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1.1 探究勾股定理
7大知识点（基础）+能力提升练（3道）+拓展培优练（1道）
一、用勾股定理解直角三角形
1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边的长度为（ ）
A．5 B．❑√7 C．4 D．5或❑√7
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，中线AD=6，则BC=（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7或25 C．7 D．14
二、勾股定理与折叠问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6．点E、F分别是边AC、AB上的点，连结EF，
将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE的长为（ ）
25 25
A． B． C．3 D．2
8 9
2．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点E为BC边上一点，把△ABC沿AE折叠，使AB
落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB=4，
BC=8．则线段FD的长是 ．
4如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，
(1)求CE的长；
(2)求点B到斜边AC的距离；
三、用勾股定理证明线段关系
1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
AC，BD交于点O．若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（ ）A．15 B．16 C．17 D．20
2．如图，已知BC=21，AB=17，AC=10，AD⊥BC于点D，求AD的长．
3．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c， 若∠C=90°，如图①，则有 a2+b2=c2；若△ABC是锐
角三角形，小明猜想a2+b2>c2，理由： 如图②， 过点A作AD⊥CB， 垂足为D，设CD=x．在
Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB 中， AD2=c2-(a-x) 2 ，∴b2-x2=c2-(a-x) 2，整理得
a2+b2=c2+2ax， ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2 ，∴当△ABC是锐角三角形时， a2+b2>c2，
∴小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时， a2+b2___c2（填“>”“<”或“=”）；
(2)根据图③证明你猜想的结论是正确的．
(3)若AB=15，AC=13，BC=4， 则△ABC的面积是 ．
四、勾股定理的证明方法
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
2．将边长分别为a，b，c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的直角
梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于a，b，c的恒等式： ．
3．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形
ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结
论：a2+b2=c2
【深入思考】
如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角
△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
(1)求证：DE=a，BE=b．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2
4．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边1 1 1
长分别为a，b，c（a>b），四边形ACFD的面积可以表示为 (a+b)(a+b)或2× ab+ c2 ，从而推导
2 2 2
出a2+b2=c2．
【探究】（1）淇淇将△≝¿从图①的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，
AB与DE交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接AD，AE．
1
S = (AC+BD)⋅BC=______；
梯形ACBD 2
1 1 1 1 1
S =S +S +S = AC⋅CE+ DE⋅AO+ DE⋅OB= AC⋅CE+ DE⋅(AO+BO)
四边形ACBD △ACE △AED △BED 2 2 2 2 2
1 1
= AC⋅CE+ DE⋅AB=______+______=______．
2 2
由S =S ，可得到______；整理得：______．
四边形ACBD 梯形ACBD
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长．
5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中
四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a<b)，斜边长为c．
(1)请利用图①证明：a2+b2=c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的
周长为80，OB=5，求该图形的面积．五、以弦图为背景的计算题
1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=16，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为 ．
2．补充填空：完成证明
(1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．
把边长为a、b的两个正方形连在一起，其面积是a2+b2．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个
正方形如图2，把△ABC和△FGC．分别旋转到△ADH和△FEH得到图3位置，就会形成一个以c为边长
的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________．
(2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形ACFH的面积并完成上述推理，请你完成推理过程．
六、用勾股定理构造图形解决问题
1．把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米
2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2m，当人体进入感应范围内时，感应
门就会自动打开，一个身高1.5m的学生CD刚走到离门间距CB=1.2m的地方时，感应门自动打开，则该
感应器感应长度AD为（ ）A．1m B．1.2m C．1.3m D．2m
3．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m
），踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
4．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（A´B为以AB为直径的半圆），则卡车的高
度必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
七、以直角三角形三边为边长的图形面积
1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，
其面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S =40，S =58，S =62，则AD的长为（ ）
1 2 3 4 2 3 4A．7 B．5 C．4 D．6
2．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S ,S ,S ，若
1 2 3
S +S -S =20，则阴影部分的面积为 （ ）
1 3 2
A．10 B．8 C．6 D．5
3．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，AC=13,BC=12，则阴影部分的面积之和为
．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三边为边长向外作正方形，如果其中两个正方形的面积分
别是5，6，那么字母M所代表的正方形的面积是 ．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的中点，点E在线段BD上（点E
不与点B，点D重合），过点A作AF⊥CE交CE于点F，过点B作BG⊥CE交CE的延长线于点G．若已知DF的长，则可求出（ ）
A．FG的长 B．AF的长 C．CE的长 D．BG的长
2．阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形
的纸板上画两个边长分别为a，b的正方形ABOF和正方形CDEO，连接BC，EF得到以AD为对称轴的六
边形ABCDEF，如图①；
第二步：将长方形纸板沿AD折叠，沿四边形ABCD的边剪下六边形ABCDEF，再沿AD把剩余的纸板剪
开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②；
第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形；
第四步：比较图①，图③中的两个六边形ABCDEF和六边形A'B'C'D'E'F'，由它们的面积相等可得结论．
解决问题：若设图①中六边形ABCDEF的面积为S ，图③中六边形A'B'C'D'E'F'的面积为S ，
1 2
BC=EF=c．小强同学得出了以下四个结论：
1
①S =a2+b2+2ab；②S =c2+ ab；③S =S ；④a2+b2=c2．则其中正确的是（ ）
1 2 2 1 2
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
3．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行
了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米到点M，则他应该往回收线多少米？
1．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路
是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和
1 1
ab×4+(b-a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b-a) 2 ，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表
2 2
示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示
图中阴影部分面积．方法1：S =____________；方法2：S =____________；根据以上信息，可以得
阴影 阴影
到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，且AD是BC边上的高．求AD的长．
（3）如图4，在△ABC中，AD⊥BC，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
