文档内容
专题 07 二次函数的应用
考点一 二次函数应用——解决增长率问题 考点二 二次函数应用——解决销售问题
考点三 二次函数应用——解决拱桥问题 考点四 二次函数应用——解决喷水问题
考点五 二次函数应用——解决投球问题 考点六 二次函数应用——解决图形问题
考点七 二次函数应用——解决图形运动问题
考点一 二次函数应用——解决增长率问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1
万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果
每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那
么y与x之间的关系式应表示为________．
2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作
的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
考点二 二次函数应用——解决销售问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20
件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，
经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【变式训练】
1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，
试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售
量就减少10件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？
2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发
现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过
程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接
写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
考点三 二次函数应用——解决拱桥问题
例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降
________米，水面宽8米．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面
上升1.5m，则水面宽度为________．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 ，跨度为 ，如
图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边 处，桥洞离水面的高是多少？
考点四 二次函数应用——解决喷水问题
例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测
得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示
的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y
（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【变式训练】
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷
头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷
头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高_______________m
时，水柱落点距O点 ．
2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带浇水．
喷水口 离地竖直高度为 （单位： ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度为
的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为
，高出喷水口 ，灌溉车到 的距离 为 （单位： ）．
(1)若 ， ；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
②求下边缘抛物线与 轴的正半轴交点 的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围；
(2)若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值．考点五 二次函数应用——解决投球问题
例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y
（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是___
米．
【变式训练】
1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．
若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平
距离．已知该同学出手点A的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，
且 ．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点 的点B处正上方达到最高
点，最高点C距地面的高度 ，点E到篮球框正下方的距离 ，篮球框的垂直高度为 ．
据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的 ，以小明站立处点O为原点，建
立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到 ）（参考数据：
）
考点六 二次函数应用——解决图形问题
例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图，利用一面墙（墙长26米），用总长度49米的栅栏（图中实线
部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为 米．
(1)AB＝ 米（用含 的代数式表示）；
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱
笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．
(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE为正方形）的三条边围成，已知城门宽度为4米，最高处距地面6米．如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，
OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
(2)有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？
(3)为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如
图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米70
元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
考点七 二次函数应用——解决图形运动问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在 中， ，已知点P在直角边AB上，
以 的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以 的速度从点B向点C运动．若点P，Q
同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是 的面积 与点P的运动时间
之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方
程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到
点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求线段CN的长；
(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？
2．（2021·北京·九年级期中）如图， 中， ， ， ．动点 ， 分别从 ，
两点同时出发，点 沿边 向 以每秒3个单位长度的速度运动，点 沿边 向 以每秒4个单位长度
的速度运动，当 ， 到达终点 ， 时，运动停止．设运动时间为 ．
(1)①当运动停止时， 的值为 ．
②设 ， 之间的距离为 ，则 与 满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次
函数关系” ．
(2)设 的面积为 ，
①求 的表达式（用含有 的代数式表示）；
②求当 为何值时， 取得最大值，这个最大值是多少？一、选择题
1．（2022·安徽芜湖·九年级阶段练习）据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为
42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·贵州黔东南·九年级阶段练习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部
分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
3．（2022·新疆·哈密市第八中学九年级期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，
喷水头的高度（即 的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头 米时，达到最大高度 米，水流喷
射的最远水平距离 是（ ）A．6米 B．1米 C．5米 D．4米
4．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）如图，在矩形 中， ，点
同时从点B出发、终点都是点D．速度都是 ，点P的运动路径是 ，点Q的运动路径
是 ．设线段 与 左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，则面积S与运动时间t之间的函数
图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2021·新疆·乌鲁木齐市第126中学九年级阶段练习）某水果园2021年水果产量为50吨，2022年水果
产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可
列方程为________．
6．（2022·北京市房山区燕山教委九年级期中）某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足
，不考虑其他因素，该商品的单价定为__________元时，销售一件该商品获得的利润最大，
最大利润为__________元．
7．（2022·云南·通海县东麓中学九年级期中）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位 时，水面宽度为20米，水面距离拱顶4米，当水位上升达到警戒线 时，水面宽度为10米．若洪水到来时，水
位以每小时 米的速度从警戒线开始上升，再持续_______小时才能到拱桥顶．（平面直角坐标系是以桥
顶点为点O的）
8．（2022·浙江温州·九年级期中）图1是小米家吊椅的图片， 其截面图如图2所示，吊椅的外框架是一条
拋物线，抛物线的最高点为点 ，内框架内由一条圆弧 和两个全等直角三角形组成， 点 在
同一条直线上． 已知 ，点 和点 的距离为 ，点 ，点 到直线 的距离
分别为 是等腰三角形， 过点 作 交 于点 ， 此时， ， 则弧
所在的圆的半径为____________．
三、解答题
9．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球
比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直
角坐标平面中 的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中 的长），离投掷点3米（即图中
的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中 的长，精确到0.01米，参考数据 ）．10．（2022·广东·珠海市九洲中学九年级期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 的宽为
20m，如果水位上升3m水面 的宽是10m．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
11．（2022·全国·九年级专题练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小
包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数关
系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价 (元 3.5 5.5
销售量 (袋 280 120
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？12．（2022·山东威海·九年级期中）乒乓球台的横截面如图所示，桌面长 ，位于球桌中线的球
网高 ，以 的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点， 所在的直线为x轴，建立如图
所示的坐标系．从O点发出的球经过点 ，且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm
的地方，球达到最高点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．
13．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级期中）如图，某游乐园有一个直径为 米的圆形喷水池，喷
水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出
的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心 米处达到最大高度为 米，以水池直径所在的直线为 轴，立
柱所在的直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？请说明理由．
14．（2022·福建师范大学平潭附属中学九年级期中）如图，有长为 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大
可用长度a为5米），围成长方形花圃．设花圃的宽 为x米，面积为S平方米，(1)求S与x的函数关系式；
(2)求出自变量x的取值范围；
(3)如果要围成面积为 平方米的花圃， 的长是多少米？
15．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期中）为抗击“新冠”疫情，某商店进了一批瓶装消毒液，每瓶进
价为10元，当售价为每瓶25元时，每月可售出140瓶．为了响应政府“全民抗疫”号召，该店采取薄利
多销策略．据市场调查反映：每瓶售价每降1元，则每月销售量增加20瓶．设每瓶消毒液的售价为 元（
为正整数），每月的销售量为 瓶．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)设该商店每月获得的利润为 元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)为响应希望工程号召，在售价不低于进价且每瓶获利不高于9.5%的前提下，该商店决定每月从利润中捐
出100元资助贫因学生．为了保证捐款后每月利润不低于2120元，消毒液的销售单价可以取哪些数值？
16．（2022·浙江·宁波市第十五中学九年级期中）红灯笼，象征着阖家家团圆，红红火火，挂灯笼成为我
国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼
的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价 元，小明一天通过乙灯笼获得利润 元．
①填空： 与 之间的函数关系式是___________；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?17．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）在 中， ， ， 是 边
的中点， 交 于点 ．动点 从 出发沿射线 以每秒 厘米的速度运动．同时动点 从点
出发沿射线 运动，且始终保持 ．设运动时间为 秒（ ）
(1) 与 相似吗？以图1为例说明理由；
(2)若 ， 厘米．
①当点 在边 上运动时，求动点 的运动速度；
②设 的面积为S（平方厘米），求 关于 的函数解析式
18．（2022·吉林·长春高新兴华学校九年级期中）如图，在 中， ， ， ．
动点D从点C出发以每秒2个单位的速度沿 向点A运动，同时点E从点A出发以每秒4个单位的速度
沿 向终点B运动，以 为邻边作 ，当点E到达点B时，点D也随之停止运动．设点D
的运动时间为t秒（ ）． 与 的重叠部分面积为S．
(1)直接用含t的代数式表示 的长．
(2)当 时，求t的值．
(3)求S与t之间的函数关系式．(4)当点F落在 一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
