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3 乘法公式
第 3 课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解完全平方公式的推导过程,了解完全
几何直观、抽象能力
平方公式的几何背景
2.理解完全平方公式的本质,并会运用完全
运算能力
平方公式进行简单的计算
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.计算:(2x-1)2等于(D)
A.4x2+1 B.4x2-2x+1
C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+1
2.若(x-2)2=x2+mx+n,则m,n的值分别
是(B)
A.4,4 B.-4,4
C.-4,-4 D.4,-4
3.运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2. (2)(-a+b)2.
【解析】(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2.
(2)(-a+b)2=a2-2ab+b2.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1完全平方公式的几何背景(几何直观、推理能力)
【典例 1】(教材再开发·P20“思考·交流”强化)如图,分别以长方形 ABCD 的BC,CD为边向外作正方形 BEFC和正方形 DCGH,延长EF,HG交于点I.若正方形
BEFC 和正方形 DCGH 的面积和为 13,长方形 ABCD 的面积为 6,则正方形 AEIH
的周长为 20 .
【举一反三】
如图 1 是一个长为 2 m、宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长
方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1: .
方法2: .
(3)观察图 2 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式:(m+n)2,(m-
n)2,mn.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
①若a+b=7,ab=5,则(a-b)2= .2 2
②已知:a- =1,求a+ 的值.
a a
【解析】(1)题图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m-n).
(2)题图2中阴影部分面积:
方法1:(m-n)2.
方法2:(m+n)2-4mn.
答案:(m-n)2 (m+n)2-4mn
(3)由(2)得:(m-n)2=(m+n)2-4mn.
(4)①因为a+b=7,ab=5,
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-20=29.
答案:29
2 2 2 2
②因为a- =1,所以(a+ )2=(a- )2+8=9.所以a+ 的值为±3.
a a a a
【技法点拨】
完全平方公式的几何背景
实质是用代数式分别表示出阴影部分的面积,利用面积不变这一特点列出等式.
它的几何背景是继数轴和平方差公式之后又一数形结合的实例.重点2完全平方公式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P21例5补充)运用完全平方公式计算:
1
(1) (x2- y)2.
2
(2)(-xy+5)2.
(3)(-x-y)2.
1 1 1
【自主解答】(1)原式=(x2)2-2x2· y+( y)2=x4-x2y+ y2.
2 2 4
(2)原式=(-xy)2+2(-xy)×5+52=x2y2-10xy+25.
(3)原式=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2=x2+2xy+y2.
【举一反三】
1.(2024·太原期中)利用公式计算(-x-2y)2的结果为(D)
A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2
C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2
1 1
2.计算: (y- )2= y 2 -y+ .
2 4
【技法点拨】
完全平方公式的三点注意
1.公式中的字母a,b可以是数、单项式或多项式.
2.公式的结果有三项,不要漏项和写错符号.3.中间项是等号左边两项乘积的2倍.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·运算能力)下列运算正确的是(C)
A.2a2+a2=3a4
B.a6÷a3=a2
C.(-2a)3=-8a3
D.(2a-1)2=4a2-1
2.(3分·运算能力)计算(3x-1)2的结果是(B)
A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1
C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1
3.(3分·运算能力)计算:(-x-3y)2= x 2 + 9 y 2 + 6 xy .
4.(6分·运算能力)计算:(1)(3a-2b)2;(2)(-x2-y)2.
【解析】(1)原式=(3a)2-2×3a×2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2;
(2)原式=x4+2x2y+y2.
