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第八章 二元一次方程组提优检测卷（解析版）
总分 150分 时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
{a+2b=4
1．若关于a，b的二元一次方程组 ，则a+b的值为（ ）
3a+2b=8
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：利用加减法解方程组求得a，b，结论可求．
{a+2b=4①
解： ，
3a+2b=8②
②﹣①得：2a＝4．
∴a＝2．
把a＝2代入①得：2+2b＝4．
∴b＝1．
∴a+b＝3．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．用适当的方法解二元一次方程组
是解题的关键．
{x=3
2．若 是关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝0的一个（组）解，则a的值为（ ）
y=2
A．3 B．4 C．4.5 D．6
思路引领：利用二元一次方程的解的定义，代入即可．
{x=3
解：∵ 是关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝0的一个解，
y=2
∴3×3﹣a×2＝0，
∴a＝4.5，
故选：C．
总结提升：本题考查的是二元一次方程（组）的解，解题的关键就是把解代入原方程．
{5a+2b=−9
3．已知点P（a，b）的坐标满足二元一次方程组 ，则点P所在的象限为（ ）
3a−4b=−8
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路引领：解方程组求出a、b的值，再根据各象限内点的坐标特征即可得到答案．{5a+2b=−9①
解： ，
3a−4b=−8②
①×2得：10a+4b＝﹣18③，
②+③得：13a＝﹣26，
∴a＝﹣2，
把a＝﹣2代入①得：﹣10+2b＝﹣9，
1
∴b= ，
2
{a=−2
∴方程组的解为 1 ，
b=
2
1
∴点P的坐标为（﹣2， ），
2
∴点P在第二象限，
故选：B．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法，各象限内点的坐标特征，正确求出方程组的解是解决本
题的关键．
4．已知关于x，y的方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
的解是{x=3，则关于x，y的方程组{a
1
(x−1)−b
1
y=c
1
的解
a x+b y=c y=2 a (x−1)−b y=c
2 2 2 2 2 2
是（ ）
{ x=4 {x=1 { x=3 {x=4
A． B． C． D．
y=−2 y=2 y=−2 y=2
{x−1=3
思路引领：对比两个方程组，运用换元思想得： ，解出即可．
−y=2
{x−1=3 { x=4
解：由题意得： ，解得 ，
−y=2 y=−2
故选：A．
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元思想是解本题的关键．
{ x+ y= ⋆ {x=6
5．如果方程组 的解为 ，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
2x+ y=16 y=■
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
{x=6
思路引领：把 代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y求★．
y=■{x=6
解：把 代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，
y=■
{x=6
再把 代入x+y＝★得★＝6+4＝10，
y=4
故选：A．
总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，代入法求解．
6．已知二元一次方程2x+3y﹣2＝0，当x，y的值互为相反数时，x、y的值分别为（ ）
A．2，﹣2 B．﹣2，2 C．3，﹣3 D．﹣3，3
思路引领：由题意得x＝﹣y，把它代入方程2x+3y﹣2＝0，解出y的值，继而能求出x的值．
解：∵x，y的值互为相反数，
∴x＝﹣y，
把它代入方程2x+3y﹣2＝0，
解得：y＝2，
∴x＝﹣2．
故选：B．
总结提升：主要考查二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是
代入法．
7．把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有（ ）
A．4种换法 B．5种换法 C．6种换法 D．7种换法
思路引领：用二元一次方程解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于10元和5元的数量都是
未知量，可设出10元和5元的数量．本题中等量关系为：10元的总面值+5元的总面值＝50元．
解：设10元的数量为x，5元的数量为y．
则10x+5y＝50，（x≥0，y≥0），
{ x=0 {x=1 {x=2 {x=3 {x=4 {x=5
解得： ， ， ， ， ， ，
y=10 y=8 y=6 y=4 y=2 y=0
共有6种换法．
故选：C．
总结提升：本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．本
题要找好等量关系，对于两个未知量要找到其取值范围，此外，还应注意两个未知量是整数．
8．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数（人） 6 ● ● 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元
的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
{ x+ y=27 { x+ y=27
A． B．
2x+3 y=66 2x+3 y=100
{ x+ y=27 { x+ y=27
C． D．
3x+2y=66 3x+2y=100
思路引领：根据题意和表格可以列出相应的方程组，从而可以的打哪个选项是正确的．
解：由题意可得，
{ x+ y=40−6−7
，
2x+3 y=100−1×6−4×7
化简，得
{ x+ y=27
，
2x+3 y=66
故选：A．
总结提升：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长为（ ）
A．2cm B．6cm C．12cm D．16cm
思路引领：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①1个长＝3个宽，②
一个长+一个宽＝8cm，列出方程组，解方程组即可．
解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
{ x=3 y
由题意得： ，
x+ y=8
{x=6
解得： ，
y=2
则每块小长方形地砖的周长为2（x+y）＝2×（6+2）＝16（cm），
故选：D．
总结提升：此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．10．小敏计划购买一批规格相同的花盆来养花，在商店里选购时，她先将 3个花盆叠在一起量得其高度是
9cm，再将8个花盆叠在一起量得其高度是14cm（如图所示）．若把25个相同规格的花盆叠在一起，
则其高度是（ ）
A．31cm B．32cm C．45cm D．47cm
思路引领：设1个花盆的高度为xcm，每叠加1个花盆高度增加ycm，根据“把3个花盆叠在一起高度
是9cm，把8个花盆叠在一起高度是14cm”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，
y的值，再将其代入[x+（25﹣1）y]中即可求出结论．
解：设1个花盆的高度为xcm，每叠加1个花盆高度增加ycm，
依题意，得：{x+(3−1)y=9 ，
x+(8−1)y=14
{x=7
解得： ，
y=1
∴x+（25﹣1）y＝31（cm）．
故选：A．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．已知（a﹣1）x+2y|a|＝3是二元一次方程，则a的值为 ﹣ 1 ．
思路引领：根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．
解：∵（a﹣1）x+2y|a|＝3是二元一次方程，
{a−1≠0
∴ ，
|a|=1
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有
2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
{ax+by=7 {ax−by=3
12．如果方程组 与方程组 的解相同，那么a＝ ，b＝ ．
3x+ y=1 x+ y=−1思路引领：联立不含a与b的方程组成方程组，求出x与y的值，代入即可求出a与b的值．
{3x+ y=1①
解：联立得： ，
x+ y=−1②
①﹣②得：2x＝2，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝﹣2，
{ax+by=7 {a−2b=7
代入 得： ，
3x+ y=1 a+2b=3
{ a=5
解得： ，
b=−1
故答案为：5，﹣1
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
13．在求代数式﹣x2+ax+b的值时，小红用x＝2代入时，求得的值是1；小丽用x＝﹣2代入时，求得的值
是3．那么小英把x＝4代入后得到的结果为 ﹣ 1 2 ．
思路引领：根据题意列出方程组，解方程组求出a，b的值，把x＝4，a，b的值代入代数式即可得出答
案．
{−4+2a+b=1
解：根据题意得 ，
−4−2a+b=3
{ 1
a=−
解得 2，
b=6
把x＝4代入代数式得﹣16+4a+b＝﹣16﹣2+6＝﹣12，
故答案为：﹣12．
总结提升：本题考查了代数式求值，解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元
方程转化为一元方程是解题的关键．
14．已知3x+4y+5z＝2，6x﹣y+z＝7，那么3x+22y+23z＝ ．
思路引领：将第①个方程两边都乘以5可得：15x+20y+25z＝10③，再将第②个方程两边都乘以2可
得：12x﹣2y+2z＝14④，然后用③﹣④进行计算即可解答．
{3x+4 y+5z=2①
解： ，
6x−y+z=7②
①×5得：
15x+20y+25z＝10③，
②×2得：12x﹣2y+2z＝14④，
∴③﹣④得：
3x+22y+23z＝﹣4，
故答案为：﹣4．
总结提升：本题考查了解三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
{x=0 {x=2
15．二元一次方程3x+2y＝10的非负整数解是 或 ．
y=5 y=2
思路引领：利用列举法，列举出方程的所有非负正整数解即可．
解：当x＝0时，2y＝10，解得y＝5；
当x＝1时，2y＝7，解得y＝3.5（不合题意舍去）；
当x＝2时，2y＝4，解得：y＝2；
1
当x＝3时，y= （不合题意舍去）；
2
当x≥4时，y＜0（不合题意）．
{x=0 {x=2
故答案为： 或 ．
y=5 y=2
总结提升：本题主要考查的是二元一次方程的解的定义，利用列举求得符合条件的解是解题的关键．
16．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝2时，y＝3．则a+b+c＝ ﹣ 4
．
思路引领：代入后得出三元一次方程组，求出a+b＝1，c＝﹣5，再求出答案即可．
{
a−b+c=0①
解：由题意得： 25a+5b+c=60②
4a+2b+c=3③
②﹣①得：24a+6b＝60，
4a+b＝10④，
③﹣①得：3a+3b＝3，
a+b＝1⑤，
{4a+b=10
由④和⑤组成方程组 ，
a+b=1
{ a=3
解方程组得： ，
b=−2
把a、b的值代入①得：c＝﹣5，
所以a+b+c＝1+（﹣5）＝﹣4．故答案为：﹣4．
总结提升：本题考查了解三元一次方程组，能正确的把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题
的关键．
{x+by=0 { x=1
17．若方程组 的解是 ，其中y的值看不清楚了，则b的值是 ．
x+ y=−1 y=？
思路引领：先把x＝1代入x+y＝﹣1求出y的值，再把把x＝1，y＝﹣2代入x+by＝0，即可解答．
解：把x＝1代入x+y＝﹣1得：1+y＝﹣1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入x+by＝0得：1﹣2b＝0，
1
解得：b= ．
2
1
故答案为： ．
2
总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
18．图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长
方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒 只和横式
纸盒 只，恰好使库存的纸板用完．
思路引领：设竖式纸盒x只，横式纸盒y只，恰好使库存的纸板用完，由题意：现在仓库有100张正方
形纸板和200张长方形纸板，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设竖式纸盒x只，横式纸盒y只，恰好使库存的纸板用完，
{4x+3 y=200
由题意得： ，
x+2y=100
{x=20
解得： ，
y=40
即能做竖式纸盒400只，横式纸盒800只，恰好使库存的纸板用完，
故答案为：20，40．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（20分）解方程：
{ x=2y
（1） ；
2x−3 y=2
{ 3x+2y=3
（2） ；
5x−6 y=−23
（3）{ 3(x−1)= y+5 ；
5(y−1)=3(x+5)
{ x+ y x−y
（4） − =1 ．
2 3
(x+ y)−5(x−y)=2
思路引领：（1）利用代入消元法进行计算即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算即可解答；
（3）先将原方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可解答；
（4）先将原方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可解答．
{ x=2y①
解：（1） ，
2x−3 y=2②
把①代入②中得：
4y﹣3y＝2，
解得：y＝2，
把y＝2代入①中，
x＝4，
{x=4
∴原方程组的解： ；
y=2
{ 3x+2y=3①
（2） ，
5x−6 y=−23②
①×3得：
9x+6y＝9③，
②+③得：
14x＝﹣14，解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：
﹣3+2y＝3，
解得：y＝3，
{x=−1
∴原方程组的解为： ；
y=3
（3）将原方程组化简得：
{ 3x−y=8①
，
5 y−3x=20②
①+②得：
4y＝28，
解得：y＝7，
把y＝7代入①中，
3x﹣7＝8，
解得：x＝5，
{x=5
∴原方程组的解为： ；
y=7
{ x+5 y=6①
（4）将原方程组化简得： ，
3 y−2x=1②
①×2得：2x+10y＝12③，
②+③得：
13y＝13，
解得：y＝1，
把y＝1代入①中得：
x+5＝6，
解得：x＝1，
{x=1
∴原方程的解为： ．
y=1
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
{cx−3 y=−2 { x=1
20．（8分）小明和小丽同解一个二元一次方程组 ，小明正确解得 ，小丽因抄错了
ax+by=2 y=−1
{ x=2
c，解得 ．已知小丽除抄错c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．
y=−6思路引领：因为小明的解正确，所以可以代入任何一个方程，代入①可求c的值，代入②得a﹣b＝
2；因为小丽抄错了c，因此可以代入②中，得a﹣3b＝1，建立方程组，可以得出a、b的值，从而求出
结论．
{ x=1
解：将 代入cx﹣3y＝﹣2①得，c+3＝﹣2，c＝﹣5，
y=−1
{ x=1
将 代入ax+by＝2②得，a﹣b＝2③，
y=−1
{ x=2
将 代入②得，2a﹣6b＝2，a﹣3b＝1④，
y=−6
{a−b=2
将③，④联立， ，
a−3b=1
5
{a=
解之得 2，
1
b=
2
5 1
所以a+b+c= + −5=−2．
2 2
总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，要求方程组的字母系数，通常采用代入法，将正确的解代
入即可．
{ x−3 y=8①
21．（12分）解方程组 时，两位同学的解法如下：
4x−3 y=5②
解法一：由①﹣②，得3x＝3．
解法二：由②得3x+（x﹣3y）＝5③，
把①代入③得3x+8＝5．
（1）反思：上述两种解题过程中你发现解法 一 的解题过程有错误（填“一”或“二”）；
（2）请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
思路引领：（1）根据解题步骤得出答案即可；
（2）①﹣②得出﹣3x＝3，求出x，再把x＝﹣1代入①求出y即可．
解：（1）上述两种解题过程中你发现解法一的解题过程有错误，
故答案为：一；
{ x−3 y=8①
（2） ，
4x−3 y=5②①﹣②，得﹣3x＝3，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝8，
解得：y＝﹣3，
{x=−1
所以原方程组的解是 ．
y=−3
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
{2x+ y=1+3m①
22．（10分）已知：关于x，y方程组 ．
x+2y=1+2m②
（1）当y＝5时，求m的值．
（2）若方程组的解x与y满足条件x+y＝1，求m的值．
思路引领：（1）把y＝5代入方程组，然后消掉x即可求得m．
（2）①+②得3x+3y＝5m+2，再根据x+y＝1可得关于m的方程，求解即可．
{2x=3m−4③
解：（1）把y＝5代入方程组整理得： ，
x=2m−9④
④×2﹣①得：m﹣14＝0，
解得m＝14．
（2）①+②得：3x+3y＝5m+2，
∵x+y＝1，
∴3x+3y＝3，
∴5m+2＝3，
1
解得m= ．
5
总结提升：本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．
{ x+2y−6=0
23．（12分）已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
思路引领：（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解．
（2）将x+y＝0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得
m的值；（3）当含m项为零时，取x＝0，代入可得固定的解；
（4）求出方程组中x的值，根据x恰为整数，m也为整数，确定m的值．
解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，
解得：x＝6﹣2y，
当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2，
{x=2 {x=4
方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为： ， ；
y=2 y=1
{ x+ y=0 {x=−6
（2）由题意得： ，解得 ，
x+2y−6=0 y=6
{x=−6 13
把 代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m=− ；
y=6 6
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
（1+m）x﹣2y＝﹣5，
∴当x＝0时，y＝2.5，
{ x=0
即固定的解为： ，
y=2.5
{ x+2y−6=0①
（4） ，
x−2y+mx+5=0②
①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，
（2+m）x＝1，
1
x= ，
2+m
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m是1的约数，
2+m＝1或﹣1，
m＝﹣1或﹣3．
总结提升：此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组
的解是本题的关键．
24．（8分）列方程（组）解应用问题：
“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关
特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容
融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/件 销售额/元冰墩墩 雪容融
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
思路引领：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，利用总价＝
单价×数量，结合表格内的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
{100x+40 y=14800
依题意得： ，
160x+60 y=23380
{x=118
解得： ．
y=75
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25．（10分）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用 19000元购进甲、乙两种
医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够
使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局
的要求？
思路引领：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用19000
元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求
数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出结论．
解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
{ x+ y=900
依题意得： ，
20x+25 y=19000{x=700
解得： ，
y=200
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒．
（2）20×700+25×200＝14000+5000＝19000（个），2×900×10＝18000（个），
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一
次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．
26．（10分）2021月9月以来，我省闽南地区疫情操发．“一方有难，八方支援”，福州市筹集了大量的
生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区．具体运输情况如下：
第一批 第二批
A型货车的辆数（单位：辆） 4 8
B型货车的辆数（单位：辆） 5 3
累计运输物资的吨数（单位：吨） 52 76
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）福州市第三批又联系了3辆A种型号货车，9辆B型号货车，所有车辆均满载的情况下．问第三批
共能运多少吨的生活物资？
思路引领：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
根据前两批具体运输情况数据表，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意列式计算即可．
解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
{4x+5 y=52
依题意，得： ，
8x+3 y=76
{x=8
解得： ，
y=4
答：A种型号货车每辆满载能运8吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运4吨生活物资．
（2）由题意得：3×8+9×4＝60（吨），
答：第三批共能运60吨的生活物资．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
