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专题 07 二次根式化简的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用数轴化简二次根式
类型二、利用二次根式性质化简
类型三、利用二次根式性质化简求值
类型四、双重二次根式化简
类型五、利用分母有理化化简绝对值
压轴专练
类型一、利用数轴化简二次根式
例1．实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将 化简的结果
是（ ）
A． B． C． D．4
变式1-2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为 ．变式1-3．实数 ， 表示的数在数轴上如图所示，化简求值：
，其中 ，
例2．已知 ，则 （ ）
A．2025 B． C． D．5050
变式2-1．当 时，化简：
变式2-2．已知 的三边分别为a，b，c．且a，b满足 ， ．则
．
变式2-3．当 时， 化简得（ ）
A． B． C． D．变式2-4．已知 的三边长 、 、 满足 ，求 的周长．
类型三、利用二次根式性质化简求值
例3．已知 ， ，则 ．
变式3-1．若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2049
变式3-2．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
变式3-3．已知x、y是正整数，若 ，则 的值是 ．
类型四、双重二次根式化简
例4．观察、思考、作解答：
，反过来， ．
， ．
(1)仿照上述过程，化简： ；
(2)若 ，直接写出 与 之间的关系．
变式4-1．形如 的化简，只要找到两个正数a，b，使 ， ，即 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解： ，这里 ， ，由于 ，
∴ ．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空： ________， ________， ________；
(2)化简： （请写出计算过程）；
(3)化简：
变式4-2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：若设 （其中 、 、 、 均为整数），
则有 ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小
明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
______， ______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
(3)化简： ．
类型五、分母有理化化简二次根式
例5．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题．
，
．
(1)观察上面的运算过程，化简： __________．
(2)已知n为正整数，化简： __________．
(3)计算： ．
变式5-1．【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 这样一类的式子，其实我们还可以将其进一
步化简： ； ； ．以上这
种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简： ________；
(2)计算： ；
(3)已知 ， ，求 的值．
变式5-2．在解决问题“已知 求 的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．(3)已知 ，求代数式 的值．
1．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若自然数 能使 为整数，则 可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
4．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
5．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 为 ．
6．（1）计算：
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示．化简： ．7．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
，
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简： ．
8．已知 ，求a、b、c的值．
9．王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一
道题．先阅读，再回答问题．
(1)小青编的题，观察下列等式：直接写出以下算式的结果：
① ______；
② （ 为正整数） ______；
(2)小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ， （ ， ）再根据平方根的定
义可得：
， ， （ ， ）；
直接写出以下算式的结果：
① ______；
② ______；
(3)王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
；
(4)小丽看到王老师选出的题后，发现困扰自己很久的一道题有了解决办法，请你尝试帮她解决：
题目：若实数 、 满足条件 ，求 的值．
10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
