文档内容
2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第七章 证明·基础通关
建议用时：100分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．“两点确定一条直线”是（ ）
A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题
【答案】B
【分析】本题考查了基本事实：两点确定一条直线， 定理，定义，假命题的区别，理解什么是基本事实
是解题的关键．分别从定义，基本事实，定理，假命题的本质上加以区分进行解答．
【详解】解：定义是对某一术语或概念明确的解释；
基本事实是人们在长期的实践中总结出来的，无需证明公认的真命题；
定理是需要通过逻辑推理证明的真命题；
假命题是错误的命题；
故选：B．
2．下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的
核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项．
【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题；
∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题；
∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴
C、D不是命题．
故选：A．
3．在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求．
【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合
定义的特征；
∴选项D是定义．
其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义．
故选：D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．所有实数都有平方根 B．若 ，则
C．相等的角是对顶角 D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【分析】本题考查了平方根、对顶角、无理数，根据因为负数没有实数平方根即可判断A；因为 时
与 可能互为相反数即可判断B；因为相等的角不一定是对顶角即可判断C；根据无理数的定义是无限不
循环小数即可判断D；从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、负实数没有平方根，故A是假命题；
B、若 ，则 或 ，故B是假命题；
C、相等的不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，故C是假命题；
D、无理数都是无限不循环小数，故D是真命题；
故选：D．
5．下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）
①同角的余角相等；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理，分别写出三个命题的逆命题，然后判断逆命题的真假即可．
【详解】解：①同角的余角相等的逆命题是相等的两个角是同角的余角，错误；
②同位角相等，两直线平行逆命题是两直线平行，同位角相等，正确；
③同角的补角相等的逆命题是相等的两个角是同角的补角，错误；
故选：B．
6．如图，在 中， ，直线 经过点A，且 ．若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出 ，再根据平角的定义
即可得出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
7．能说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝对值、
假命题的概念解答．反例需满足 但 ，只有选项D符合条件．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ；
但 ， ，
∴ ，
故命题不成立，选项D为反例．
选项A、C中 且 ，选项B中 ，均不满足反例条件．
故选：D．
8．如图，点E在 的延长线上，则下列条件中，不能判定 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平
行分别进行分析．
【详解】解：A、 ，
，本选∵项不符合题意；
∴B、 ，
∵ ，本选项不符合题意；
∴C、 ，
∵ ，本选项不符合题意；
∴D、 ，
∵ ，本选项符合题意．
∴故选：D．
9．如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别交 、 于 、 两点；再分别
以 、 为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 ，作射线 交 于点 ．若
，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形
的性质等知识点．掌握这些是解题的关键．
由题意得： 平分 ，所以 ，再结合 ，得 ，再根据三角形内角和定理求出 的度数，最后用平角的定义直接求解即可．
【详解】解：由题意得： 平分 ，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
10．将一副三角板按如图所示放置， ， ．则下列结论： ； 如果 ，
则有 ； 如果 ，则有 ； 如果 ，必有 ． 其中正确的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余．
根据直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定和性质，对各结论进行分析判断即可．
【详解】解： ∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 正确，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 正确，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ 不正确，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 正确，
∴正确的有 ．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果
，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面
接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，
结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一
条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．12．判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，举出一个反例，反例中的 可以为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的
关键．
要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件 但结论 不成立的 值，可以当 时，
进行求解即可．
【详解】解：当 时， ，满足条件；
但
，不满足结论 ，
∴命题是假命题．
故答案为： （答案不唯一）．
13．如图， 相交于点 ， ．若 ，则 的度数是
．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明 得到 ，再由 ，
得到 ，即可推出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条
件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）．
【答案】①②③④⑤⑦
【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键；
先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可.
【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、
学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等.
①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据；
②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据；
③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据；
④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据；
⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变等，是推理依据；
⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据；
⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据；
⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依
据；
⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据；
故答案为：①②③④⑤⑦ ．
15．某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是
573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是
．
【答案】623
【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的
关键．
【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符，
∴个位数为3，
∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的，
∴百位数字为6，
∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2，
∴这个密码锁的密码是623．
故答案为：623
16．如图， 与 相交于点 ， ， ， ．点 和点 同时出发，点 以
的速度从点 出发，沿 向 运动，到 位置后，立刻以相同的速度沿 向 运动；点 从点
出发，沿 以 的速度向 运动．当点 返回到点 时， ， 两点同时停止运动．设点 的运动
时间为 秒．当 ， ， 三点在同一条直线上时， 的值为 ．
【答案】 或5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，
当点P，Q，C三点共线时，先证明 ，可得 ，再证明 ，
然后分两种情况：当点P在沿 向B运动时，根据 可得答案；
当点P在沿 向A运动时，根据 得出答案即可．
【详解】解：当点P，Q，C三点共线时，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当点P在沿 向B运动时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
当点P在沿 向A运动时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
由 ，所以符合题意．
所以t的值为 或5．
故答案为： 或5．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假：
(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(2)个位数是3的整数一定能被3整除；(3)对顶角的平分线在同一条直线上．
【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题
(2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题
(3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题
【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可；
（2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可；
（3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可．
【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；
（2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，
所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题
是假命题；
（3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题．
18．在数学活动“用全等三角形证明拼图猜想”中，小明同学剪了一组全等的钝角三角形，并拼在一起后
如图．
(1)观察可以发现， ___________
(2)连接 ，可以发现 与 有什么位置关系？请证明你的猜想．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形
的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据题意即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，再证明 ，
则 ，转化角之间的关系可证明 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解： ，证明如下：
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
19．证明命题
(1)求证：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．
(2)说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是：
（1）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可；
（2）设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为 ，根据
，进行判断作答即可．
【详解】（1）已知，如图，在 和 中， ， ， ，
求证： ．
证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ．
（2）解：该命题是真命题，理由如下：
设三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数为 ，
由题意知， 为整数，
∴ ，也为整数，
∴这个三位数能被3整除，故该命题是真命题．
20．如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）利用邻补角的性质求得 ，求得 ，利用“内错角相等，两直线平行”即可
得到 ；
（2）由 得到 ，由 ，得到 ，即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．如图， 和 有一条公共边．(1)命题“如果 ， ，那么 ”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)从 ； ； 中任选两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证
明．
【答案】(1)假
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）“边边角”无法证明全等；
（2）根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】（1）解： ， ， 无法证明全等，不能推出 ；
故答案为：假；
（2）解：命题1：如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
命题2：如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
22．近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的
青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中 ， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的相关性质解题是关键．
（1）利用两直线平行，同旁内角互补即可解答；
（2）由平行线的性质以及已知条件可得 ，进而得到 ，易证
，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论．
【详解】（1）解：∵ ，
，
．
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
又 ，
．．
23．对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明．
(1)若 ， ， ， ，则 是直角三角形；
(2)若 ，则代数式 是正数．
【答案】(1)假命题，反例见解析
(2)真命题，证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，整式的混合运算，判断命题真假，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）当 时， ， ， ，再结合勾股定理逆定理判断即可得解；
（2）根据整式的混合运算去括号，再结合 判断即可得解．
【详解】（1）解：假命题，
反例：当 时， ， ， ．
所以 ，
所以
所以 不是直角三角形．
（2）解：真命题
，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 是正数．
24．小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．(1)【问题初探】如图1， ， ，求证： ．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问 ， 与 之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架 与吊线 平行，灯杆 与底部支架 所成
锐角度数为 ，顶部支架 与灯杆 所成锐角度数为 ， 的度数为______．（用含 ， 的式子
表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据 得 ，继而得 ，结合 ，得
即可证明 ．
（2）根据平行线的性质，等式性质解答即可．
（3）过E作 ，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．（3）证明：如图，过E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
25．如图1， 为射线 上一点， ， ．根据以上条件解答下列问题：
(1)若 ， ， ．求证： ．
(2)如图2，点 在 上，过点 作 ．求 的度数．（用含 和 的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，过点 作射线 ，若 ， ，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题．（1）根据角的和差关系得出 ，再根据同位角相等两直线平行即可证明．
（2）如图，根据角的和差关系得出 ，根据平行线的性质得出
，代入计算即可．
（3）过点 作 ，则 ， ，由平行线的性质得出
，由垂直的定义得出 ，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可．
【详解】（1）证明： ，
．
，
，
；
（2）解：如图：
过点B作 ，
，
，
．
∵ ，
；
（3）解：过点 作 ，
则 ，
，
由（2）知 ，
则 ，．
①如图，当点 在 内部时， ；
②如图，当点 在 外部时， ．
综上， 的度数为 或 ．
