文档内容
1.1 探究勾股定理
7大知识点（基础）+能力提升练（3道）+拓展培优练（1道）
一、用勾股定理解直角三角形
1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边的长度为（ ）
A．5 B．❑√7 C．4 D．5或❑√7
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，中线AD=6，则BC=（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7或25 C．7 D．14
二、勾股定理与折叠问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6．点E、F分别是边AC、AB上的点，连结EF，
将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE的长为（ ）
25 25
A． B． C．3 D．2
8 9
2．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点E为BC边上一点，把△ABC沿AE折叠，使AB
落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB=4，
BC=8．则线段FD的长是 ．
4如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，
(1)求CE的长；
(2)求点B到斜边AC的距离；
三、用勾股定理证明线段关系
1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
AC，BD交于点O．若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（ ）A．15 B．16 C．17 D．20
2．如图，已知BC=21，AB=17，AC=10，AD⊥BC于点D，求AD的长．
3．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c， 若∠C=90°，如图①，则有 a2+b2=c2；若△ABC是锐
角三角形，小明猜想a2+b2>c2，理由： 如图②， 过点A作AD⊥CB， 垂足为D，设CD=x．在
Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB 中， AD2=c2-(a-x) 2 ，∴b2-x2=c2-(a-x) 2，整理得
a2+b2=c2+2ax， ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2 ，∴当△ABC是锐角三角形时， a2+b2>c2，
∴小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时， a2+b2___c2（填“>”“<”或“=”）；
(2)根据图③证明你猜想的结论是正确的．
(3)若AB=15，AC=13，BC=4， 则△ABC的面积是 ．
四、勾股定理的证明方法
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
2．将边长分别为a，b，c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的直角
梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于a，b，c的恒等式： ．
3．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形
ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结
论：a2+b2=c2
【深入思考】
如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角
△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
(1)求证：DE=a，BE=b．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2
4．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边1 1 1
长分别为a，b，c（a>b），四边形ACFD的面积可以表示为 (a+b)(a+b)或2× ab+ c2 ，从而推导
2 2 2
出a2+b2=c2．
【探究】（1）淇淇将△≝¿从图①的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，
AB与DE交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接AD，AE．
1
S = (AC+BD)⋅BC=______；
梯形ACBD 2
1 1 1 1 1
S =S +S +S = AC⋅CE+ DE⋅AO+ DE⋅OB= AC⋅CE+ DE⋅(AO+BO)
四边形ACBD △ACE △AED △BED 2 2 2 2 2
1 1
= AC⋅CE+ DE⋅AB=______+______=______．
2 2
由S =S ，可得到______；整理得：______．
四边形ACBD 梯形ACBD
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长．
5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中
四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a
