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专题 16 数列递推公式归类
目录
题型一：观察归纳型求通项..............................................................................................................................................1
题型二：累加型求通项及应用..........................................................................................................................................2
题型三：累积型求通项及应用..........................................................................................................................................3
题型四：周期型求通项及应用..........................................................................................................................................4
题型五：由sn求通项.........................................................................................................................................................4
题型六：二阶等比型求通项..............................................................................................................................................5
题型七：二阶f（n）型递推..............................................................................................................................................6
题型八：三阶型递推构造等比..........................................................................................................................................7
题型九：分式型构造等差..................................................................................................................................................8
题型十：分式型构造等比..................................................................................................................................................8
题型十一：分段型求通项及应用......................................................................................................................................9
题型十二：三阶型递推构造等差....................................................................................................................................10
题型十三：裂项型递推....................................................................................................................................................11
题型十四：二阶“和”为f（n）型................................................................................................................................11
题型十五：齐次同构型....................................................................................................................................................12
题型十六：超难构造型求通项........................................................................................................................................13
题型一：观察归纳型求通项
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 与项数 的关系，猜想数列的通项公式，
最后再证明.
1．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，
7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22 B．50 C．37 D．46
2．（23-24高二下·北京·期中）数列 的前四项依次是4，44，444，4444，则数列 的通项公式可以
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州黔南·二模） ，数列1， ，7， ，31， 的一个通项公式为（ ）A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得
弦）．”意即“勾” 、“股” 与“弦” 之间的关系为 （其中 ）．当 时，有
如下勾股弦数组序列： ， ，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中
的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
5．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：累加型求通项及应用
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
1．（2022·湖南长沙·二模）已知数列{ }满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列 、 满足： ， ，
，则数列 的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项C．第11项 D．第12项
4．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二下·山东青岛·开学考试）数列 满足 ， ， ，则
的整数部分是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
题型三：累积型求通项及应用
累乘法：
若在已知数列中相邻两项存在： 的关系，可用“累乘法”求通项.
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
1．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）数列 中， ， ，记 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·安徽滁州·阶段练习）已知数列 满足 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．4．（22-23高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列 的前n项和为 ，且 为常数列，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二·全国·mn）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）．
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
题型四：周期型求通项及应用
常见周期数列：
}满足
n
若数列{a
}满足
n
若数列{a
}满足
n
若数列{a
}满足
n
若数列{a
1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）已知数列 满足 =1， ，且
( )，则数列{ }的前18项和为（ ）
A． 54 B． 3 C． D．
2．（23-24高二上·浙江宁波）已知无穷正整数数列 满足 ，则 的可能值有
（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．9
3．（21-22高三上·河南商丘·阶段练习）设数列 的通项公式为 ，其
前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240
4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）数列 中， ，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．
5．（23-24高二下·辽宁葫芦岛）已知函数 ，数列 满足 ，，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五：由 sn 求通项
若在已知数列中存在： 的关系，可以利用项和公式 ，求数
列的通项.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．190 B．210 C．380 D．420
2．（23-24高二上·四川成都）若数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·福建三明·）已知数列 ， 的前n项和分别为 ，若 ， ，
，则 （ ）
A．150 B．100 C．200 D．5050
5．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B． C． D．
题型六：二阶等比型求通项二阶等比构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列 。特殊情况下，
当q为2时， =p，
2.形如 ，变形为 ，新数列累加法即可
1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特）数列{a }满足 ， ， ，则 （ ）
n
A． B． C． D．
2．（2024·山东聊城·一模）已知数列 满足 ，则“ ”是“ 是等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，则满足不等式 的 的值
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023高二上·湖南岳阳）在数列 中， ， ，则 为（ ）．
A． B． C． D．
5．（21-22高二上·河南·阶段练习）设数列 满足 ，且 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C． 为等比数列 D． 为等比数列
题型七：二阶 f（n）型递推
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列 。
2.形如 ，变形为 ，新数列累加法即可
1．（21-22高二上·河南·阶段练习）在数列 中， ， ，若 ，
则n的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（22-23高二上·全国·单元测试）已知数列 满足 = ， ，则数列 的通项公式是
（ ）.A． B．
C． D．
3．（浙江省杭州市富阳中学2021-2022学年高三上学期第一次二校联考数学试题）已知数列{a }的前n项
n
和为 ，且满足 ，数列{b }的通项 ，则使得
n
恒成立的最小的k值最接近（ ）
A． B． C． D．1
4．（2014高一·全国）等差数列 满足 为其前 项和，那么 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023河北沧州·一模）已知数列 满足 ， ， .设 ，若对于
，都有 恒成立，则 的最大值为
A．3 B．4 C．7 D．9
题型八：三阶型递推构造等比
三阶递推数列
形如 ，常凑配系数构等比数列
形如
形如
1．（22-23高三河南南阳模拟）已知数列{a }，{b }满足 ， ， ，
n n
，则使 成立的最小正整数 为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
2．（22-23高三·全国模拟）已知数列 中， ， ， ，求 （ ）
A．
B．
C．
D．3．（21-22高二上·河南商丘·期中）已知数列 满足 ， ， ，设 ，
有下列四个结论
① ；
② 是等比数列；
③ 是等差数列；
④ 的通项公式为 ．
其中所有结论的序号为（ ）
A．①②③ B．② C．②④ D．②③④
4．（22-23高三·全国）已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南郑州·模拟预测）在数列 中， ，则 的前 项和 的
最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
题型九：分式型构造等差
形如 ，可以取倒数变形为 ；
1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．100
2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列 中， 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二下·广东肇庆）已知数列 满足 ， ，则数列 的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·浙江杭州）若数列 满足递推关系式 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·云南昆明）已知数列 中， 且 ，则 为（ ）A． B． C． D．
题型十：分式型构造等比
形如 ，可以取倒数变形为 ，再构造等比
1．（23-24高二下·河北·开学考试）已知数列 满足 ， （ ），则满足 的
的最小取值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）设数列{a }的前 项和为 ， ， ，若
n
，则正整数 的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
4．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列 满足 （ 且 ），则 与
的比值为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列 满足 ，设 的前n项和为 ，
则 （ ）
A． B． C．1 D．2
题型十一：分段型求通项及应用讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列{a }满足 ，当 时，有
n
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·模拟预测）数列 满足 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知数列 满足 ， ，记 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·陕西安康·模拟预测）已知数列 的首项为 ， ，则数列
的前2023项和为（ ）
A． B．
C． D．
题型十二：三阶型递推构造等差
三阶递推型，可以通过凑配系数来构造等比数列。1．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，则使得
成立的n的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， 且 ，若
，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·福建·期中）设数列 满足 ， ， ，若 表示大于 的最
小整数，如 ， ，记 ，则数列 的前2022项之和为（ ）
A．4044 B．4045 C．4046 D．4047
4．（23-24高三上·山东烟台·期中）斐波那契数列 以如下递归的方法定义:
，若斐波那契数列 对任意 ，存在常数 ，使得
成等差数列，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
5．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）若数列 满足 ，且对于 都有
，则 （ ）
A． B． C． D．
题型十三：裂项型递推
1．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列 中，若 ，则数列 的前
项中所有有理项之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列{a }满足 （ 且 ）， ，则
n（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·北京昌平·期中）已知数列 满足 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
题型十四：二阶“和”为 f（n）型
满足 ，称为“和”数列，常见如下几种：
1.“和”常数型：
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：
，则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则下列说法中错误的是
（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等差数列
C．若 ，则 是等比数列
D．若 ，则 是等比数列
2．（23-24高三上·广东佛山·开学考试）已知数列 对任意 满足 ，则
（ ）
A．4040 B．4043 C．4046 D．4049
3．（24-25高二上·全国·课后作业）若公差为d的等差数列 满足 ，则下列结论错误的为
（ ）
A．数列 也是等差数列 B．C． D．13是数列 中的项
4．（2024·全国·模拟预测）若数列 满足对任意的 均有 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
5．（19-20高三上·贵州·期末）已知数列{an}的首项a＝1，且满足an +an＝3n（n∈N*），则a 的值等于
1 +1 2020
（ ）
A．2020 B．3028 C．6059 D．3029
题型十五：齐次同构型
通过齐次型同除，或者因式分解等，构造结构相同的递推数列求解
1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列 满足 ，且
，则数列 的前101项中能被 整除的项数为（ ）
A．42 B．41 C．40 D．39
2．（20-21高二上·河南·阶段练习）已知数列{a }的首项 ，且满足 ，则
n
{a }中最小的一项是（ ）
n
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）在数列 中， ，则“ ”是“
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（19-20高三上·浙江·阶段练习）设无穷数列{a }满足 ， ，
n
，若{a }为周期数列，则pq的值为（ ）
n
A． B．1 C．2 D．4
5．（2022高三·全国·专题练习）数列 满足 ， ，若 ，且数
列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．64 B．80 C． D．题型十六：超难构造型求通项
1．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，数列 的
各项均不为0，且 .若 ，则 .
2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， 是 边上一点，且 ，
为直线 上一点列，满足： ，且 ，则 ，
设数列 ，则 的通项公式为 .
3．（22-23高二上·河南开封·阶段练习）已知数列 中， ， ， ，
设 ，则数列 的前40项的和为（ ）
A．860 B．820 C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）在数列 中， ， ，若 ，则实数 的不同
取值的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一上海浦东新·）已知数列 满足： ，若 对任意
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
