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1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理） 导学案
（1）理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及直角三角形的判定定理的条件和结论，体会数
学知识之间的内在联系（勾股定理与直角三角形的判定定理的互逆关系）；
（2）会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形；
（3）理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力；
（4）应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提
高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念
新知探究（一）实验操作，初步感知
下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c：
① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25； ⑤ 2, 3, 4。
问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a²+b²=c²？
问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形么？
（二）观察比较，提出猜想
问题1.哪些组能画出三角形？画出的三角形中，最大角是直角吗？此时三边平方有什么关系？
问题2.哪些组画出的三角形最大角不是直角？此时三边平方有什么关系？
问题3.满足a²+b²= c²（c最长）的几组数据，它们都能画出直角三角形，由此你能得出什么结论？
（三）推理论证，形成定理
问题1.我们的猜想（实验结论）一定正确吗？如何证明？（分层教学）
已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 (假设c是最长边)。
求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。
问题2.（启发构造）能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角形三边对应相等？
形成定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。并指出其中 c
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1是斜边（最长边）
勾股数：满足a²+ b²= c²的三个正整数a、b、c，称为勾股数。
·应用新知
例1.“埃及三角形”揭秘：绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形？
例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工
人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗?
强调步骤：
(1) 确定最长边（c）。
(2) 计算：两条较短边的平方和（a²+ b²）与最长边的平方（c²）。
(3) 比较：若 a²+ b²= c²，则是Rt△，最长边c所对的角是直角。若不等，则不是。
题型一.判断是否为直角三角形
1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由。
（1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。
2.（课本P11随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是
如何判断的?与同伴进行交流。
3.如图，四边形 是舞蹈训练场地，要在场地上铺上地胶．经过测量得知： ， ，
， ， ．判断 是不是直角，并说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积
4．如图，在四边形 中， ，求这个四边形的面积．
5.如图，每个小正方形的边长为1，四边形 是一个凹四边形，连接 ， 是直角吗？ 求出凹
四边形 的面积．
·思考与讨论
辨析定理：
勾股定理：已知是Rt△（∠C=90°）→ 得到a²+b²=c²
勾股定理逆定理：已知 a²+b²=c²（c最长）→ 得到是Rt△（∠C=90°）
问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？
深化理解：
问题2.三角形的三边a、b、c满足 a²+c²= b² (b最长) 或 b²+c²=a² (a最长) 时，是否还是直角三角
形？
2.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数
， ，当 为偶数， ，则 ， ， 为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的
为偶数，且其中一个数为 ，则 对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）．
补充练习：
1.如图，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均在格点上．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 边上的高h．
2.阅读材料：勾股定理 本身就是一个关于 、 、 的方程，我们知道这个方程有无数组解，满
足该方程的正整数解 通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的
“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．
（以下 ， ， 为 的三边，且 ）
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
(1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________；
(2)当 （ 为奇数，且 ）时，若 ________， ________时可以构造出勾股数（用含 的
代数式表示）；并证明你的猜想；
(3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当 或 时， ________．（写出所有满足条件的 ）．
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