文档内容
专题 07 二次函数的应用
考点一 二次函数应用——解决增长率问题 考点二 二次函数应用——解决销售问题
考点三 二次函数应用——解决拱桥问题 考点四 二次函数应用——解决喷水问题
考点五 二次函数应用——解决投球问题 考点六 二次函数应用——解决图形问题
考点七 二次函数应用——解决图形运动问题
考点一 二次函数应用——解决增长率问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1
万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为 ，2022年的产量为 ，由此即可知
道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．
【详解】
解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．
∴2021年产量为 ；2022年的产量为 ．
∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那
么y与x之间的关系式应表示为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据平均增长问题，可得答案．
【详解】
解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点睛】
本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作
的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【解析】
【分析】
（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
考点二 二次函数应用——解决销售问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20
件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，
经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】(1)26
(2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
【解析】
【分析】
（1）由题意可直接进行求解；
（2）设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意可列出函数关系式，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：平均每天销售数量为 （件）；
故答案为26；
(2)
解：设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意得：
，
∵每件盈利不少于25元，
∴ ，解得： ，
∵-2＜0，对称轴为直线 ，
∴当 时，w有最大值，
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，
试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售
量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？
【答案】x＝35时，w最大值2250元，
【解析】
【分析】
设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元），利用每件利润×销量＝总利润，进而得出w与x的函
数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【详解】
解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）
由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发
现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过
程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接
写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）
(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元
(3)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元【解析】
【分析】
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，
从而列出关系式；
（2）把2000元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
（3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
(1)
解：由题意得：w=（x-20）•y
=（x-20）•（-10x+500）
=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；
(2)
由题意可知：
-10x2+700x-10000=2000，
解这个方程得：x=30，x=40．
1 2
由（1）得，20≤x≤32，
∴如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元；
(3)
对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x= =35．
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x=32时，w=2160，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决
实际问题．
考点三 二次函数应用——解决拱桥问题
例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降
________米，水面宽8米．【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（ 3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物
线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为
原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（ 3，0）代入得，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把 代入解析式，得 ；
∴水面下降 米；
故答案为： ；【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面
上升1.5m，则水面宽度为________．
【答案】2m
【解析】
【分析】
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题
得以解决．
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22， 解得 ，
∴ ，
当y=-0.5时， ，
解得x=±1， 此时水面的宽度为2m，故答案为：2m．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标
系．
2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 ，跨度为 ，如
图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边 处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】(1)
(2)在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点 ，代入即可求解；
（2）根据对称轴为： ，得出对称轴右边1m处为： ，代入即可求解．
(1)
解：由题意可得：抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为： ，
∵抛物线过点 ，
∴ ，解得： ，∴这条抛物线所对应的函数关系式为： ．
(2)
解：对称轴为： ，则对称轴右边1m处为： ，
将 代入 ，可得： ，解得： ，
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
考点四 二次函数应用——解决喷水问题
例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测
得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示
的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y
（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【解析】
【分析】
（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求解；（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
(1)
解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
(2)
由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷
头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷
头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高_______________m
时，水柱落点距O点 ．【答案】8
【解析】
【分析】
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设
y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代
入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式
为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出 ， ，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为 ，
将（4，0）代入可得 ，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质
是解题关键．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．
喷水口 离地竖直高度为 （单位： ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度为
的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为
，高出喷水口 ，灌溉车到 的距离 为 （单位： ）．(1)若 ， ；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
②求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围；
(2)若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)① ；② ；③
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线
，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ， 恰好分别在两条抛物线上，设出D、F
坐标计算即可．
(1)
（1）①如图1，由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
设 ．
又∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ．∴上边缘抛物线的函数解析式为 ．
当 时， ，
∴ ， （舍去）．
∴喷出水的最大射程 为 ．
图1
②∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点的坐标为 ．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
即点 是由点 向左平移 得到，则点 的坐标为 ．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵ ，
∴点 的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点 时，
．
解得 ，
∵ ，
∴ ．
当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时，要使 ，
则 ．
∵当 时， 随 的增大而增大，且 时， ，∴当 时，要使 ，则 ．
∵ ，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴ 的最大值为 ．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
∴ 的最小值为2．
综上所述， 的取值范围是 ．
(2)
的最小值为 ．
由题意得 是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为 ．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点的坐标为 ．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到的，
∴下边缘抛物线解析式为 ．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ， 恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3∴设点 ， ， ，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴ ，
解得 ，
代入 ，得 ．
所以 的最小值为 ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上
的坐标是解题的关键．
考点五 二次函数应用——解决投球问题
例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y
（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是___
米．
【答案】10
【解析】
【分析】
成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程即可求解本题．
【详解】解：当y=0时， ，
解得：x=10，x=-2（不合题意，舍去），
1 2
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想．
【变式训练】
1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．
若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平
距离．已知该同学出手点A的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意待定系数法求解析式，再令 ，即可求解．
【详解】
解：∵实心球运动的抛物线的解析式为 ，点A的坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
，令 ， ，
即 ，
解得 （舍去） ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求二次函数与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是
解题的关键．
2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，
且 ．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点 的点B处正上方达到最高
点，最高点C距地面的高度 ，点E到篮球框正下方的距离 ，篮球框的垂直高度为 ．
据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的 ，以小明站立处点O为原点，建
立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线 的函数解析式；
(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到 ）（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)篮球第二次的落地点E到点O的距离为23m；
(3)小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线 的函数解析式为 ，将 代入即可求解；（2）将 向下平移两个单位得， ，令 得，
进而即可求解；
（3）令 得， ，解得： ，由
即可求解．
(1)
解：由题意知， ，
设抛物线 的函数解析式为 ；
将 代入表达式得， ，解得： ；
∴ ；
令 得， ，
∴抛物线 的函数解析式为 ；
(2)
由题意，将 向下平移两个单位得， ，
令 得， ，解得：
∴ ，
∴
∴
∴
(3)令 得， ，
解得： ，
∴小明想一次投中篮球框，他应该向前走15.3m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图形及性质，正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．
考点六 二次函数应用——解决图形问题
例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线
部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为 米．
(1)AB＝ 米（用含 的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)（51﹣3x）
(2)10米
(3)能，最大面积为
【解析】
【分析】
（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB
的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出
结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x- )2+ ,利用二次函数最值即可求解．
(1)
解：设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
(2)
解：依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x＝7，x＝10．
1 2
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
(3)
解：能
S=(51-3x)x＝-3(x- )2+ ,
∵-3<0，
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，即最大面积为 ，
∵ >210，
∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根
据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱
笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
【答案】(1) ．
(2)当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）由 ，可得出 ，由墙长10米，可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出
的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出 关于 的函数关系式；
（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解．
(1)
解： ，
．
又 墙长10米，
，
．
．
(2)
解：由（1）可知： ，
∴当 时，矩形的场地面积最大，最大值为50；
答：当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边
围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？
(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如
图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70
元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)能正常进入，理由见解析
(3)910元
【解析】
【分析】
（1）根据所建坐标系知顶点和与y轴交点E的坐标，可设解析式为顶点式，进行求解，由城门宽度为4米
知x的取值范围是0≤x≤4；
（2）根据对称性当车宽3米时，x＝ ，求此时对应的纵坐标的值，与车高4.5米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点B的坐标，表示三段的长
度从而得出表达式．
(1)
解：由题意知，抛物线的顶点 ，
设抛物线的表达式为 ，
抛物线过点 ，
，
，抛物线的表达式为 ，
即 ；
(2)
解：由题意知，当消防车走最中间时，进入的可能性最大，
即当 时， ，
消防车能正常进入；
(3)
解：设B点的横坐标为m， 的长度为l，
由题意知 ，
即 ， ，
，
当 时，l最大，l最大 ，
费用为 （元），
答：仅钢支架一项，最多需要花费910元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．
考点七 二次函数应用——解决图形运动问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在 中， ，已知点P在直角边AB上，
以 的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以 的速度从点B向点C运动．若点P，Q
同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是 的面积 与点P的运动时间
之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得出 ， ，在 中，根据面积公式得到 的面积 与点
P的运动时间 之间的函数关系 ，利用顶点式 得出当 时， 有最大值
为 ，从而求出 运动时间是 ，求出 ，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设运动时间 ， ，则 ， ，
在 中， ， ， ，则
，
当 时， 有最大值为 ，
解得 ，即 ，
根据 的面积 与点P的运动时间 之间的函数关系可知，
抛物线与 轴交于 和 两点，即 运动时间是 ，，
在 中， ， ，
根据勾股定理可得 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次
函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决
问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方
程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位
的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到
点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求线段CN的长；
(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当 时，
【解析】
【分析】
（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等积法求出CN；
（2）分0＜t≤ 和 ＜t≤4两种情况列出函数解析式，利用二次函数的性质求出最大值．
(1)
解：解得 ，
∵
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形， ，
∴
∴
∴ ；
(2)
由题可知，
①当 时，过点M作MH⊥BD，垂足为H
设 PMN的面积为S
△
则
∵
∴当 时
②当 时，
此时，S随t的增大而增大
∴当 时，
综合①②知，当t=4时，△PMN的面积取得最大值，最大值是 ．【点睛】
本题考查利用二次函数解决面积最大问题，解决问题的关键是根据t值分情况列出函数解析式．
2．（2021·北京·九年级期中）如图， 中， ， ， ．动点 ， 分别从 ，
两点同时出发，点 沿边 向 以每秒3个单位长度的速度运动，点 沿边 向 以每秒4个单位长度
的速度运动，当 ， 到达终点 ， 时，运动停止．设运动时间为 ．
(1)①当运动停止时， 的值为 ．
②设 ， 之间的距离为 ，则 与 满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次
函数关系” ．
(2)设 的面积为 ，
①求 的表达式（用含有 的代数式表示）；
②求当 为何值时， 取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】(1)① ，②一次函数关系；
(2)① ；② ， 的值最大为6
【解析】
【分析】
（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答
案；
（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，
S的值最大为6．
(1)
① ， ，点 沿边 向 以每秒3个单位长度的速度运动，点 沿边 向 以每秒4个单
位长度的速度运动，当运动停止时， 的值为 ，
故答案为：2；
②由已知可得； ，
而 ，
，
，是一次函数，
故答案为：一次函数关系；
(2)
①由已知可得： ， ，
；
② ，
且 ，
时， 的值最大为6．
【点睛】
本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含 的代数式表示 、
的长度．
一、选择题
1．（2022·安徽芜湖·九年级阶段练习）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为
42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值× 列函数表达式即可．
【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
2．（2022·贵州黔东南·九年级阶段练习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部
分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
【答案】B
【分析】如图，将C点的纵坐标带入抛物线的解析式，即可得出 的距离，再加上 的距离即可得出答
案．
【详解】解：如图，把C点纵坐标 代入 中得：
（舍去负值），
即 ，
所以 ．
故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会利用二次函数的解析式求点的坐标是解题的关键．
3．（2022·新疆·哈密市第八中学九年级期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，
喷水头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头 米时，达到最大高度 米，水流喷
射的最远水平距离 是（ ）
A．6米 B．1米 C．5米 D．4米
【答案】C
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与 轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头 米时，达到最大高度
米，
设抛物线解析式为 ，将点 代入，得
解得
∴抛物线解析式为：
令 ，解得 （负值舍去）
即 ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
4．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）如图，在矩形 中， ，点
同时从点B出发、终点都是点D．速度都是 ，点P的运动路径是 ，点Q的运动路径
是 ．设线段 与 左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，则面积S与运动时间t之间的函数
图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 三种情形求得线段 与 左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，
利用S与t的关系式可以判断得出正确选项．
【详解】解：当 时，点P在 上，点Q在 上，此时阴影部分为 ，
由题意： ，
∴ ．
此时的函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分；
当 时，点P在 上，点Q在 上，此时阴影部分为直角梯形 ，如图，由题意： ，
∴ ，
此时的函数图象为直线 的一部分，是一条线段；
当 时，点P在 上，点Q在 上，此时阴影部分为五边形 ，如图，
由题意： ，
∴ ，
此时的函数图象为抛物线 的一部分，
综上，面积S与运动时间t之间的函数图象为：A．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象，二次函数的图象，三角形、矩形，梯形
的面积．利用分类讨论的思想分情形求得S与t的关系式是解题的关键．
二、填空题
5．（2021·新疆·乌鲁木齐市第126中学九年级阶段练习）某水果园2021年水果产量为50吨，2022年水果
产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可
列方程为________．
【答案】
【分析】设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022·北京市房山区燕山教委九年级期中）某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，该商品的单价定为__________元时，销售一件该商品获得的利润最大，
最大利润为__________元．
【答案】 3 2
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足 ，
，
∴该商品的单价定为3元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为2元，
故答案为：3；2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
7．（2022·云南·通海县东麓中学九年级期中）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位 时，水
面宽度为20米，水面距离拱顶4米，当水位上升达到警戒线 时，水面宽度为10米．若洪水到来时，水
位以每小时 米的速度从警戒线开始上升，再持续_______小时才能到拱桥顶．（平面直角坐标系是以桥
顶点为点O的）
【答案】5
【分析】根据题意得：点 ，点D的横坐标为5，设抛物线的解析式为 ，代入解析
式后可求得抛物线的解析式，可得拱桥顶O到警戒线 的距离为1米，进而求出时间．
【详解】解：根据题意得：点 ，点D的横坐标为5，
设该抛物线的解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，∴设该抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
即拱桥顶O到警戒线 的距离为1米，
∴再持续 小时才能到拱桥顶．
故答案为：5
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．
8．（2022·浙江温州·九年级期中）图1是小米家吊椅的图片， 其截面图如图2所示，吊椅的外框架是一条
拋物线，抛物线的最高点为点 ，内框架内由一条圆弧 和两个全等直角三角形组成， 点 在
同一条直线上． 已知 ，点 和点 的距离为 ，点 ，点 到直线 的距离
分别为 是等腰三角形， 过点 作 交 于点 ， 此时， ， 则弧
所在的圆的半径为____________．
【答案】
【分析】延长 ，则必过点 ，延长 交 于 ，则 为 的中点，以 为坐标原点，过
的直线为x轴， 所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据E点坐标设抛物线的顶点式，再
根据D坐标求出抛物线的解析式，再根据N的纵坐标求出N的横坐标，然后在 ， ，求出
，再通过勾股定理求出弧 所在圆的半径．
【详解】解：根据题意，延长 ，则必过点 ，延长 交 于 ，则 为 的中点，以 为坐标原
点，过 的直线为x轴， 所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图，则 ， ， ，
设抛物线的解析式为
将 代入，得 ，
解得 ，
∴
∵ 的纵坐标为 ，
∴由 得： 或 （舍去），
在 中， ， ，
∴ ，
设圆弧 的圆心为P，半径为r，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、圆的基本概念、勾股定理，关键是根据实际物品的特点建立平面
直角坐标系，正确求出抛物线的解析式．三、解答题
9．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球
比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直
角坐标平面中 的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中 的长），离投掷点3米（即图中
的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中 的长，精确到0.01米，参考数据 ）．
【答案】小杰这次掷铅球的成绩为 米
【分析】已知抛物线上的 两点，其中 为顶点坐标，可设顶点式，再代入 点求得 ，从而得到
解析式，然后将 代入函数解析式即可得出结果．
【详解】解：由题意得： ，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： 或 （舍去）
∴ 米，
答：小杰这次掷铅球的成绩为 米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到抛物线上的三点而求其解析式，难度一般．
10．（2022·广东·珠海市九洲中学九年级期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 的宽为
20m，如果水位上升3m水面 的宽是10m．(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
【答案】(1)
(2)能通过，理由见解析
【分析】（1）设 ，则 ，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当 时，y的值即可得到答案
【详解】（1）解：设此抛物线解析式为 ，设 ，则 ，
由题意得 ，
∴ ，
∴此抛物线解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用， 正确求出二次函数解析式是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小
包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关
系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．销售单价 (元 3.5 5.5
销售量 (袋 280 120
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1） 与 之间的函数关系式为 ；
（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【分析】（1）根据每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关系，可设 ，再将
， ； ， 代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的利润 每天每袋的利润 销售量 每天还需支付的其他费用，列出 关于 的函数解析式，
再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设 ．
将 ， ； ， 代入，
得 ，解得 ．
则 与 之间的函数关系式为 ．
（2）由题意得：
．
∵3.5≤x≤5.5，
当 时， 有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系
式是解题的关键．
12．（2022·山东威海·九年级期中）乒乓球台的横截面如图所示，桌面长 ，位于球桌中线的球
网高 ，以 的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点， 所在的直线为x轴，建立如图
所示的坐标系．从O点发出的球经过点 ，且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm
的地方，球达到最高点．(1)求抛物线的解析式；
(2)此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．
【答案】(1) ．
(2)可以击中球台且不触网．
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由待定系数法就可以求出结论；
（2）由桌面长 就可以求出球网的横坐标为 ，当 时代入（1）的解析式
就可以求出结论
【详解】（1）设 ，由题意得
．
解得 ．
所以， ．
（2）可以击中球台且不触网．
令 ，则 ，
解得：
所以，抛物线与x轴的另一个交点为 ．
因为 ，
所以能击中球台．
又 ，N为 的中点，
∴
又∴
将 代入解析式，可求得 ．
所以可以击中球台且不触网．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量求函数值的运用和由函
数值求自变量的值的运用，解答时运用待定系数法求出二次函数的解析式是关键．
13．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级期中）如图，某游乐园有一个直径为 米的圆形喷水池，喷
水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出
的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心 米处达到最大高度为 米，以水池直径所在的直线为 轴，立
柱所在的直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？请说明理由．
【答案】(1) 或 ；
(2)为了不被淋湿，身高 米的王师傅站立时必须在离水池中心 米以内．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点 ，求出 值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 时 的值，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ，根据对称性质可知，水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 ，
综上，水柱所在抛物线的函数表达式为 或 ；
（2）解：为了不被淋湿，身高 米的王师傅站立时必须在离水池中心 米以内．理由如下：
当 时，有 ，
解得： ， ，
为了不被淋湿，身高 米的王师傅站立时必须在离水池中心 米以内．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：
（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出
当 时 的值．
14．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级期中）如图，有长为 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大
可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽 为x米，面积为S平方米，
(1)求S与x的函数关系式；
(2)求出自变量x的取值范围；
(3)如果要围成面积为 平方米的花圃， 的长是多少米？
【答案】(1)S与x的函数关系式为：
(2)自变量的取值范围是
(3) 的长为8米
【分析】（1）由题可知，花圃的宽 为x米，则 为 米，即可得 ；
（2）根据题意得 ，即可得；
（3）由题意，得 ，解得 ， ，根据 得 不合题意，舍去，即可得．
【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽 为x米，则 为 米，，
∴S与x的函数关系式为： ；
（2）解：∵ ,
∴ ，
即自变量的取值范围是 ；
（3）解：由题意，得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ 不合题意，舍去，
∴ 的长为8米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识
点．
15．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）为抗击“新冠”疫情，某商店进了一批瓶装消毒液，每瓶进
价为10元，当售价为每瓶25元时，每月可售出140瓶．为了响应政府“全民抗疫”号召，该店采取薄利
多销策略．据市场调查反映：每瓶售价每降1元，则每月销售量增加20瓶．设每瓶消毒液的售价为 元（
为正整数），每月的销售量为 瓶．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)设该商店每月获得的利润为 元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)为响应希望工程号召，在售价不低于进价且每瓶获利不高于9.5%的前提下，该商店决定每月从利润中捐
出100元资助贫因学生．为了保证捐款后每月利润不低于2120元，消毒液的销售单价可以取哪些数值？
【答案】(1)
(2)当售价为 元时，每月获得的利润最大，最大利润是 元(3)消毒液的销售单价可以为18元或19元
【分析】（1）根据每瓶售价每降1元，则每月销售量增加20瓶即可求得 与 的函数关系式；
（2）根据利润=每瓶利润×销售量可得函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据每月从利润中捐出100元资助贫因学生，且保证捐款后每月利润不低于2120元，列不等式求得
x的取值范围，即可确定销售单价．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
即 与 的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
答：当售价为 元时，每月获得的利润最大，最大利润是 元；
（3）解：∵售价不低于进价且每瓶获利不高于9.5%，
∴ 即 ，
∵每月从利润中捐出100元资助贫因学生．为了保证捐款后每月利润不低于2120元，
∴ 即 ，
解方程 ，
解得： ， ，
∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，符合该商店要求，
∵x为整数， ，
∴x可取18或19，
故消毒液的销售单价可以为18元或19元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得到函数关系式，会利用二次函数
的性质正确求解是解答的关键．
16．（2022·浙江·宁波市第十五中学九年级期中）红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我
国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼
的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价 元，小明一天通过乙灯笼获得利润 元．
①填空： 与 之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
(2)① ；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040
元．
【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为 元/对，根据用3120元购进甲灯笼
与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【详解】（1）解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为 元/对，由题意得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
（2）解：① ，
答：y与x之间的函数解析式为： ；
②∵ ，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为： ，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴ ，
∴ ，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， ．
．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二
次函数的性质是解题关键．
17．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）在 中， ， ， 是 边
的中点， 交 于点 ．动点 从 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动．同时动点 从点
出发沿射线 运动，且始终保持 ．设运动时间为 秒（ ）
(1) 与 相似吗？以图1为例说明理由；
(2)若 ， 厘米．
①当点 在边 上运动时，求动点 的运动速度；
②设 的面积为S（平方厘米），求 关于 的函数解析式
【答案】(1)见解析
(2)① ；②【分析】（1）由 得 由相似三角形的判定即可证
明；
（2）①设 点的运动速度为 cm/s．分两种情况：当 时；②当 时；分别利用相似三角形的性
质求解即可；
②结合①中分析过程，同样分两种情况分析，计算面积即可得出函数关系式．
【详解】（1）解： ，理由如下：
．
（2）
cm．
又 垂直平分 ，
cm．
cm．
①设 点的运动速度为 ．
如图1，当 时，由（1）知
即
；
如图2，当 时，同理可得 ．
综上所述， 点运动速度为 ．
②如图1，当 时，
．
如图2，当 时， , ,
．
综上所述， ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点
是解题关键．
18．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）如图，在 中， ， ， ．
动点D从点C出发以每秒2个单位的速度沿 向点A运动，同时点E从点A出发以每秒4个单位的速度
沿 向终点B运动，以 为邻边作 ，当点E到达点B时，点D也随之停止运动．设点D
的运动时间为t秒（ ）． 与 的重叠部分面积为S．
(1)直接用含t的代数式表示 的长．
(2)当 时，求t的值．
(3)求S与t之间的函数关系式．(4)当点F落在 一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或
【分析】（1）根据勾股定理可求出 的长，根据题意得出 ，从而由 求解
即可；
（2）根据平行线分线段成比例可得出 ，再根据题意可知 ，从而求出 ，代入，
解出t的值即可；
（3）分类讨论：①当点F位于 上方（包括在 上）时，过点E作 于点G．此时 与
的重叠部分面积即为 的面积．由题意易证 ，即得出 ，代入数据，
解出 ，再根据平行四边形的面积公式求解即可；②当点F位于 下方时，设 与 交于点
M，过点E作 于点N．此时 与 的重叠部分面积为梯形 的面积．易证
，即得出 ，代入数据，解出 ，再根据梯形的面积公式计算，最后写
成分段函数即可；
（4）分类讨论：①当点F落在 边上的垂直平分线上时，设该垂直平分线与 的交点为J，由线段垂
直平分线的性质得出 ，再由平行线分线段成比例得出 ，代入数据，解出t即可；
②当点F落在 边上的垂直平分线上时，设该垂直平分线与 的交点为P，与 的交点为Q．由线段
垂直平分线的性质得出 ， ．再由平行线分线段成比例得出 ，代入数据可求出 ．又易证 ，得出 ，结合平行四边形的性质代入数据，解出t即可；
③当点F落在 边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与 的交点为H．由线段垂直平分线的
性质得出 ， ．易证 ，即得出 ，结合平行四边形的性
质代入数据，解出t即可；
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ．
由题意可知 ，
∴ ；
（2）当 时，如图，
∵ ，
∴ ．
由题意可知 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）分类讨论：①当点F位于 上方（包括在 上）时，如图，过点E作 于点G．∴由（2）可知此时 ，且 与 的重叠部分面积即为 的面积．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②当点F位于 下方时，如图，设 与 交于点M，过点E作 于点N．
∴此时 ，且 与 的重叠部分面积为梯形 的面积．
由①同理可求 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ．
综上可知 ；
（4）分类讨论：①当点F落在 边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与 的交点为J，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当点F落在 边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与 的交点为P，与 的交点为Q．
∴ ， ．
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
③当点F落在 边上的垂直平分线上时，如图，设该垂直平分线与 的交点为H．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．综上可知，t的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线
的性质等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
