文档内容
1.2 一定是直角三角形吗
学习目标：
1．经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究
意识和合作交流的习惯。
2．掌握勾股定理逆定理和他的简单应用
重点难点：
重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题
1．把握勾股定理的逆定理；
2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
学习过程
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a +b = c ，那么这个三角形是直角三角形。
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定
理。
1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：
（1）首先求出最大边（如c）；
（2）验证a +b 与c 是否具有相等关系；
若c2=a2+b ，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。
若c2 ≠a2+b ，则△ABC不是直角三角形。
2．直角三角形的判定方法小结：
（1）三角形中有两个角互余；
（2）勾股定理的逆定理；
3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、
13；6、8、10；12、16、20等。
四、典型例题
例1. 在 中， ， 于D，求证：
（1）
（2）
分析：在图中有 与 三个直角 三角形，利
用勾股定理可以求证。
证明：
（1）
（2）又
第 1 页 共 4 页即
例2、 已知 中， ，求AC边上的高线的长。
分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并
且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。
解 ：
为 ，且
作 于D
设 ，则
答：AC边上的高线长为 。
例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，
求证：AB2－AD2=BD·DC
思路分析：通常遇到等腰三角形问题， 都是作底边
上的高转化为直角三角形，再按解直角三 角形的思路
探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两 个全等的直
角三角形。
由AB=AC BE=EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好
方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得
AB2=AE2+BE2
AB2－AD2=BE2－DE2
AD2=AE2+DE2
第 2 页 共 4 页由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为
求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是
AB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)
结合图形知：BE+DE=BD AB2－AD2=BD·CD
BE－DE=CE－DE=CD
例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，
∠CBA=90°,求S
四边形ABCD
思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三
角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便
出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求
AC2=AB2+BC2=32+42=25
在△CAD中，我们又可发现：
AC2+AD2=25+122=169
DC2=132=169
∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知
∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。
S =S +S
四边形ABCD △ABC △ACD
例5、在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且EC = , 求证: EFA
= 90
分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找Rt , 那就是要通过勾股定理
逆定理来完成。
证明: 设正方形ABCD的边长为4a
则EC = a, BE = 3a, CF = DF = 2a
在Rt ABE中
在Rt ADF中
第 3 页 共 4 页在Rt ECF中
由上述结果可得
由勾股定理逆定理可知 AEF为Rt , 且AE是最大边, 即AFE = 90
例6、 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，
EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的 ，求AE，
AF的长。
思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而
定，于是有 EF2=AE2+AF2
设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100 ①
本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.
第 4 页 共 4 页
