文档内容
第一章 勾股定理评价卷
时间:90分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列几组长度的线段:① 9,12,15;② 5,12,13;③ 32,42,52;
④ 3a,
4a,5a(a>0).其中可以作为直角三角形三边长的有(B)
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2.如图所示,湖的两岸有A,C两点,在与AC成直角的BC方向上的点B
处测得AB=15米,BC=12米,则A,C两点间的距离为(C)
A.3米 B.6米 C.9米 D.10米
3.已知直角三角形的两条边长分别是 3 和 5,那么这个三角形的第三
条边长的平方为(D)
A.16 B.25 C.34 D.16或34
4.如图所示的是在正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则
△ABC的形状为(A)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上选项都不对5.七年级手工小组用彩带给如图所示的图片制作边框,已知 AB=5
cm,
BC=12 cm,则制作一个边框需要彩带的长度是(D)
A.5 cm B.12 cm C.13 cm D.30 cm
6.如图所示的长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能
放进木箱中的直木棒最长为(B)
A.12 m B.13 m C.15 m D.24 m
7.2025年2月8日哈尔滨亚冬会,在自由式滑雪女子 U型场地技巧决
赛中,中国选手获得冠军,这是中国体育代表团在本届亚冬会上摘得
的首枚金牌.如图所示,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意
图,该 U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供
32
滑行部分的截面是直径为 m的半圆,其边缘AB=CD=15 m,点E在CD
π
上,CE=3 m.一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点,则他滑行的最短距离(边
缘部分的厚度忽略不计)约为(C)
A.16 m B.18 m C.20 m D.25 m8.如图所示,将长方形纸片ABCD 折叠,使边DC落在对角线AC上,折
痕为CE,且点D落在对角线AC上的D′处.若AB=3,AD=4,则ED的长
为(A)
3 4
A. B.3 C.1 D.
2 3
9.如图所示的图形是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直
角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的
面积分别为S ,S ,S .若S +S +S =2 025,则S 的值是(D)
1 2 3 1 2 3 2
A.672 B.673 C.674 D.675
10.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为(C)
A.42 B.32 C.42或32D.37或33
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如图所示,在△ABC中,若AB=10,AC=16,AC边上的中线BD=6,则
BC= 1 0 .
12.如图所示,分别以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S ,
1
S .若AB=2,则正方形S ,S 的面积和为 4 .
2 1 213.如图所示,正方形网格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交
点),以这五个格点中的任意三个为顶点画三角形,其中直角三角形有
3 个.
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边,a,b为直角边,a+b=17,c=13,
则 Rt△ABC的面积为 3 0 .
15.如图所示,正方形ABCD的边长为1,其面积记为S ,以CD为斜边作
1
等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方
1
形,其面积记为S ,…,按此规律继续下去,则S 的值为 .
2 2 025 22 024
三、解答题(共55分)
16.(6 分)如图所示,为修通铁路需开凿隧道 AC,量出∠C=90°,AB=
5 km,BC=3 km.若每天凿隧道0.4 km,问几天才能把隧道AC凿通?
解:因为∠C=90°,所以△ABC是直角三角形.因为AB=5 km,BC=3 km,
所以在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC2=AB2-BC2 =52-32 =16.
因为AC为正数,所以AC=4 km.所以4÷0.4=10(天).
答:10天才能把隧道AC凿通.
17.(6 分)如图所示,对任意符合条件的 Rt△BAC,绕其锐角顶点 A 逆
时针旋转90°得△EAD,所以 ∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方
形,它的面积和四边形 ABFE的面积相等,而四边形 ABFE的面积等于
Rt△BAE 和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种验证勾股定理的
方法.
解:由题图,得S =S =S +S ,
正方形ACFD 四边形ABFE Rt△BAE Rt△BFE
即S =S +S ,
正方形ACFD Rt△BAE Rt△BFE
1 (b+a)(b-a)
所以b2= c2+ ,
2 2
整理,得a2+b2=c2.
18.(6 分)如图所示,铁路上 A,B 两点相距 25 km,C,D 为两个村
庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知AD=15 km,CB=10 km,现在要在
铁路AB上修建一个土特产收购站 E,使C,D两村到土特产收购站 E的
距离相等,则土特产收购站E应修建在离A点多少千米处?解:设AE=x km,则BE=(25-x)km.
由DA⊥AB,CB⊥AB,可知△ADE和△BCE均为直角三角形.
由勾股定理,得DE2 =AD2+AE2,CE2=CB2+BE2.
由题意,知DE=CE,
所以152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.
所以土特产收购站E应修建在离A点10 km处.
19.(8分)如图所示,在△ABC中,D是AC上一点,沿BD所在直线折叠
△ABC,使点C落在边AB上的点E处,连接DE.
(1)请用尺规作图的方法作出线段BD和DE,保留作图痕迹,不写作法;
(2)若AD=5 cm,DE=3 cm,AE=4 cm,求AB的长度.
解:(1)如图所示,线段BD和DE为所作.
(2)因为沿BD所在直线折叠△ABC,使点C落在边AB上的点E处,
所以DC=DE=3 cm,BC=BE,∠BED=∠C.
在△ADE中,因为AE2+DE2=42+32=25,AD2=52=25,
所以AE2+DE2=AD2,
所以△ADE为直角三角形,∠AED=90°,
所以∠BCD=∠BED=90°.
设BC=BE=x cm,则AB=(4+x)cm.
在Rt△ABC中,因为AC2+BC2=AB2,所以(5+3)2+x2=(4+x)2,
解得x=6,
所以AB=AE+BE=4+6=10(cm).
20.(9分)分析下列各组勾股数:
当n=2时,a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;
当n=3时,a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;
当n=4时,a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;
….
(1)根据你发现的规律写出当n=10时的勾股数;
(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数,并加以说明.
解:(1)当n=10时,a=2×10=20,b=102-1=99,c=102+1=101.
(2)a=2n,b=n2-1,c=n2+1,其中n为正整数.
说明:a2+b2=(2n)2+(n2-1)2=n4+2n2+1,c2= (n2+1)2=n4+2n2+1,所以 a2+b2
=c2.
21.(10分)消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务,它能让消
防员快速到达高层建筑的火灾现场,执行灭火、疏散等救援任务.如
图所示,已知云梯最多只能伸长到 50 m(即AA′=BB′=50 m),消防车
高3.4 m,救人时云梯伸长至最长,在完成从33.4 m(即A′M=33.4 m)
高的 A′处救人后,还要从 51.4 m(即B′M=51.4 m)高的 B′处救人,
这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米?解:由题意,可知 DM=3.4 m,AA′=BB′=50 m,A′M=33.4 m,B′M=
51.4 m,AD⊥B′M,A,B,D三点共线,
所 以 A′ D=A′ M-DM=33.4-3.4=30(m),B′ D=B′ M-DM=51.4-3.4
=48(m).
在Rt△AA′D中,由勾股定理,得
AD2=AA′2-A′D2=502-302=402,所以AD=40 m.
在Rt△BB′D中,由勾股定理,得
BD2=BB′2-B′D2=502-482=142,所以BD=14 m.
所以AB=AD-BD=40-14=26(m).
答:这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为26 m.
22.(10分)综合与实践
主题:制作无盖正方体纸盒.
素材:一张正方形纸板.
步骤1:如图(1)所示,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的
小正方形,并剪去四个角上的小正方形;
步骤2:如图(2)所示,把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.图(1) 图(2)
猜想与验证:
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系;
1 1 1
(2)验证(1)中你发现的结论.
解:(1)∠ABC=∠A B C .
1 1 1
(2)由题意知题图(2)中△A B C 为等腰直角三角形,
1 1 1
所以∠A B C =45°.
1 1 1
在题图(1)中,设每个方格的边长为1,连接AC(图略),
则AB2=12+32=10,AC2=BC2=12+22=5.
因为5+5=10,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
所以∠ABC=45°,
所以∠ABC=∠A B C .
1 1 1
