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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.4 三元一次方程组
三元一次方程（组）的定义
知识点一
◆◆1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做
三元一次方程.
【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未
知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程．
◆◆2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且
一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1；
③ 方程组中一共有三个方程.
（2）三元一次方程组不一定都是由三个三元一次方程合在一起组成的，其中有的方程也可以是一元一次
方程或二元一次方程.
三元一次方程组的解法
知识点二
◆◆1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三
元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
◆◆2、解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数
的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．列三元一次方程组解简单的实
知识点二
际问题
◆◆列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组．
（4）解方程组：解方程组求出未知数的值.
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．题型一 三元一次方程组的识别
【例题1】下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
{ x+ y=1 { x2−4=0
A． B．
2y+z=−2 y+1=x
3 y=6 xy−z=−3
{
x=2 {y−x=−1
C． 2y=−3 D． x+z=3
x−z=1 2y−z=0
解题技巧提炼
三元一次方程组必须满足的条件：
①方程组含有三个未知数，即“三元”；
②每个方程中含未知数的项的次数都是1，即一次“”；
③方程中一共有三个整式方程.
特别提醒：（1）三元一次方程组含有三个未知数指的是方程组整体上含有三个
未知数，并不要求组成方程组的每一个方程中都必须含有三个未知数；
（2）不能把“含有未知数”的项的次数都是“1”，误以为是未知数的次数为
1.
【变式1-1】下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
{3x+5 y+z=−8 {x=5
A． x+ y+m=3 B． y=2
x−2y+z=21 z=3
{
x+ y=3
{
a+b=9
C． y+z=−1 D． 2d−ab=2
z+w=8 a−b+d=0【变式1-2】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
{
x=3 {x+ y=3
A． y=6 B． x+z=0
x+ y+z=0 y+z=1
{3x+2y+z=18
{
2xx+z=18
C． 4x−y+z=6 D． 4xyz=6
x+ y+2z=4 x−y−2z=4
【变式1-3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
3
{
x+z=2 { x− =4
{
x=9 {x+ y=8
y
A． xy+x=4 B． C． x−y=4 D． y−m=3
x+z=6
z−x=1 z−y=5 z−x=5
y−2z=7
题型二 解三元一次方程组
{
x−2y=−1
【例题2】（2021春•普陀区期末）解方程组： 2x+ y+z=5．
x−3 y−z=0
解题技巧提炼
解三元一次方程组时，消去哪个未知数都是可以的，得到的结果都一样，但我们
应通过观察方程组选择最为简便的解法，要根据方程组中各方程的特点，灵活地
确定消元步骤和方法，不要盲目消元.
{
x+ y+z=3①
【变式2-1】（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组 3x+2y+z=10②，如果消掉未知数z，
2x−y+z=−1③
则应对方程组变形为（ ）A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+②
C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
{
3x−y+z=4①
【变式2-2】（2021春•安居区期中）解方程组 2x+3 y−z=12②，以下解法不正确的是（ ）
x+ y−2z=3③
A．由①，②消去z，再由①，③消去z
B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y
D．由①，②消去z，再由①，③消去y
{x−y+z=−3，①
【变式2-3】解三元一次方程组 x+2y−z=1，②要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
x+ y=0，③
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
{x−y=1
【变式2-4】（2022春•青龙县期末）三元一次方程组 y−z=1的解是（ ）
x+z=6
{x=2 {x=2 {x=3 {x=4
A． y=3 B． y=4 C． y=2 D． y=3
z=4 z=3 z=4 z=2
【变式2-5】（2022春•海口期中）已知x+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，则xyz等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
{ax−by=−2 {x=3
【变式2-6】（2022春•绍兴期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，则方程
cx+dy=4 y=2
{ax−by+2a+b=−2
组 的解为（ ）
cx+dy−d=4−2c
{x=1 {x=1 {x=2 {x=2
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
【变式2-7】解下列三元一次方程组：{x+ y=7，
{
2x+2y+z=4，
（1） 2y+z=6， （2） 2x+ y+2z=7，
x−z=7； x+2y+2z=−6．
【变式2-8】解下列三元一次方程组：
{ x−4 y+z=−3 { x+z−3=0，
（1） 2x+ y−z=18， （2） 2x−y+2z=2，
x−y−z=7； x−y−z=−3．
【变式2-9】解下列三元一次方程组：
{3x−y+2z=3 {x：y=3：2
（1） 2x+ y−3z=11； （2） y：z=2：1
x+ y+z=12 x+ y+z=60
题型三 三元一次方程组---求解字母系数问题
【例题3】（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax2+bx+c，当x＝﹣1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为（ ）
A．4 B．8 C．62 D．52
解题技巧提炼
本题运用了“待定系数法”，将已知的x,y值代入，联立方程组求解即可.
【变式3-1】（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k
的值是（ ）
16
A．3 B．− C．﹣2 D．4
3
【变式3-2】（2022春•娄底期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x
＝2时，y＝12，则a+b+c＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式3-3】（2022春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x y＝ax+by+c，其中a，b，c均为
常数，且已知3 5＝15，4 7＝28，则2 3的值为（ ） ⊗
A．2 ⊗ B．4 ⊗ ⊗C．6 D．8
{x=a
{ x−by+4z=1
【变式3-4】（2022•南京模拟）若方程组 的解是 y=1，则a+b+6c的值是（ ）
x−2by+3z=3
z=c
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
{x+ y=3a
【变式3-5】已知方程组 y+z=5a的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值．
z+x=4a【变式3-6】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x
＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
题型四 三元一次方程组---求比值问题
{ x=3 y x
【例题4】（2022春•荣县校级期中）若 （y≠0），则 =（ ）
y+4z=0 z
6 1 1
A． B．− C．﹣12 D．
5 12 12
解题技巧提炼
若出现两个方程，三个未知数，则可将其中一个字母当作常数，然后解这个“二
元一次方程组”，再代入求比值即可.
{ x=3 y x
【变式4-1】（2022春•巴东县期末）已知 ，且y≠0，则 的值为（ ）
y+4z=0 z
3 3
A． B．− C．﹣12 D．12
4 4{3x+5 y+3z=0
【变式 4-2】（2021 春•蓬溪县期中）已知 （z≠0），则 x：y：z＝
3x−5 y−8z=0
．
x y z x−2y+3z
【变式4-3】设 = = ，则 的值为（ ）
2 3 4 x+ y+z
2 2 8 5
A． B． C． D．
7 3 9 7
2x+ y+z
【变式4-4】（2022秋•海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 =
2x−y+z
．
{4x−3 y−3z=0 x−3 y+4z
【变式4-5】已知x、y、z都不为零，且 ，求式子 的值．
2x−3 y+z=0 6 y+z
题型五 三元一次方程组与非负数的结合
【例题5】若|x﹣3y+5|+（3x+y﹣5）2+√x+ y−3z=0，求√x+ y+z的值．解题技巧提炼
根据绝对值和平方数的性质，即几个非负数的和为0，每个非负数的都为0，得
出三个等式联立方程组是解题的关键.
【变式5-1】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．
【变式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．
【变式5-3】已知（a﹣2b﹣4）2+（2b+c）2+|a﹣4b+c|＝0，求3a+b﹣c的值．
【变式5-4】已知|a﹣c﹣2|+√a−9b+（3b+3c﹣4）2＝0，求a2016b2015c2017﹣a的值．1 1
【变式5-5】若x，y，z满足关系式|4x﹣4y+1|+ √2y+z+（z− ）2＝0，求x2（y﹣z）的值．
5 2
【变式5-6】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．
题型六 列三元一次方程组解实际问题
【例题6】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的 2倍，百位上的数字的3倍等于个
位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．解题技巧提炼
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几
个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求
二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中
的优越性．
【变式6-1】（2022春•宜阳县期中）已知某个三角形的周长为 18cm，其中两条边的长度之和等于第三
1
条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的 ，求这个三角形三边的长度．
3
【变式6-2】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文
（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文 a，b，c，对应密文 a+1，﹣
a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【变式6-3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷
所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而
且投入的资金正好够用？
【变式6-4】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走 3km，
平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲
地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【变式6-5】（2022•南京模拟）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；
若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（ ）
A．105元 B．210元 C．170元 D．不能确定
【变式6-6】小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4
本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四
川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？题型七 求三元一次方程组特殊解问题
【例题7】（2022春•嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸
币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（ ）张
A．7 B．6 C．5 D．3
解题技巧提炼
求三元一次方程组的特殊解的方法：可类比求二元一次方程组特殊解的方法，
即在把方程组转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式之后，利用方程组特
殊解的特点，尽量缩小未知数的取值范围，然后再通过具体计算得到方程组的特
殊解.
【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有 A，
B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量/升 2 3 4
盒子单价/元 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个
盒子要装满材料．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为
.（写出一种即可）【变式7-2】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，
出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视
机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方
案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．
【变式7-3】（2022春•内江期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾
区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能
通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
．
