文档内容
2 一定是直角三角形吗
直角三角形的判定
1.下列三角形各边能构成直角三角形的是 ( )
A.3,4,5 B.6,7,8 C.6,8,9 D.2,3,5
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是 ( )
A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,D 是 Rt△ABC 外一点,连接 DC,DB,且
CD=4,BD=3。
(1)求BC的长;
(2)试说明:△BCD是直角三角形。
勾股数
4.下面四组数中是勾股数的一组是 ( )
A.1,2,3 B.5,8,13 C.1.5,2,2.5 D.5,12,13
5.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是 。
6.(开放性试题)将勾股数 3,4,5 分别扩大到原来的 2 倍、3 倍、4 倍、…,可以得到勾股数
6,8,10;9,12,15; 12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数。请你写出两组不同于
以上所给出的基本勾股数: 。
1.下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.AB2+BC2=AC2
B.AB2-BC2=AC2
C.∠A+∠B=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶52.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为8,9,12,15,17,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是(
)
A B C D
3.如图,学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=
17 m,且∠ABC=90°,这块菜地的面积是 ( )
A.48 m2 B.114 m2
C.122 m2 D.158 m2
4.(数学文化)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公
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式的是中国古代数学著作《九章算术》。现有勾股数 a,b,c,其中a,b均小于c,a= m2- ,c= m2+
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,m是大于1的奇数,则b= (用含m的式子表示)。
5.若一个三角形的三边长分别为7k,24k,25k(k为自然数),则这个三角形的形状为 三角形。
6.如图,在3×2的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,点A,B,C均在格点上,则∠BAC=
°。
7.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17。
(1)求∠ADB的度数;
(2)求CD的长。8.(探究性学习)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a= , b=
,c= ;
(2)猜想:以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并验证你的猜想。
9.(几何直观)如图,在△ABC中,AC=21,BC=13,D是AC边上一点,BD=12,AD=16。
(1)试说明:BD⊥AC;
(2)若E是边AB上的动点,求线段DE的最小值。【详解答案】
基础达标
1.A 2.C
3.解:(1)在Rt△ABC中,因为∠BCA=90°,AC=12,AB=13,
所以BC2=AB2-AC2=132-122=169-144=25。
所以BC=5。
(2)在△BCD中,因为CD=4,BD=3,BC=5,
所以CD2+BD2=42+32=52=BC2。
所以△BCD是直角三角形。
4.D 5.15
6.5,12,13;7,24,25(答案不唯一)
能力提升
1.D 解析:因为 AB2+BC2=AC2,故△ABC 是直角三角形,选项 A 不符合题意;因为 AB2-BC2=AC2,所以
AC2+BC2=AB2,故△ABC 是直角三角形,选项 B 不符合题意;因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以
∠C=90°。故△ABC是直角三角形,选项C不符合题意;因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,所以最大角∠C=180°×
5
=75°,故△ABC不是直角三角形,选项D符合题意。故选D。
3+4+5
2.C 解析:C选项图中,满足92+122=152,82+152=172,所以有两个直角三角形。故选C。
3.B 解析:如图,连接AC。因为∠ABC=90°,AB=9 m,BC=12 m,所以AC2=AB2+BC2=92+122=152。所以AC=15 m。
因为CD=8 m,AD=17 m,所以AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289。所以AC2+CD2=AD2。所以△ACD是直角三角
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形,∠ACD=90°。所以四边形 ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= AB·BC+ AC·CD= ×9×12+
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×15×8 =54+60=114(m2)。所以这块菜地的面积为114 m2。故选B。
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4.m 解 析 : 因 为 a,b,c 是 勾 股 数 , 其 中 a,b 均 小 于 c,a= m2- ,c= m2+ , 所 以 b2=c2-a2=
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(1 m2+ 1) 2 - (1 m2- 1) 2 = 1m4+1 + 1m2-(1 m4+ 1 - 1 m2) = 1m4+1 + 1m2-1m4-1 + 1m2=m2。因为m是大
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5.直角 解析:因为(7k)2+(24k)2=(25k)2,所以这个三角形为直角三角形。
6.45 解析:因为 AB2=BC2=22+12=5,AC2=32+12=10,所以 AB2+BC2=AC2。所以△ABC 是等腰直角三角形,
∠ABC=90°,∠BAC=45°。
7.解:(1)因为BD2+AD2=62+82=100=AB2,
所以△ABD是直角三角形。
所以∠ADB=90°。
(2)在Rt△ACD中,因为∠ADC=90°,
所以CD2=AC2-AD2=172-82=225。
所以CD=15。
8.解:(1)n2-1 2n n2+1
(2)以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形。验证如下:因为 a=n2-1,b=2n,c=n2+1,所以 a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-
2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2。因为c2=(n2+1)2,所以a2+b2=c2。所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
9.解:(1)因为AC=21,AD=16,
所以CD=AC-AD=5。
因为BD2+CD2=122+52=169=BC2,
所以∠BDC=90°。所以BD⊥AC。
(2)当DE⊥AB时,DE最小。
在Rt△ABD中,BD=12,AD=16,
由勾股定理,得AB=20。
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因为 AD·DB= AB·DE,
2 2
16×12
所以DE= =9.6。
20
所以线段DE的最小值为9.6。
