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8.4三元一次方程组的解法
考点一、三元一次方程概念
方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是
1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。
考点二：解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使
三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方
程。
题型一：三元一次方程组的解方法
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）解三元一次方程组 ，如果消掉未知
数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，
②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】 得：
得：
方程组变形为 ，刚好消去z
故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）已知方程组 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三个方程相加计算即可．【详解】因为 ，
将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，
解得 =2，
故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程组 的解 ， 使
成立，则 的值是( )
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到
，解方程即可得到m的值．
【详解】解：由题意可知， ①， ②，
由①+②并化简，可得 ，
由②×2-①并化简，可得 ，
将 ， 的值代入 ，可解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代
入消元法．
题型二：三元一次方程组的解
4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）解方程组
(1)
(2)
(3)【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简二元一次方程组，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）用加减消元法解三元一次方程即可．
【详解】（1）解： ，
得： ，解得： ，
把 代入① ，解得： ，
∴原方程组解为： ．
（2）解：
原方程组可变为 ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为： ．
（3）解： ，
得： ，
得： ，把 代入 得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次或三元一次方程组，熟练掌握加减消元法的一般步骤，
准确进行计算，是解题的关键，
5．（2022秋·八年级课时练习）解方程组
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理方程组，再用加减消元法解方程组即可；
（3）先消去 再消去 得到 ，最后代入求其他未知数即可．
【详解】（1）解：
+②得：
解得：
把 代入 ：
∴方程组的解为 ；（2）解：原方程组整理得
②得：
解得：
把 代入 ：
∴方程组的解为 ；
（3）解：
得：
得：
把 代入 ：
把 ， 代入 ：
∴方程组的解为
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，关键是掌握加减消元法．
6．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化
难为易．
例：已知 ，求 的值．
解：① 得： ③
② ③得：
∴ 的值为2．
(1)已知 ，求 的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购
买 本笔记本、 支签字笔、 支记号笔需要 元．通过还价，班委购买了 本笔记
本、 支签字笔、 支记号笔，只花了 元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)
(2)节省了 元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求
出按照原价 本笔记本、 支签字笔、 支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1） ，
① ②得： ，
则 ；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得： ，
∴ ，
（元），
则比原价购买节省了 元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题
意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
题型三：三元一次方程组的应用
7．（2019秋·八年级单元测试）如果方程组 的解中的x与y的值相等，那
么a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．
【详解】解：根据题意得 ，
把③代入①得：3y+7y＝10，解得y=1
把y=1代入③得x=1
解得：y＝1，x＝1，
代入②得：a+（a﹣1）＝5，
解得：a＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是熟知代入消元法解方程．
8．（2019秋·陕西西安·八年级校考期末）若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，则x+y+z的值等
于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
【答案】B【分析】两方程的两边分别相加，即可得出7x+7y+7z＝7，再两边除以7即可．
【详解】由题意得：
①+②得：7x+7y+7z＝7，
即x+y+z＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是学会利用整体的思想思考问题，属于
中考常考题型.
9．（2018秋·广东深圳·八年级统考期中）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由 ，①-②×4，得出y与z的关系式，①×2+②×3，得出x与z
的关系式，从而算出 的值即可．
【详解】解：
①-②×4得：y=2z
①×2+②×3得：x=3z
∴
故选A
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有z的代数式分别表示y与x是解此题
的关键．
题型四：三元一次方程组的实际问题
10．（2021秋·全国·八年级专题练习）一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他
们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和
的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根
据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年
前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可．
【详解】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子
女，则，
解得
这对夫妇共有3个子女．
故选C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并解方程组是解题的关
键．
11．（2022秋·山东济南·八年级校考期中）某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付
甲、乙两队共 元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共 元；甲、
丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
(2)若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说
明理由．
【答案】(1)
(2)由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【分析】（1）设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各 天，根据题意列出方程组，
解方程组即可求解；
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为 元，根据题意列出方程组，解方程组，进而
求得答案．
【详解】（1）解：设甲、乙、丙各队单独完成全部工程各 天，根据题意可知
解得：
（2）设每天应支付甲、乙、丙分别为 元．．
解之得∶ ．
因为工期要求不超过20天完成全部工程，
由(1)知可选甲或乙．
甲的费用为 ，
乙的费用为 ．
答∶由甲队单独完成此项工程花钱最少．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、
乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、
丙两队合作5天完成全部工程的 ，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
【答案】（1）甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．；（2）由
乙队单独完成此工程花钱最少．
【分析】（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则甲、
乙、丙的工作效率分别是 、 、 ，列分式方程组求解；
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，用每天
应付的费用×完成任务天数=共付费用，列方程组求 、 、 ，再根据工期的规定及花费
最少答题．
【详解】解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，
则 ，解得 ，∴ ．
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天，15天，30天．
（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则
，解得 ．∵ （元）， （元）．
答：由乙队单独完成此工程花钱最少．
【点睛】本题考查三元一次方程组的工程问题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列方程组求解是解题的关键．
一、单选题
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，
前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设■ ，▲ ，● ，由题可得 ，则可求解．
【详解】解：设■ ，▲ ，● ，
，
，
又 ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解
题关键．
14．（2022秋·八年级课时练习）购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元；购买铅
笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元，则购买铅笔 支，作业本 本，圆珠笔 支共
需（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】B
【分析】设铅笔的单价是 元，作业本的单价是 元，圆珠笔的单价是 元．购买铅笔支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元，然后根据题意列方程组求出 的值即可果．
【详解】解：设铅笔的单价是 元，作业本的单价是 元，圆珠笔的单价是 元．购买铅笔
支，作业本 本，圆珠笔 支共需 元．
则由题意得
由 得
由 得
由 得
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解答本题的关键是列出方程组以及用加减消元法
求出方程组的解．
15．（2022秋·八年级课时练习）已知 是方程组 的解，则 的值为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把 代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，
把 代入方程组，得 ，
由①+②+③，得 ，
∴ ；
故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方
法进行计算
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）我们探究得方程 的正整数解只有1组，方
程 的正整数解只有2组，方程 的正整数解只有3组，……，那么方程
的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、
3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，
t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组
……，
t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知
数看作一个整体，再分别计算．
17．（2022秋·八年级单元测试）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章
中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组 ，将其中数字排
成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地
减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类
似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解．
【详解】解：
由②×3，得
6x+9y+3z=102④，
由④-①，得
3x+7y+2z=63⑤，
由⑤-①，得
5y+z=24，
∴a=24，
由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，
由⑥-①，得
4y+8z=39，
∴b=4，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图
一一对应．
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x，y，z满足 ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出 、 ，后代入式子中进行
计算即可解答．
【详解】解： ，
由①+②得： ，
∴ ③，
将③代入①，得 ，
解得： ，
∴
=
=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方
法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
19．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费
者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多
接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙
耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口
优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接
口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的
成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）元．
A．135 B．155 C．185 D．225
【答案】B
【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个
多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22−2−3−1−1−3−2＝10（个），
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数
量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘 （个），蓝牙耳机有 （个），迷你音箱有
10−5−3＝2（个），
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知：
，
∵①×2−②得： ，
②×2−①×3得： ，
∴C盒的成本为： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的
价格是解题的关键．
20．（2022秋·八年级课时练习）《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱 ．
甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十 ．”乙复语甲、丙：“各将公等所持
钱半以益我，钱成七十 ．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十
六 ．”若设甲、乙各持钱数为x、y，则丙持钱数不可以表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设丙的钱数为z，根据丙语列方程 ，根据甲语列方程 ，
根据乙语列方程 ，然后用含x、y的代数式表示z即可 ．
【详解】解：设丙的钱数为z，
根据丙语得： 整理得 ，故选项A不合题意；
根据甲语得： 整理得 ，故选项B不合题意；
根据乙语得： 整理得 ，故选项C符合题意，选项D不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用
含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．
21．（2022秋·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先整理原方程，然后利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：整理得：
得： ，解得 ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ；
（2）解：
得 ，即 ④，
得 ，即 ⑤，
得 ，解得 ，把 代入④得 ，解得 ，
把 ， 代入①得 ，解得 ，
∴方程组的解为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，求平方根的方法解方程，
熟知相关解法是解题的关键．
22．（2022秋·八年级课时练习）在等式 中，当 时， ；当 时，
：当 时， ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求当 时， 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设条件，得到关于 ， ， 的三元一次方程组，利用加减消元法解
之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于 和 的等式，把 代入，计算求值即可．
【详解】（1）根据题意得： ，
①＋②得： ④
③＋②×2得： ⑤，
⑤－④得： ，
把 代入④得： ，
解得： ，
把 ， 代入①得： ，
解得： ，方程组的解为： ；
（2）根据题意得： ，
把 代入得： ，
即 的值为 ．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）
正确掌握代入法．
23．（2022秋·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．
（1）解方程组
解：（1）把 代入 得： 解 （2）已知 ，求
的值．
得： ．
解：（2） 得：
把 代入 得： ．
得；
所以方程组的解为
【类比迁移】（1）若 ，则 ______．
（2）运用整体代入的方法解方程组 ．
【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物
资，已知打折前购买 瓶消毒液、 支测温枪、 套防护服共需 元；打折后购买
瓶消毒液、 支测温枪、 套防护服共需 元，比不打折时少花了多少钱？
【答案】（1）23；（2） ；（3）比不打折时少花了 元
【分析】（1）求 即可；
（2）将 看作一个整体进行分析计算即可；
（3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求．
【详解】解：（1） ，得： ．
故答案为： ；
（2）由 可得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
将 代入③中的， ，
解得： ，
方程组的解为 ；
（3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为 元， 元， 元，
打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为 元， 元， 元，
则 、 、 分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱，
由题意可得，
，
， 得：
，
得：
，
左右两边乘 得，
，
比不打折时少花了 元．
【点睛】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键．
一、单选题
24．（2022秋·八年级课时练习）利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首
先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的
高度是（ ）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【答案】D
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立
关于h，x，y的方程组求解．
【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，
解得：h=76cm．
故选 D．
【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的
意思，找出图中所表示的等量关系．
25．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x、y的方程组 的解满足2x﹣y＝
2k，则k的值为（ ）
A．k B．k C．k D．k
【答案】A
【分析】根据 得出 ， ，然后代入 中即可求解．
【详解】解： ，
①+②得 ，
∴ ③，
①﹣③得： ，
②﹣③得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出 的代数式是解题的关键．
26．（2022秋·八年级课时练习）解方程组 ，把上面的三元一次方程组
消元转化成下面的二元一次方程组 ，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步
骤（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对各选项进行分析后即可判断．
【详解】A选项： 得 ， 得 ，故正确；
B选项： 得 ， 得 ，故错误；
C选项： 得 ， 得 ，故错误；
D选项： 得 ， 得 ，故错误.
故选：A.
【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
27．（2019秋·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比
十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么
原来的三位数是（ ）
A．215 B．216 C．217 D．218
【答案】C
【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示
为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即
得．
【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，
根据题意得： ，
解得： ，所以，原来的三位数字是217．
故选C．【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位
数的表示方法，根据题意列出方程组.
28．（2019·八年级课时练习）若 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可.
【详解】解：由 ，可得
解得 则 .
故选A.
【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性以及解三元一次方程组，利用加减消元法或代入
消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键．
二、填空题
29．（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的
A种商品a件和单价为59元的B种商品b件 ，找回了几张10元和几张1元的钞票
（都不超过9张，超过就补大面额的了）.小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细
算了一遍，发现问题是把两种商品的单价弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票
张数也恰好相反.问小王购买了______件B种商品.
【答案】12
【分析】设买A种商品a个，B种商品b个，找回10元的m张，1元的n张，根据已知条
件列出方程组，再根据等式讨论它们的取值情况即可求解．
【详解】解：设第一次找回了10元的m张， 1元的n张， ， 且m、n为
整数，
根据题意得
由 得： ，
，
，
， ，，
，
，
， ， ，
代入①得：
，
解得 ，
故小王购买了12件B种商品，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了多元一次方程组的应用，解本题的关键是根据已知写出其中的等量关
系，再根据取值范围求解．
30．（2023秋·山东枣庄·八年级校考期末）若 ，那么代数式
______．
【答案】
【分析】根据方程组的特点由 ，得 ，进而即可求解．
【详解】根据题意，得
由 ，得
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
31．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）近日，九龙坡区为积极应对
复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二（2022）连三（2023）·向新而
行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，向市场推出甲、乙、丙
三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖果与每包丙糖
果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销
售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的
25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为______．
【答案】3：2
【分析】设乙、丙两种糖果的成本分别为x， ，表示出三种糖果的售价，设12月份销售
甲糖果与丙糖果的数量分别为 和 ，乙糖果的数量为z，根据三种糖果的总利润是总成
本的25%，列出方程，化简得到 ，从而求出 即可．
【详解】解：设乙、丙两种糖果的成本分别为x， ，则甲糖果的成本为： ，则甲、乙、丙糖果的售价分别 ， ， ，
设12月份销售甲糖果与丙糖果的数量分别为 和 ，乙糖果的数量为z，
∴ ，
化简得： ，即 ，
∴12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ，
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
32．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精
灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly
公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森
林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2
个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫
色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒
的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，
总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是______万元．
【答案】
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，分别
表示出两种盲盒的成本和售价，设当天销售“森林精灵”， “潘神神话”两种盲盒的数量
分别为m个，n个，根据这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，列得方程即
可求出答案．
【详解】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为： 元，“潘神神话”盲盒的成本为
元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为 （元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为 元，
设当天销售“森林精灵”， “潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为 ①，∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为 （元），
∴ ②，
联立①②可得 ，
∴“森林精灵”盲盒的总利润为 （万元），
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的
关系，解题关系是设出相关未知数，列出方程．
33．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）某超市销售水果
时，将 、 、 三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别
为箱中 三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装 、 、 三
种水果 ， ， ，乙种方式每箱分别装 、 、 三种水果 ， ， ．甲
每箱的总成本是每千克 成本的 倍，每箱甲的销售利润率为 ，每箱甲比每箱乙的售
价低 ，丙每箱在成本上提高 标价后，打九折销售获利为每千克 成本的 倍，
当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为 时，则销售的总利润率为______．
【答案】
【分析】分别设每千克 、 、 三种水果的成本为 、 、 ，设丙每箱成本为 ，然后
根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用 表示出来即可求解．
【详解】解：设每千克 、 、 三种水果的成本分别为 、 、 ，依题意得：
，
，
每箱甲的销售利润=
乙种方式每箱成本= ，
乙种方式每箱售价= ，
每箱乙的销售利润= ，
设丙每箱成本为 ，依题意得： ，
解得 ．
当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为 时，
总成本为： ，
总利润为： ，
销售的总利润率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
34．（2022秋·重庆江北·八年级校考期末）某生鲜店推出了 、 、 三类蔬菜包以方便
居家生活的市民购买， 、 、 三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，
每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋 蔬菜包有 公斤萝
卜、 公斤白菜、 公斤洋葱；每袋 蔬菜包有 公斤萝卜、 公斤白菜、 公斤洋葱．已
知每袋 的成本是该袋中萝卜成本的 倍，利润率为 ％，每袋 的成本是其售价的 ，
每袋 的利润是每袋 利润的 ．若该生鲜店 月 日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数
之比为 ，则当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为
______．
【答案】
【分析】设萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜的成本分别为 、 、 ，得出每袋 的利润为
，设 的成本为 ，利润为 ，得出 ，进而计算出总成本与总利润，求比值
即可求解．
【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜的成本分别为 、 、 ，
则
每袋 的成本是 ，利润率为 %，
每袋 的利润为 ，售价为 （ %） ，
每袋 的利润是每袋 利润的 ，
的利润是 ，
成本为 ，
设 的成本为 ，利润为 ，
每袋 的成本是其售价的 ，
，
该生鲜店 月 日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数之比为 ，
当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润为 ，
总成本为： ，，
当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意分别求得 、 、 三种蔬菜包的
总利润与总成本是解题的关键．
35．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）在关于 、 、 的方程组 ，
中，已知 ，那么 、 、 从小到大的排列顺序应该是_____．
【答案】
【分析】利用方程之间的减法运算，再利用已知 得出 和 的大小即可．
【详解】 ，
得， ， ，
，
得： ， ，
，
从小到大的排列顺序应该是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三元一次方程组，利用方程之间的差得出 ， ， 间的大小关系．
三、解答题
36．（2022秋·八年级课时练习）例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林
芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支
水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文
本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，
练习本的价格．
【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，
解答时找准等量关系建立方程是关键．
37．（2022秋·八年级课时练习）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一
个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足
， ，求 和 的值．本题常规思路是将 ①，
②联立组成方程组，解得 、 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路
计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形
整体求得代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2可得 ．这样的
解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅
笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多
少元？
【答案】(1)－1；3
(2)见解析
(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元
【分析】（1）①－②可求出 ， 可求出 ；
（2）证明 为定值即可；
（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想
求出 即可．【详解】（1）解：
①－②得： ，
得： ，
等式两边同时除以3得： ，
故答案为：－1；3．
（2）证明：
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
因此不论a取什么实数， 的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得： ，
等式两边同时乘以2得： ，
得： ，
故 ，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解
题的关键．
38．（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不
同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设
计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进
货方案．
【答案】（1）有两种方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；（2）有4种方案，具
体方案详见解析
【分析】设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不
同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可；
（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求
解即可．
【详解】解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．
（1）①若选甲、乙两种型号，则 ，
解得 ，
② 若选甲、丙两种型号，则 ，
解得 ，
③若选乙、丙两种型号，则 ，
解得 ，不合题意，舍去．
答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；
②甲：56，丙：4；
（2）根据题意得 ，
∵x、y、z均为正整数，
∴方程组的正整数解有四组，
或 或 或 ，
综上所述，共有四种进货方案：
方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；
方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；
方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；
方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的正整数解．解题关键是根
据题意列出方程组，解出方程后检验方程组的解是否符合实际问题的意义．
39．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于一个三位数 ,如果 满足：
它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 ,那么称这个数 为“幸福数”．例如：
, , 是“幸福数”； , , 不是“幸福数”．
（1）判断 , 是否为“幸福数”？并说明理由；（2）若将一个“幸福数” 的个位数的 倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十
位数变成百位数,得到一个新的三位数 （例如：若 ,则 ）,若 也是一个“幸福
数”,求满足条件的所有 的值．
【答案】（1） 是“幸福数”, 不是“幸福数”,见解析;（2）满足条件的所有 的值
为: ,
【分析】根据题意可知:（1）要判断一个数是否是“幸福数”,首先要看 是否满足：它的
百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于 ,即可得出答案．（2）若新的三位数 是
“幸福数”,需要先设设这个“幸福数” ,则 （ , , ,
且 , , 为整数）,根据 , , 的取值可得出答案．
【详解】解：（1） 是“幸福数”, 不是“幸福数”
,
是“幸福数”；
,
不是“幸福数”
是“幸福数”, 不是“幸福数”．
（2）设这个“幸福数” ,则 （ , , ,且 , , 为整
数）
根据题意得:
解得：
,且 为整数,
或
满足条件的所有 的值为: , ．
【点睛】本题主要考查了实数的加减运算,解三元一次方程组以及学生的运算能力,解题的关
键是熟练掌握实数的加减运算法则,三元一次方程组的的解法．
40．（2022秋·八年级单元测试）对于有理数 ， ，定义新运算： ，
，其中 ， 是常数．已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；（3）若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的解．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据新运算法则及已知条件列出关于a、b的二元一次方程组即可得到解答；
（2）由题意可得关于x、y、m的三元一次方程组，利用消元法消去x、y即可得到m的值；
（3）令 ，则由题意可得 ，从而可以求得原方程
组的解 ．
【详解】解：（1）由题意可得：
解得 ；
（2）由题意可得：
①+②并整理得：x=m+1，
②-①并整理得：y=3m-2，
把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4，
∴m=1；
（3） 解为
对
令 ，∴
∴
∴① ，即
② ，即
【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题
关键．
