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威远中学校 2028 届高一上期第一次月考
数学试题
一､单选题（本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分）
1. 给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ，其中错误 个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次判断出各数所属 数集，再利用元素与集合的关系判定即可.
【详解】对于①： ，所以①错误；
对于②： ，所以②错误；
对于③：因为 是无理数，即 ，所以③错误；
对于④：因为 ，所以④正确；
综上所述：错误的个数是 3.
故选：C.
2. 已知命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题 ， 全称量词命题，
其否定为： ， .
故选：C
3. 全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是（ ）
第 1页/共 12页A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.
【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为 ，而全集 ，集合 ，
，
所以 .
故选：C
4. 已知 ，若 A=B，则 a=（ ）
A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D. 1 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合相等及集合元素的互异性进行求解.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
5. 已知 ，下列不等式中一定成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例判断 ABC 即可，利用不等式性质判断；
第 2页/共 12页【详解】对 A：当 时不成立，故 A 错误；
对 B：当 时不成立，故 B 错误；
对 C：当 时不成立，故 C 错误；
对 D：因为 ，所以 ，则 ，即 成立，故 D 正确.
故选：D.
6. 设集合 ，则集合 A 的真子集个数为（ ）
A. 7 个 B. 8 个 C. 16 个 D. 15 个
【答案】D
【解析】
【分析】列举出集合 A 的所有元素，由 n 元集合的真子集个数为 可得.
【详解】由 和 可得 ，
所以集合 A 的真子集个数为 个.
故选：D
7. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的解集，进而判断出“ ”是“ ”的什么条件.
【详解】由 ，解得： 或 ，
所以“ ”不是“ ”的充分条件；若 ，则 ，此时 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件，所以 “ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
8. 设 是整数集 一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么 是 的一个“孤立元”，
给定 ，由 的 3 个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
第 3页/共 12页A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是 3 个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， .
故选：B.
二､多选题（本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分）
9. 下列关系式正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据任何集合是它本身的子集，即可判断 A；根据集合和空集的定义，即可判断 B；根据元素和集
合间的关系，即可判断 C；根据空集是任何集合的子集，即可判断 D，从而得出答案.
【详解】解：对于选项 A，由于任何集合是它本身的子集，所以 ，故 A 正确；
对于选项 B， 是指元素为 0 的集合，而 表示空集，是指不含任何元素的集合，
所以 ，故 B 错误；
对于选项 C， 是指元素为 0 的集合，所以 ，故 C 正确；
对于选项 D，由于空集是任何集合的子集，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列结论中，正确结论的序号是
（ ）
A.
B. 不等式 的解集为
第 4页/共 12页C. 不等式 的解集为 或
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的解集，即可判断 A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出 ，
进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断 B、C、D 项.
【详解】对于 A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即 ，故 A 项正确；
对于 B 项，由已知可得，3、4 即为 的两个解.
由韦达定理可得， ，解得 ，
代入可得 .
又 ，所以 ，所以解集为 ，故 B 项错误；
对于 C 项，由 B 知， ， ， ，
代入不等式可得 ，
化简可得 ，
解得 ，
所以，不等式 的解集为 ，故 C 项错误；
对于 D 项，由已知可得，当 时，有 ，故 D 项正确.
故选：AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为 5
B. 的最大值为
第 5页/共 12页C. 已知 ，则 的最小值为 3
D. 若正数 满足 ，则 的最小值是 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A：举反例即可；对于 BCD，根据基本不等式求解判断即可.
【详解】对于选项 A：取 ，则 ，故 A 错误；
对于选项 B：由 ，解得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则 的最大值为 ，故 B 正确；
对于选项 C：由 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故 C 正确；
对于选项 D：由 ， ，得 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三､填空题（本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分）
12. 已知集合 ，若 ，则 ________．
第 6页/共 12页【答案】3
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系列出方程组，求解并验证即得参数值.
【详解】由 可得 或 ，解得 或 .
当 时， ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当 时， 满足 ，符合题意.
故答案为：3.
13. 已知 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 .
故答案为： .
14. 已知 或 ， ，若 ，则 m 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出 ，由 建立不等式即可得解.
【详解】由 或 ，可得 ，
因为 ， ，
所以 且 ，
解得 ，
故答案为：
四､解答题（本题共计 5 个小题，共计 77 分）
第 7页/共 12页15. 设全集为 ，集合 ， ．求 ， ， .
【答案】 ， ,
【解析】
【分析】根据集合间运算的定义分别可得解.
【详解】由已知 ， ，
则 ， ，
或 ，
所以 .
16. 已知集合 ，非空集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）分别求出集合 A、B，然后根据补集、并集 运算即可得出答案；
（2）由题意知 B A，据此列出不等式组求出 m 的范围即可.
【小问 1 详解】 ⫋
∵ ， ，
当 ， ，所以 .
【小问 2 详解】
因为“ “是“ ”的必要不充分条件，所以 B A，
因为 ，所以 ，即 . ⫋
因为 B A，所以 ，解得 ，
⫋
第 8页/共 12页故 的取值范围为 .
17. 命题 ：关于 的方程 有两个相异负根；命题 ，使得 成立
（1）若命题 为真，求实数 的取值范围；
（2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为 ，使得 ，即可求得结果；
（2）由（1）可知 为真时 的范围；由一元二次方程根的分布可求得 为真时 的范围；根据两个命题
一真一假可分类讨论得到结果.
【小问 1 详解】
因为命题 为真，
即 ，使得 ，
所以 ，即实数 的取值范围 ；
【小问 2 详解】
若 为真命题，
需满足 ，解得 ，
若 真 假， ，解得 ，
若 假 真， ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为
元，朱古力蜂果蛋糕单价为 元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 个，花费记为 ；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 个，花费记为 .
第 9页/共 12页（其中 ， ，且 ）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若 同时满足 ， 求这两种购买方案花费的差值 最小值（注：
差值 花费较大值 花费较小值）.
【答案】（1）购买方案二花费更少，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 可得结论；
（2）由（1）可得 ，结合基本不等式可求得最小值.
【小问 1 详解】
由题意知： ， ，
，
， ， ， ，
，即 ， 购买方案二花费更少.
【小问 2 详解】
由（1）得：
；
， （当且仅当 ，即 时取等号）；
， （当且仅当 ，即 时取等号）；
差值 的最小值为 （当且仅当 ， ， ， 时取最小值）.
19. 已知函数 .
第 10页/共 12页（1）若不等式 的解集为 ，求实数 a 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ；
（3） ，使得不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
（2）因式分解得到 ，根据 的不同取值范围分类讨论即可；
（3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据 的不同取值范围分类讨论即可.
【小问 1 详解】
不等式 的解集为 ，即 恒成立，
当 时， 的解集不为 ；
当 时， 恒成立，则 ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
由题意得 ，
当 时， 解得 ；
当 时， 是开口向上的抛物线，两根分别为 和 ，
当 ，即 时， 的解为 或 ，
当 ，即 时， 的解为 ，
当 ，即 时， 的解为 或 ；
第 11页/共 12页当 时， 是开口向下的抛物线，两根分别为 和 ，且 ，
此时 的解为 ；
综上，当 时， 的解集为 ，当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 .
【小问 3 详解】
由题意整理得 ，使得不等式 有解，
当 时， 解得 ，故 使得不等式 有解，
当 时， 是开口向上的抛物线，只需在 上 即可，
因为 的对称轴为 ，此时对称轴 ，
所以当 ，即 时， ，
整理得 ，结合 可得此时 ；
当 ，即 时， ，结合 可得此时 ；
当 时， 是开口向下的抛物线，
当 时 ,所以当 时， ，使得不等式 有解，
综上 的取值范围为 .
第 12页/共 12页
