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专题07 几何最值模型之将军饮马（含勾股）
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型拓展.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）....................................................................6
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）..................................................................10
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）......................................................................13
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）......................................................................16
..................................................................................................................................................20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来
源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边
饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的
经典案例，广泛用于中学数学教学。
（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， ，过点 作 轴的垂
线 ， 为直线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：取点A关于直线 的对称点 ，连 交直线 于点C，连 ，
则可知 ， ，∴ ，
即当 三点共线时， 的最小值为 ，
∵直线 垂直于y轴，∴ 轴，∵ ， ，∴ ，
∴在 中， ，故答案为：5
（2024·安徽滁州·一模）如图，在 中， ，A、C两点关于直线EF对称，连接 ， ，
的周长为18，若点P在直线 上，连接 ， ，则 的最大值为（ ）A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴ ，
∵ 的周长是18， ，∴ 的周长 ，
点P在直线 上，如图，连接 ，
∵A、C两点关于直线EF对称，∴ ，∴ ，
故 的最大值为8，此时点P是直线 与直线 的交点．故选：B．
（2025·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 、 、 分别是
边 、 、 上的动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∴ 周长为 ，当 四点共线时取得最小值，
∵ 是 关于 的对称点，∴ ，
又∵ ∴ ∴ 是等腰直角三角形，
∴ ∴当 时， 取得最小值，即 周长最小。
又∵ ， ，∴ 。
∴ 周长最小为 故答案为： ．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
n
A'
n
A
Q
A
m
P
m A"
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）A
m
A
A'
m
P' P m
A
P P
B
n
Q' Q B
n Q
Q n
B B' B'
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
(1)在图中画出 关于直线 成轴对称的 ；(2)求 的面积；(3)在直线 上找一点 ，使 的长最短，请在图中标出点 的位置．
【答案】(1)见解析(2) 的面积为 (3)见解析
【详解】（1）解：如图所示， 即为所作的三角形；
（2）解： 的面积为 ；
（3）解：如图，点 即为所标出的点．
例2（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，点 在等边 的边 上， ，射线 ，垂
足为点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，当 的值最小时， ．则
这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作E点关于 的对称点 ，过 作 交 于点F，交 于点P，连接 ，则 ，∴ ，
当 、P、F三点共线，且 时， 的值最小，
∵ 是正三角形，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，在 中，由勾股定理可得 ，
∴ 的最小值 ．故选：C．
例3（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在 中， ，点D为
的中点，点E为 上的一个动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】12
【详解】解：作点B关于 的对称点F，连接 交 于E，连接 、 ，则 ，此时，
最小，∵ ∴ ， ，∴
∵ ∴ ∴ ∴
∵点B与点F关于 的对称，∴ ， ，∴
∵ ∴ 为等边三角形，∵点D为 的中点，∴ ， ，∴
∴ 的最小值为12．故答案为：12．
例4（24-25八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入
微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分
密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定
理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知 ，求 的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则
．
① ； ．② ______ ______的线段和．
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
【答案】(1) ， ；② ， (2)
【详解】（1）解：①∵边长为 的正方形 ，设 ，则 ，
由勾股定理可得， ， ，故答案为： ， ；
② ， ， ，故答案为： ， ；
（2）作 关于直线 的对称点 ，连接 ，连接 交 于 ，如图：由 ， 关于直线 对称可得， ， ，
根据两点之间线段最短可知，当 与 重合时， 最短，
， ， ，
当 时， 的最小值为 .
例5（2025·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，连接
， ， 分别是 ， 上的动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【详解】解：∵ ，点 是 的中点，∴ ， ，
在 中， ，∴线段 与线段 关于直线 对称，
∴将 关于 对称得 ，则 点落在线段 上，过C作 于点F，∴ ，∴ ，
， 分别是 ， 上的动点， 最小值为垂线段 的值．
∵ ， ，∴ ，
即 ，∴ ，
即 的最小值为 ．故答案为： ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
例1（2024·安徽滁州·一模）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点F，交 于点
E，连接 ， ， 的周长为18．若点P在直线 上，连接 ， ，则 的最大值
为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【详解】解：∵ 的垂直平分线交 于点F，交 于点E，∴ ，
∵ 的周长是18， ，
∴ 的周长 ，点P在直线 上，如图，连接
，∵点P在 的垂直平分线 上，∴ ，∴ ，
故 的最大值为8，此时点P是直线 与直线 的交点．故选：B．
例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在 中， ， ，将 沿边进行对
折使得点 落在点 处，过点 作 垂直 于点 ，点 是直线 上一动点，当 的最大值是
时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，此时
，
当点 在同一直线上时， 有最大值，此时 ，
当 的最大值是 时， ，
， ，由题意得 和 关于 对称，
， ，
， ， ，
， ， 是等边三角形，
， ， ，
， ， ，故选B．例3（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知点 ， ，点 为 轴上一点当 最大
值时，点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作 关于 轴对称点 ，连接 并延长交 轴于点 ，
， 的坐标为 ，设直线 的解析式为： ，
，解得： ， 直线 的解析式为： ，
当 时， ， 点 的坐标为： ， ，
当 ， ， 不共线时，根据三角形三边的关系可得： ，
此时 取得最大值．故选：B．
例4（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ，在 上方作射线，且 ，若 为 上的一个动点，则 的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 的最大值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ 的最大值为 ；故答案为： ．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知 ， 是 内部的一点，且 ，点
分别是 上的动点，若 周长的最小值等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解：作点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，连接 ，如图，
由轴对称的性质可得， ， ， ， ， ，
，
∴ ，可知当点 在 上时， 的周长的最小，最小值
，
∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，即 ，故选： ．
例2（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图， ，点 是 内的定点且 ，若
点 、 分别是射线 、 上异于点 的动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，作点 分别关于 的对称点 ，连接 分别交 于点 ，， ， ， ， ，
，
，
此时 的周长最小，过点 作 于点 ， ， ，
， ， ，
， ， 周长的最小值是 ，故选：A．
例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图， ，点 、 分别在射线 、 上，
， 的面积为14， 是直线 上的动点，点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点
为 ，当点 在直线 上运动时， 的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，过点O作 交 的延长线于H，∵ ，且 ，∴ ，
∵点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的点为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，故选：B．
例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点 ， 在直线 同侧，在直线上找一点 ，
使 的值最小．
作法如下：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 ，线段 的长度即
为 的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形 中，若 是 的中点， 为高 上一点， ，连接 ，
求 的最小值．(2)拓展延伸 ：如图②，在等边三角形 中，若 为高 上一点，高 ，
求 的最小值．(3)拓展延伸 ：如图③， ， 是四边形 内一定点， ， 分别是
， 上的动点，当 周长的最小值为 时，求 的长．
【答案】(1)3(2)3(3)5
【详解】（1）解：连接 ，∵ 是等边三角形， 是 边上的高，∴点B，C关于 对称， ，
∴ ，∴ ∴ 就是 的最小值．
∵在等边三角形 中，E是 的中点，∴ ，而 是 边上的高
∴ ，∴ 的最小值为3．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵ 为等边三角形 的高，∴ 平分 ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，故其最小值为
3；
（3）解：如图，分别作点P关于 的对称点E，D，连接 ，分别交 于点Q，R，连接
．
∵点P关于 的对称点为E，∴ ．
∵点P关于 的对称点为D，∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ．∴ ．∵ ，
∴当点 共线时， 周长取得最小值即为 ∴ ．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且 ，
， 与 关于y轴对称， ，P、Q分别是 上的动点，则 的
最小值是 ．【答案】7
【详解】解：作B点关于 的对称点 ，作C点关于 的对称点 ，连接 ， ， 交
于点P、Q，过 作 轴于D，过点 作 轴于E．
则 ， ， ， ．
与 关于y轴对称，∴ ． ， 为等边三角形．∴
．
， ， ， ． ， ．
∵ ，∴ ．
同理， ．∴ ．∴ ．
∴ ．∴ 轴．∵ ，∴ ．
∴四边形 是平行四边形．∴ ．
∵ 轴．∴ ，
∴ 是等边三角形．∴ ．∴ ．
∵ ， 的最小值是7．故答案为：
例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， ， 分别为 ， 上的点，， ， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】3
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
交 于点 ，连接 、 ， ，
则 ， ， ，
的最小值为 的长．
， ， ， ， ， ，
， △ 为等边三角形， ，
即 的值最小为3；故答案为：3
例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在 中， ，D是 边上一点，连接
，M，N是线段 上两点， ， ，P，Q分别是 边上的动点，连接
，则 的最小值为 ．【答案】13
【详解】作点M关于 的对称点 ，作点N关于 的对称点 ，连接 分别交 , ，于点
P，Q，连接 ， ，
∵ ，由对称性可知， ， ，
∴ ，∴ ，由对称性可得 ， ，
由勾股定理得， ，∴ ，
当M、N、P、Q共线时， 的值最小，
即 的最小值为13．故答案为：13.1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形 的底边 长为2，面积是8，腰 的垂直平分
线 分别交 、 边于E，F点．若点D为 边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长
的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】解：连接 、 ， 是等腰三角形，点 是 边的中点，
， ，解得 ，
是线段 的垂直平分线， 点 关于直线 的对称点为点 ，∴
∵ ∴当A、M、D三点共线时， 值最小， 的长为 的最小值，
周长的最小值 ．故选：C．2．（2025·安徽马鞍山·三模）在 中， ， ， ，点 为 上一点， 为
内部一点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：设 点到 的距离为 ， 点到 的距离为 ，
， ， 点在 的角平分线上，
作 点关于 的对称点 ， ，
当 、 、 三点共线，且 时， 的值最小，此时最小值为 ，
， 是等边三角形， ， ， ，
， 的最小值为 ，故选：C．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在 中， ， ， 于点D，P是
上的一个动点， 于点E，连接 ．若 ，则 的最小值是（ ）．A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：如图：作 于 交 于 ，连接 ，
∵在 中， ， ，∴ 是等边三角形，
∵ ， ，∴ ， ，∴点C关于 的对称点为点B，
， ，∴当P、B、E在同一直线上且 时， 的值最小为 ，
∴ 的最小值是6．故选：B．
4．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在 中， ， ， ， ，点D、E分
别是边 、 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】延长 至点 ，使得 ，连接 ， ， ，如下图所示：又 ， 垂直平分 ， ， ，
当 ，D，E三点共线时，等号成立，当 时， 有最小值，即 有最小值，为 的长．
当 时，由 得 ，
，解得 ，综上可知， 的最小值为 ．故选：D．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在 中， ， ， 的面积为 ，
平分 ，点 ， 分别为 ， 上动点，连结 ， ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：作F关于 的对称点为M，作 边上的高 ，
∵ 平分 ，∴M必在 上，∵F关于 的对称点为M，∴ ，∴ ，即 (垂线段最短)，
∵ 的面积为 ， ，∴ ，∴ ，即 的最小值为5．故选：B
6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在 中， ， ，点 在 上，且
，过点 作 的垂线交 于点 ，点 为线段 上一个动点，若 ，则 的周
长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，即
的周长最小．在 中， ， ， ， ，
根据勾股定理可得
， ，∴ ，在 中， ，
， 的周长的最小值 ，故选：B．
7．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系 中， ，点 在直线
上．有以下结论：①当点 的坐标为 时， 取得最小值；②当点 的坐标为 时， 取得最大值；
③当点 的坐标为 时， 取得最大值；④当点 的坐标为 时， 取得最小
值．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线 的对称点 ，
连接 交 于点 ，此时 取最小值等于 ，
又 ， 轴， ，故①正确，②错误；
连接 并延长交直线 于 ，如图2，
此时， 取最大值等于 ，设直线 为 ，
， ， ， 直线 为 ，联立方程组 ， ， 此时 ，故③错误；
由题意，连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，如图3，
， 取得最小值为 ， 在 的垂直平分线上，
AB
， 的中点为 ， 直线 为 ，
的垂直平分线为 ， 联立方程组 ， ，
，此时 取得最小值，故④正确；综上，正确的有①④；故选：B．
8．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【详解】解：如图，作点B关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，则 的最小值为5，故选：B．
9．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为
， 是 轴上方的一个动点．若 的面积等于 面积的 ，则当 的值最小时，
点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点 ， 的坐标分别为 ，∴ ，
与 同底边，且 的面积等于 面积的 ，
∴点P到 的距离是3，即点 的纵坐标为 ， 点 在直线 上运动，
作点 关于直线 对称的点 ，连接 ，则点 ，
．当 三点共线时， 的值最小．
设直线 的表达式为 ，把点 代入 ，得 ，
解得 ， ．令 ，则 ，解得 ，
当 的值最小时，点 的坐标为 ．故选：C．
10.（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在 中，∠ ， ，点C在直线
上， ，点P为 上一动点，连接 ， ．当 的值最小时， 的度数为 ．【答案】 / 度
【详解】解：如图，作B关于 的对称点D，连接 ，
∴ ， ，∴ ，
∴当A、P、D三点共线时， 最小，即此时 的值最小，
由轴对称的性质可得 ， ，
， ， 是等边三角形，
， ， ，
， ， ，
，故答案为： ．
11．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图， ， 为 内一定点， 上有一点 ，
上有一点 ，当 的周长取最小值时， 的度数是 ．
【答案】
【详解】解：作点 关于直线 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 交
于点 ， 垂直平分 垂直平分 ， ，
， ， ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 、 ，则 ，
， ，
， 此时 的周长最小，
，故答案为： ．
12．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交
AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
【答案】8cm
【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵C ＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），
△BMC
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC
∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ，在 上方作射线，且 ，若 为 上的一个动点，则 的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 的最大值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ 的最大值为 ；故答案为： ．
14．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ，
．(1)画出 关于 轴对称的 ；(2)画出 关于直线 对称的 ，并求四边形
的面积；(3) 为 轴上一动点， 的最小值为_________．
【答案】(1)图见详解(2)图见详解， (3)
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形：
（2）解：如图， 即为所求作的三角形：
根据题意可得： ， ，故四边形 的面积： ．
（3）解：如图，连接 ，根据轴对称的性质，可得 ，
∴当 ， ， 三点一线时， 取最小值 ，由勾股定理结合图形可得 ，
∴ 取最小值 为 ，即 的最小值为 ，故答案为： ．15．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图1，在 中， ．(1)求 的
面积．(2)如图2，点 、 、 分别为边 、 、 上（均不与端点重合）的动点，求 周长的
最小值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵在 中， ．∴ ,
∴ ， ，在 中， ，
∴ ，∴ ；∴
（2）如图所示，分别作 关于 的对称点 ，连接 ,则 ，
∴ 周长 ；当 四点共线时，最小值为 的长，
∵ ∴又∵ ∴ 是等腰直角三角形，∴
∴当 时， 取得最小值，此时
∴ 周长的最小值为
16．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点 ， ，点M在
坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求 的最小值；(3)若点M在x轴，当 最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)1，2(2) 的最小值为 ．(3)
【详解】（1）解： 已知点 ， ， 到y轴的距离为 ， 到y轴的距离为2；
（2）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，如图所示：
关于 轴对称， ， ， ，
， 取得最小值，且最小值为 ，
过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的垂直线，两线相交于点 ， ，， ， ， ，
， 的最小值为 ．
（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时 ，那么
达到最大，且最大值为 ，
关于 轴对称， ， ，
设直线 为 ，代入 ，
， ， 直线 为 ，
当 时， ，解得 ，故 ．
17．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知 轴上两点 ，
的距离记作 ，若 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 间
的距离，
如图，过 、 分别向 轴、 轴作垂线 、 和 、 ，垂足分别是 、 、 、 ，直
线 交 于点 ，在 中， ， ，
，平面直角坐标系内任意两点 ， 间的距离公式为：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离为___________；
(2)在平面直角坐标系中的两点 ， ， 为 轴上任一点，则 的最小值和此时 点的坐
标；(3)在平面直角坐标系中有一点 ．① 可以表示 到点
和点___________的距离和；②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式
的最小值．
【答案】(1) (2)最小值为5， (3)① ；②
【详解】（1）解： 点 ， ， ，故答案为： ；
（2）如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴相交于点 ，则 ，
，由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，
， 的最小值为 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
解得： ， 直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得： ， ；（3）① 可以表示 到点 和点 的距离和，故答案为：
；
② 表示 到点 和点 的距离和，
由两点之间线段最短，可知当点 在以点 和 为端点的线段上时，代数式的值最小，
的最小值为 ．
18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路 上建一个燃气站 ，
并向路同侧的两个城镇 铺设燃气管道，如何确定燃气站 的位置使得铺设管道的路径最短．
【解决方案】如图2，作点 关于直线 的对称点 ，连接 与直线 交于点 ，则点 就是燃气站 的
位置．
【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点
），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方
案序号）方案3：作点 关 方案4：作点 关于
方案1：过点 作 方案2：连接 并
于 的对称点 ，连 的对称点 ，连接
于点 ，连接 延长交 于点 ，连
接 交 于点 交 于点 ，连
，则铺设 接 ，则铺设管
，连接 ， 接 ，则铺
管道路径是 道路径是
则铺设管道路径是 设管道路径是
． ．
． ．
【数学思考】（2）如图4，在 中， ， ， ，点 ， 在 ， 边上运动，
且 ．如何确定点 的位置，使得 的值最小；
①解决方案：如图5，过点 做射线 ，在射线 上截取 ．请完成后续作图；
②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角 中， ，点 与点 的距离为 ，点
与点 的距离为 ，点 到 的距离为 ．点 ， ， 分别在边 ， ， 上（均不与点
重合），请直接写出 周长的最小值．
【答案】（1）方案3；（2）①见解析；②见解析；（3）
【详解】解：（1）由题意，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，则铺设管道
路径是 ，最短．即最短的铺设路径方案是方案3；故答案为：方案3；（2）①连接 交 于点 ，在 上截取 ，如图所示；
②∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当点 在线段 上时， 的值最小；
∴连接 ，即可得到点 ，再根据 ，确定点 即可；
（3）如图，作 关于 的对称点 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，
则： ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ 的周长 ，
∴当 四点共线时， 的周长最小为 的长，即 的长，
∴当 时， 的周长最小，由题意，点 到 的距离为 ，
∴ 的最小值为 ，即： 的周长的最小值为 ．
19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线 的同侧有两个点A、B，在直线 上找一点 ，
使 点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称
点，对称点与另一点的连线与直线 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题(1)如图2，画出格点 （顶点均在格点上）关于直线 对称的 ，并在 上画出点 ，使
最小；(2)如图3，在锐角三角形 中， ， ， 的角平分线交 于点
分别是 和 上的动点，则 的最小值为___________．(3)如图4， ，
， ，点 ， 分别是射线 ， 上的动点，则 的最小值为___________．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【详解】（1）解：如图， ，点 即为所求，
（2）作 于点H，交 于点 ，过点 作 于点 ，则 的最小值为
，
平分 ， ，
在 中，
由勾股定理得
，所以 的最小值为 ，故答案为：
（3）作点C关于 的对称点 ，作点D关于 的对称点 ， 连接 分别交 于点 ，连
接 ，则 的最小值为 的长．
由对称可得 垂直平分 ， 垂直平分 ，
在 中，由勾股定理得所以 的最小值为13，故答案为：
