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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.1&8.2 二元一次方程组及其解法
二元一次方程
知识点一
◆二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方
程叫做二元一次方程.
◆二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未
知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二元一次方程的解
知识点二
◆二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来.
2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元
一次方程有无数个解.
二元一次方程组
知识点三
◆二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个
方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【注意】1、二元一次方程组需满足三个条件：① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程
的左右两边都是整式.
2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其
中有的方程也可以是一元一次方程.
二元一次方程组的解
知识点四
◆1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组
的解.◆2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解．
◆3、方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程
组的解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验．
代入消元法
知识点五
◆1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
◆2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另
一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
◆3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示
出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
加减消元法
知识点六
◆1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
◆2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的
两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
{x=a
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
y=b题型一 二元一次方程的概念
二元一次方程的概念
【例题1】（2022春•南湖区校级期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
1
A．x﹣2y＝z B．x+y＝2 C． +4y＝6 D．x2﹣x＝0
x
解题技巧提炼
判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方
程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条
件的都不叫二元一次方程．
【变式1-1】（2022秋•宁明县期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．2x+3y＝5 B．xy＝11 2
C．2(m−5)= m−2 D．1− =n
4 3m
【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）已知方程ax+y＝3x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的
条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a≠3 D．a≠﹣3
【变式1-3】（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值
为（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
【变式1-4】（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n
的值为（ ）
1 4 1 4
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m= ，n=− D．m=− ，n=
3 3 3 3
【变式1-5】（2023•北碚区校级开学）方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣2n的
值为 ．
【变式1-6】（2022秋•南开区校级期末）方程（m﹣2）x﹣y|m﹣3|＝1是关于x，y的二元一次方程，则
m＝ ．
【变式1-7】（2022•江北区开学）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试
问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
题型二 二元一次方程组的概念【例题2】（2022春•上蔡县期中）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
{x+ y=5
{x+ y=3
A． B． 1
z+x=5 =x
y
{x= y+11
{ x+ y=5
C． D． y+1
x2+ y=12 2x=
2
解题技巧提炼
本题运用定义法解题，在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其
次看含未知数的项的次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
【变式2-1】（2023•金水区开学）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．{x2+3 y=1 B．{ xy=2
2x−y=4 x+2y=5
{m+3n=10 {a−b=6
C． D．
5m−2n=1 b+c=3
【变式2-2】（2022春•宁远县月考）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
{y=3x {3x+2y=8
A． B．
xy=5 2x= y
{x+5 y=10
{2+7 y=12x
C． 1 D．
5x= 2x+6z=0
y
【变式2-3】（2022春•安新县期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
{1
{4x−y=−1 −1= y
A． B． x
y=2x+3
3x+ y=0C．{x−y=1 D．{x2−x−2=0
xy=2 y=x+1
【变式2-4】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
{ 5x= y {5x−6 y=5 {3x+ y=51 { x=4
① ；② ；③ ；④
x+ y=4 2x−y=8 z−6=41 y=−3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{x−y=2 {x−2y=6 {x−3 y=12
【变式2-5】观察下列方程组：① ；② ；③ ；…若第④方程组满
2x+ y=1 3x+2y=2 4x+3 y=3
足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ．
【变式2-6】（2021春•平凉期末）方程组{ y−(a−1)x=5 是关于x，y的二元一次方程组，则ab的
y|a|+(b−5)xy=3
值是 ．
题型三 二元一次方程（组）的解
{ x=3
【例题3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是 ，则a的值
y=−1
为（ ）
1
A．1 B．﹣1 C． D．3
3解题技巧提炼
1、二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解．
2、二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共
解，叫做二元一次方程组的解．
3、一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发
点，当遇到有关二元一次方程（组）的解的问题时，要回到定义中去，通常采用
代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
{ x=1
【变式3-1】（2022秋•扶风县期末）若 是关于x和y的二元一次方程ax+y＝2的解，则a的值
y=−2
等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式3-2】（2022春•大连期中）在3x+4y＝10中，已知y＝1，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【变式3-3】（2022秋•榆次区校级期末）二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
{x=2 {x=2 {x=2 {x=2
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=4 y=6
【变式 3-4】（2022 春•建华区校级期中）关于 x 和 y 的二元一次方程，2x+3y＝20 的正整数解有
（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
{x=1
【变式 3-5】（2022春•海安市月考）若 是关于x，y的二元一次方程ax+by=√3的解，那么
y=4
7√3−4b−a的值是（ ）
A．7 B．7√3 C．6√3 D．−7√3
{x=2
【变式3-6】（2022秋•历下区期中） 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a与b
y=4的值．
{x=2 {x=2n
【变式3-7】（2022•南京模拟）已知 和 都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
y=m y=4
（1）请用含n的代数式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
{ x=1 {x=2m
【变式3-8】（2022秋•盐田区期末）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝k， 和 都是
y=m+2 y=1
该方程的解．
（1）求m的值；
{x=n
（2）若 也是该方程的解，求n的值．
y=n
题型四 用代入法解二元一次方程
{2x+3 y=8①
【例题4】用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（ ）
3x−5 y=5②8−3 y
A．由①得x= ③
2
8−3 y
B．把③代入②得3× −5y＝5
2
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
解题技巧提炼
用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响
着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程.
{4 y=x+4，①
【变式4-1】（2022秋•市北区校级期末）已知方程组 指出下列解法中比较简洁的
5 y=4x+3，②
是（ ）
A．利用①，用含x的式子表示y，再代入②
B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①
D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
{ y=2−x
【变式4-2】（2022秋•蒲城县期末）二元一次方程组 的解是（ ）
3x=1+2y
{x=−1 {x=1 { x=1 {x=−1
A． B． C． D．
y=−1 y=1 y=−1 y=1
{2x+3 y=8①
【变式4-3】（2022•平泉市二模）用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步
3x−5 y=5②
是（ ）
8−3 y
（1）由①得x= ③；
28−3 y
（2）把③代入②得3× −5y＝5；
2
（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；
（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
{2x+4 y=7，
【变式4-4】用代入法解方程组 时，最好是先把 变形为 ，再代入方
x−3 y=8
程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
【变式4-5】用代入法解下列方程组：
{2x+3 y=−1 {2x+3 y=7
（1） （2）
y=4x−5 4x−y=1
{x−1 y
− =1 { 3(x−1)= y+5
（3） 2 3 （4）
5(y−1)=3(x+5)
y+3x=5
【变式4-6】用代入法解下列方程组：{ x y
（1）{x−5 y=−4，① （2） + =6，①
3 4
3x−2y=1；②
2(x+ y)−3(2y−x)=28．②
{2x+5 y=3①
【变式4-7】（2022春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用
4x+11y=5②
了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
{ x=4
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为 ；
y=−1
{
3x+2y−2=0
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 3x+2y+1 2．
−x=−
5 5题型五 用加减法解二元一次方程
{4x−7 y=−17①
【例题5】（2022秋•惠来县期末）对于方程组 ，用加减法消去x得到的方程是（
4x+4 y=15②
）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
解题技巧提炼
用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况:
(1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解;
(2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝
对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解;
(3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用
最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对
值相等,然后再利用加减法求解.
{3x−5 y=15①
【变式5-1】（2023•惠阳区校级开学）用加减法解方程组 时，①﹣②得（ ）
3x−10 y=13②
A．﹣5y＝2 B．5y＝2 C．﹣11y＝28 D．11y＝28
{x+3 y=4①
【变式5-2】（2022春•宛城区期中）用加减消元法解方程组 时，下列方法中无法消元的
2x−y=1②
是（ ）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
{3x+2y=7①
【变式5-3】用加减法解方程组 具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x
x+2y=−3②
{x=2
1
＝2；（3）把x＝2代入①，解得y= ；（4）∴这个方程组的解是 1．其中，开始出现错误的步
2 y=
2
骤是（ ）A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
{6x−5 y=3①
【变式5-4】（2022秋•小店区校级期末）关于x、y的二元一次方程组 ，小华用加减消
3x+ y=−15②
元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是 ．
{0.8x+0.7 y=3
【变式5-5】已知二元一次方程组 ，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘
−8x−2y=7
以 ，再将得到的方程与方程②两边相 ，即可消去 ．
a 2
【变式5-6】（2022秋•徐州期末）若 = ，且2a+b＝18，则a的值为 ．
b 5
【变式5-7】用加减法解下列方程组：
（1）{3x+7 y=9， （2）{ x−2=2(y−1)，
4x−7 y=5； 2(x−2)+(y−1)=5．
【变式5-8】用加减法解下列方程组：
{x+ y=5 { x−3 y=5
（1） ； （2） ；
x−y=3 4x−3 y=2x y 1
{ + =
（3）{ 8 y+5x=2 ； （4） 3 4 2 ．
4 y−3x=−10 x y 7
− =−
4 6 4
题型六 二元一次方程组的解的应用
{3x−y=10
【例题6】（2022秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组 的解，那么x﹣y的值
x−3 y=−2
是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
解题技巧提炼
求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤：
①把字母参数看作已知数并解方程组；
②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；
③解方程组求得字母参数.
{2x+ y=⋅ {x=5
【变式6-1】（2022秋•莲池区期末）小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了
2x−y=12 y=
⋆
两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4
{2x+5 y=−k+3
【变式6-2】（2022秋•和平区校级期末）已知方程组 的解满足5x﹣y＝4，则k的值
7x+4 y=3k−1
是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4{ ax+by=2
【变式6-3】（2022春•乐亭县期中）李明、王超两位同学同时解方程组 ，李明解对了，
mx−7 y=−9
{x=−2 {x=−2
得： ，王超抄错了m，得： ，则原方程组中a的值为 ．
y=3 y=−2
{2x+ y=3k−1，①
【变式6-4】若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＝1，求k的值．
x+2y=−2，②
{ 2ax−by=7， { 3
x= ，
【变式6-5】（2022春•宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组 4 3 的解为 2
ax+ by=−4，
3 2 y=2，
试求√a−4b的值．
{2x+5 y=−26 {3x−5 y=36
【变式6-6】已知关于x，y的方程组 和方程组 的解相同，求（2a+b）2020
ax−by=−4 bx+ay=−8
的值．
{ax−5 y=15① {x=−3
【变式6-7】已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看
4x−by=−2② y=−1
{x=5
错了方程②中的b得到方程组的解为 ，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
y=4
