文档内容
1.1 探究勾股定理
7大知识点（基础）+能力提升练（3道）+拓展培优练（1道）
一、用勾股定理解直角三角形
1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边的长度为（ ）
A．5 B．❑√7 C．4 D．5或❑√7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和4，
∴此直角三角形的斜边的长度为．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，中线AD=6，则BC=（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】C
1
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，先证明BD=CD= BC，AD⊥BC，再利
2
用勾股定理求解BD，从而可得答案．
【详解】解：∵AB=AC=10，中线AD=6，
1
∴BD=CD= BC，AD⊥BC，
2
∴BD2=AB2-AD2=102-62=64，
BD=8
∴BC=2BD=16．
故选：C．
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7或25 C．7 D．14【答案】B
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还
是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：42+32=25；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：42-32=7．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：B．
二、勾股定理与折叠问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6．点E、F分别是边AC、AB上的点，连结EF，
将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE的长为（ ）
25 25
A． B． C．3 D．2
8 9
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解：∵点D是边BC的中点，
1 1
∴CD= BC= ×6=3，
2 2
由翻折的性质得，DE=AE，
设DE=AE=a，则CE=AC-AE=4-a，
∵在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
∴(4-a) 2+32=a2，
25
解得：a= ，
825
∴DE= ．
8
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点E为BC边上一点，把△ABC沿AE折叠，使AB
落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由AC2+BC2=122+162=400=AB2，得出
△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，设CE=x，由折叠的性质，可得BE=B'E=16-x，
AB'=AB=20，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，
∴AC2+BC2=122+162=400=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
设CE=x，由折叠的性质，可得BE=B'E=16-x，AB'=AB=20，
∴CE2+B'C2=EB'2，
∴x2+82=(16-x) 2，
解得x=6，
1
∴重叠部分（阴影部分）的面积为 ×6×12=36，
2
故答案为：36．
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB=4，
BC=8．则线段FD的长是 ．【答案】3
【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设FD=x，则AF=8-x，由折叠的性质得：GF=FD=x，AG=CD=4，∠AGF=∠D=90°，最后在
Rt△AGF中，由勾股定理得AG2+GF2=AF2，即42+x2=(8-x) 2，解出x即可．
【详解】解：设FD=x，则AF=8-x，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠D=90°，
由折叠的性质得：GF=FD=x，AG=CD=4，∠AGF=∠D=90°，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理得AG2+GF2=AF2，即42+x2=(8-x) 2，
解得：x=3，即线段FD的长为3，
故答案为：3．
4如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，
(1)求CE的长；
(2)求点B到斜边AC的距离；
25
【答案】(1)CE= ；
8
12
(2)点B到斜边AC的距离为 ．
5
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质．
（1）根据勾股定理求出BC=4，由折叠的性质可得AE=CE，设BE=x，则AE=CE=4-x，利用勾股定理可得方程32+x2=(4-x) 2，解方程即可得到答案；
（2）利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC2=AC2-AB2=16， BC=4
由折叠的性质可得AE=CE，
设BE=x，则AE=CE=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=(4-x) 2，
7
解得x= ，
8
7
∴BE= ，
8
25
∴CE=4-x= ；
8
（2）解：点B到斜边AC的距离为h，
1 1
∵S = AC×h= BC×AB，
△ABC 2 2
BC×AB 4×3 12
∴h= = = ，
AC 5 5
12
答：点B到斜边AC的距离为 ．
5
三、用勾股定理证明线段关系
1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
AC，BD交于点O．若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（ ）A．15 B．16 C．17 D．20
【答案】C
【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定
理的计算是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形，即AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，在Rt△COD中，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，
在Rt△AOD中，AD2=1=OA2+OD2，在Rt△BOC中，BC2=42=OB2+OC2，
∴AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=1+42=17，
故选：C．
2．如图，已知BC=21，AB=17，AC=10，AD⊥BC于点D，求AD的长．
【答案】AD=8
【分析】本题考查了勾股定理.
由勾股定理得到AB2-BD2=AC2-CD2，设CD=x，求出x=6，计算AD即可.
【详解】∵AD⊥BC
∴AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2
设CD=x，则BD=21-x，
∴172-(21-x) 2=102-x2
整理得42x=252
解得x=6
即CD=6
∴AD2=AC2 -CD2=64.
∴AD=8
3．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c， 若∠C=90°，如图①，则有 a2+b2=c2；若△ABC是锐
角三角形，小明猜想a2+b2>c2，理由： 如图②， 过点A作AD⊥CB， 垂足为D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB 中， AD2=c2-(a-x) 2 ，∴b2-x2=c2-(a-x) 2，整理得
a2+b2=c2+2ax， ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2 ，∴当△ABC是锐角三角形时， a2+b2>c2，
∴小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时， a2+b2___c2（填“>”“<”或“=”）；
(2)根据图③证明你猜想的结论是正确的．
(3)若AB=15，AC=13，BC=4， 则△ABC的面积是 ．
【答案】(1)<
(2)见解析
(3)24
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
对于（1），根据题意猜想即可；
对于（2），先过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，设CD=x，再根据勾股定理得
AD2=b2-x2,AD2=c2-(a+x) 2，整理可得答案；
对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案．
【详解】（1）△ABC是钝角三角形且∠ACB为钝角时，a2+b20,x>0，
∴c2>a2+b2；（3）∵AB=15,AC=13,BC=4，
∴AC2+BC2=169+16=185b），四边形ACFD的面积可以表示为 (a+b)(a+b)或2× ab+ c2 ，从而推导
2 2 2
出a2+b2=c2．
【探究】（1）淇淇将△DEF从图①的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，
AB与DE交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接AD，AE．
1
S = (AC+BD)⋅BC= ______；
梯形ACBD 2
1 1 1 1 1
S =S +S +S = AC⋅CE+ DE⋅AO+ DE⋅OB= AC⋅CE+ DE⋅(AO+B O)
四边形ACBD △ACE △AED △BED 2 2 2 2 2
1 1
= AC⋅CE+ DE⋅AB= ______+______=______．
2 2
由S =S ，可得到______；整理得：______．
四边形ACBD 梯形ACBD
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）16．
【分析】本题考查勾股定理的证明和应用：
（1）利用两种不同的方法表示出四边形ACBD的面积，即可得证；
（2）分割法表示四边形AEBD的面积，进而求出c的值，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD，AE．
1 a+b 1 1
S = (AC+BD)⋅BC = ⋅a = a2+ ab，
梯形ACBD 2 2 2 2
如图1所示，AB⊥DE，则由平移的性质可得在图2中AB⊥DE，
S =S +S +S
四边形CABD △ACE △AED △BED
1 1 1
= AC⋅CE+ DE⋅AO+ DE⋅OB
2 2 21 1
= AC⋅CE+ DE⋅(AO+BO)
2 2
1 1
= AC⋅CE+ DE⋅AB
2 2
1 1
= b(a-b)+ c2
2 2
1 1 1
= ab- b2+ c2 ，
2 2 2
∵S =S ，
四边形ACBD 梯形ACBD
1 1 1 1 1
∴ ab- b2+ c2= a2+ ab，
2 2 2 2 2
∴a2+b2=c2；
（2）∵S =S +S =200，
四边形AEBD △ADE △BDE
1 1
∴ DE⋅AO+ DE⋅OB=200，
2 2
1
∴ DE⋅AB=200，
2
1
∴ c2=200，
2
∴c=20或c=-20（舍去），
∴BC=❑√AB2-AC2=16．
5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中
四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a0，则小正方形的边长为a-b=2，
故答案为：2．
2．补充填空：完成证明
(1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．
把边长为a、b的两个正方形连在一起，其面积是a2+b2．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个
正方形如图2，把△ABC和△FGC．分别旋转到△ADH和△FEH得到图3位置，就会形成一个以c为边长
的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________．
(2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形ACFH的面积并完成上述推理，请你完成推理过程．
【答案】(1)c2，a2+b2=c2
(2)见详解
【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以c为边长的大正方形的面积等于把边长为a、b的两个正
方形连在一起的面积是a2+b2，即可作答．
（2）根据正方形ACFH的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形ACFH的
面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把△ABC和△FGC．分别旋转到△ADH和△FEH得到图3位置，就会形成
一个以c为边长的大正方形如图4，其面积为c2．由于它们的面积相等，即a2+b2=c2．
故答案为：c2，a2+b2=c2；
（2）解：观察图4：正方形ACFH的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积
1
= ab×4+(a-b) 2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2 ，
2
或正方形ACFH的面积等于边长乘边长=c×c=c2，
即a2+b2=c2．
六、用勾股定理构造图形解决问题
1．把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，由题意，作出图形，如图所示，在Rt△ABC中，由勾股定理代
值求解即可得到答案，熟记勾股定理，根据题意构造直角三角形求解是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3，则由勾股定理可得AC=❑√AB2-BC2=4米，
故选：C．
2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2m，当人体进入感应范围内时，感应
门就会自动打开，一个身高1.5m的学生CD刚走到离门间距CB=1.2m的地方时，感应门自动打开，则该
感应器感应长度AD为（ ）A．1m B．1.2m C．1.3m D．2m
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作DH⊥AB于点H，分别根据题意求出
DH，AH的长，再利用勾股定理求出AD的长即可得到答案．
【详解】如图，过点D作DH⊥AB于点H，
依题意得，BH=CD=1.5m，BC=DH=1.2m，
∴AH=AB-BH=2-1.5=0.5m，
∴AD2=AH2+DH2==1.69．AD=1.3M
故选C．
3．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m
），踏板离地的垂直高度CF=3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
设AC的长为x m，则AB=AC=xm，故AD=AB-BD=(x-2)m．在直角△ACD中利用勾股定理即可求
解．
【详解】解：由题意可知，CF=3m，BE=1m，
∴BD=2m．
设AC的长为xm，
则AB=AC=xm，
∴AD=AB-BD=(x-2)m．
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得AD2+CD2=AC2，
即(x-2) 2+42=x2，
解得：x=5．
故选：B．
4．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（A´B为以AB为直径的半圆），则卡车的高
度必须低于（ ）
A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得OC=OA=1，
根据勾股定理求出CD，则CH=CD+DH，根据题意，则卡车的外形小于CH，即可．
【详解】解：由图形可得，OC=OA=1（米），OD=0.8（米），
∵OC2=CD2+OD2，
∴12=0.82+CD2，解得：CD=0.6（米），
∵CH=CD+DH，
∴CH=0.6+2.3=2.9（米），
∴卡车的外形不得高于2.9米．
故选：B．
七、以直角三角形三边为边长的图形面积
1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，
其面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S =40，S =58，S =62，则AD的长为（ ）
1 2 3 4 2 3 4
A．7 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
根据勾股定理可得AD2+CD2=AC2=AB2+BC2，即为S +S = S + S ，求出S 即可解决问题.
1 4 2 3 1
【详解】解：连接AC，如图，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴AD2+CD2=AC2=AB2+BC2，
即S +S = S + S ，
1 4 2 3
∵S =40，S =58，S =62，
2 3 4
∴S =58+40-62=36，
1
即AD2=36,
∴AD=6；
故选：D.2．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S ,S ,S ，若
1 2 3
S +S -S =20，则阴影部分的面积为 （ ）
1 3 2
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S +S =S 是解题的关键．由勾股定理得出S +S =S ，
1 2 3 1 2 3
再根据已知，得出S 的值，即可求出答案；
1
【详解】解：由勾股定理得，
BC2+AC2=AB2，
即S +S =S ，
1 2 3
∵S +S -S =20，
1 3 2
∴2S =20，
1
∴S =10，
1
1
由图形可知，阴影部分的面积= S =5，
2 1
故选：D．
3．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，AC=13,BC=12，则阴影部分的面积之和为
．【答案】25
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题．
先利用勾股定理求出AB2=EF2=AC2-BC2=132-122=25，再利用勾股定理计算出
EF2=EP2+PF2=25，根据S =S ❑ +S ❑ 计算即可．
阴影 正方形 GHPE 正方形 PMNF
【详解】解：如图，
在Rt△ABC中，AB2=EF2=AC2-BC2=132-122=25，
在Rt△PEF中，EF2=EP2+PF2=25，
∴S =S ❑ +S ❑
阴影 正方形 GHPE 正方形 PMNF
=PE2+PF2
=25
故答案为：25．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三边为边长向外作正方形，如果其中两个正方形的面积分
别是5，6，那么字母M所代表的正方形的面积是 ．
【答案】11
【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理得AC2+BC2=AB2，结果正方形的面积即可得答案．
【详解】由勾股定理得AC2+BC2=AB2
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三边为边长向外作正方形，正方形的面积分别是5，6，
∴AB2=11
即字母M所代表的正方形的面积是11.
故答案为：111．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的中点，点E在线段BD上（点E
不与点B，点D重合），过点A作AF⊥CE交CE于点F，过点B作BG⊥CE交CE的延长线于点G．若
已知DF的长，则可求出（ ）
A．FG的长 B．AF的长 C．CE的长 D．BG的长
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长FD，交BG的延长线于T，
由ASA可证△ADF≌△BDT，可得AF=BT，DF=DT，由AAS可证△ACF≌△CBG，可得AF=CG，
CF=BG，可证FG=TG，由勾股定理可得2FD2=FG2，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是
解题的关键．
【详解】解：延长FD，交BG的延长线于T，
∵AF⊥CE，BG⊥CE，
∴AF∥BG，
∴∠DAF=∠DBT，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
又∵∠ADF=∠BDT，
∴ △ADF≌△BDT(ASA)，
∴AF=BT，DF=DT，
∵∠ACB=90°=∠AFC=∠BGC，
∴∠ACF+∠BCG=90°=∠ACF+∠CAF，
∴∠CAF=∠BCG，
∵AC=BC，
∴ △ACF≌△CBG(AAS)，
∴AF=CG，CF=BG，
∴AF=CG=BT，
∴FG=CG-CF=BT-BG=TG，
∵FT2=FG2+TG2，∴(2FD) 2=FG2+TG2，
∴2FD2=FG2，
∵已知DF的长，
∴可求FG的长，
故选：A．
2．阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形
的纸板上画两个边长分别为a，b的正方形ABOF和正方形CDEO，连接BC，EF得到以AD为对称轴的六
边形ABCDEF，如图①；
第二步：将长方形纸板沿AD折叠，沿四边形ABCD的边剪下六边形ABCDEF，再沿AD把剩余的纸板剪
开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②；
第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形；
第四步：比较图①，图③中的两个六边形ABCDEF和六边形A'B'C'D'E'F'，由它们的面积相等可得结论．
解决问题：若设图①中六边形ABCDEF的面积为S ，图③中六边形A'B'C'D'E'F'的面积为S ，
1 2
BC=EF=c．小强同学得出了以下四个结论：
1
①S =a2+b2+2ab；②S =c2+ ab；③S =S ；④a2+b2=c2．则其中正确的是（ ）
1 2 2 1 2
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】先分别分析S 、S 的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利
1 2
用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键．
【详解】解： S 是由边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分
11
别为a2、b2，直角三角形面积为 ab，两个就是ab，
2
∴S =a2+b2+ab，故①错误．
1
1
S 是由边长为c的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，两个
2 2
就是ab，
∴S =c2+ab，故②错误．
2
∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变，
∴S =S ，即a2+b2+ab=c2+ab，
1 2
化简可得a2+b2=c2，故③④正确 ，
故选：B．
3．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行
了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米到点M，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)17.6米
(2)7米
【分析】（1）利用勾股定理求出CD即可求解；
（2）利用勾股定理求出BM即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，DE=AB=1.6米，∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，CD2=BC2-BD2=202-122=256，CD=16米
∴CE=CD+DE=16+1.6=17.6米，答：风筝的垂直高度CE为17.6米；
（2）解：∵CD=16米，CM=11米，
∴MD=CD-CM=16-11=5米，
在Rt△BDM中，BM2=BD+M D2=122+52=169，BM=13米
∴BC-BM=20-13=7米，
答：他应该往回收线7米．
1．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路
是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和
1 1
ab×4+(b-a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b-a) 2 ，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表
2 2
示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示
图中阴影部分面积．方法1：S = ____________；方法2：S = ____________；根据以上信息，可以得
阴影 阴影
到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，且AD是BC边上的高．求AD的长．
（3）如图4，在△ABC中，AD⊥BC，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
12 9
【答案】（1）c2,a2+b2,a2+b2=c2（2）AD= （3）x=
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【分析】本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
（1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可；
（2）勾股定理求出BC的长，等积法求出AD的长即可；
（3）利用勾股定理结合AD为公用直角边，列出方程进行求解即可．1
【详解】解：（1）S =c2 ，S =(a+b) 2-4× ab=a2+b2 ，
阴影 阴影 2
∴a2+b2=c2；
（2）∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
∵AD是BC边上的高，
1 1
∴S = AB⋅AC= BC⋅AD，
△ABC 2 2
∴3×4=5AD，
12
∴AD= ；
5
（3）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵BC=6，设BD=x，
∴CD=BC-BD=6-x，
∵AB=4，AC=5，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得：AD2=AB2-BD2=42-x2，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得：AD2=AC2-CD2=52-(6-x) 2，
∴42-x2=52-(6-x) 2，
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解得：x= ．
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