
D选项， ，
则 ，
令 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
例32．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的棱长均为 ，其内有 个小球，球
与三棱锥 的四个面都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，如此类推，…，
球 与三棱锥 的三个面和球 都相切（ ，且 ），球 的表面积为 ，体积为 ，
则（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D．数列 为等比数列
【答案】AD
【解析】由题意知三棱锥 的内切球 的球心在高 上，如图1所示，
由正三角形中心的性质可得： ，则 ，
设球 的半径为 ，则利用等体积法： ，
即 ，解得： ，所以球 的体积 ，故选项 正确；如图2所示：易知 ， ， .
设球 与平面 切于点 ，球 的半径为 ，连接 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 ，所以 ，如此类推， .
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，则 ，故选项 错误；
由 可得 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，故选项 错误；
由 可得 ，
数列 是公比为 的等比数列，故选项 正确；
故选： .
例33．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， ， ， ， 是互不相同的正整数，且 ，若在平面直角坐标系中有点 ， ， ， ，则下列选项
成立的有（ ）
A． B．
C．直线 与直线 的斜率相等 D．直线 与直线 的斜率不相等
【答案】ABC
【解析】由题设 ，且 ，又 是等差数列，若公差为 ，
，又 ，
所以 ，A正确；
由 ， ，
又 ，故 ，B正确；
由 ， ，故直线 与直线 的斜率相等，C正确；
同理 ， ，故直线 与直线 的斜率相等，D错误.
故选：ABC
变式34．（多选题）（2023·重庆·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点， ，
点列P在圆 上，若对于 ，存在数列 ， ，使得 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． 为公差为2的等差数列 B． 为公比为2的等比数列
C． D． 前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点列P在圆 上，则由参数方程得 ，则
，∴ .
对于 ，存在数列 ， ，使得 ，即 ①， ②，①②两式相除得 ，
令 ，则 ，则 为以首项 ，公比为
的等比数列.
则 ，AB错；
对C， ，C对；
对D， ，
，
两式相减得，
.
∴ ，D对.
故选：CD.
变式35．（多选题）（2023·广东·高三校联考阶段练习）若直线 与圆
相切，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 为等比数列
C．数列 的前10项和为23 D．圆 不可能经过坐标原点
【答案】AC
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
由直线与圆相切得 ， ，
∴ ， ，
∴ 是首项为 ，公差为 的等差数列，
前10项和为 ；令 ，解得 ，此时圆C经过坐标原点.
综上所述，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
变式36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点， 是圆
上两个不同的动点， 是 的中点，且满足 ．设 到
直线 的距离之和的最大值为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量 与向量 所成角为
B．
C．
D．若 ，则数列 的前n项和为
【答案】ACD
【解析】依题意， ，而点 是弦 的中点，则 ，
，而 ，
于是得 ， ，即 ，A正确；
显然 是顶角 的等腰三角形，则 ，B不正确；
依题意，点 到直线 的距离之和等于点 到直线 距离的2倍，
由 知，点 在以原点O为圆心， 为半径的圆上，则点 到直线 距离的最大值是点O到直线
的距离加上半径 ，
而点O到直线 距离 ，则点 到直线 距离的最大值是 ，因此，
，C正确；
由 得， ，则 ，
因此，数列 的前n项和，D正确.
故选：ACD.
