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第八章 二元一次方程组压轴题考点训练
1．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 变形为 ，再设-3x+1=x’，-2y=y’，
列出方程组，再得其解即可．
【详解】解：将 变形为 ,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为： ，
因为方程组 的解是 ，
所以 ，解得： ，
所以方程组 的解是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组
的关系是解题的关键．
2．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个
人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人
防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6
元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据
小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，
根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整
数解即可．
【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题
意可得：，
解得 ，
，A，B两种型号的医用外科口罩都买，
，
所有购买方案为 ， ， ，
有3种购买方案，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解
题的关键．
3．方程组 中，若未知数x、y满足x-y>0，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m＜-1
【答案】B
【详解】解方程组 得 ，
∵x、y满足x-y>0，
∴ ，
∴3－3m>0,
∴m<1.
故选B.
4．设 ， ，…， 是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若 + +…+ =69，
，则 ， ，…， 中为0的个数是（ ）
A．173 B．888 C．957 D．69
【答案】A
【详解】解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2=a12+a22+…+a20182+2（a1+a2+…
+a2018）+2018
=a12+a22+…+a20142+2×69+2018
=a12+a22+…+a20142+2156，
设有x个1，y个-1，z个0∴
化简得x-y=69，x+y=1845，
解得x=888，y=957，z=173，
∴有888个1，957个-1，173个0，
故答案为173．
5．“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”
大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每
个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍 间，小圈舍 间，则 求得的结
果有___________种．
【答案】3
【分析】根据题意，得 ，整理得 ，根据x，y都是整数，讨论求解即
可．
【详解】设所需大圈舍x间，小圈舍y间，
根据题意，得 ，
整理得 ，
所以 ，
因为x，y都是整数，
所以 ，
解得 ，
所以x的值可能是1，2，3，4，5，6，
因为 是整数，所以 一定也是偶数，
故x的值为2，4，6，y对应的值为7，4，1，
故 的值有3种可能，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的解题方法是解题的关
键．
6．已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是_______．
【答案】
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解是 ，
∴将第二个方程组的两个方程的两边都除以9，得：
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了方程组的解，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．
7．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你
到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是______岁．
【答案】29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的
年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄 ；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄
−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得： ，
解得： ，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
8．甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解
为 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 则 的值为
________.【答案】0
【分析】根据方程组的解的定义，解 应满足方程 ，解 应满足方程 ，将
它们分别代入方程 ， ，就可得到关于 ， 的二元一次方程组，解得 ， 的值，代
入代数式即可．
【详解】甲看错了①式中 的系数 ，解得 ，但满足 式的解，所以 ，
解得 ；
同理乙看错了 式中 的系数 ，解 满足 式的解，所以 ，解得 ．
把 ， 代入 ，
∴ .
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义、解二元一次方程组的基本方法以及乘
方的运算．
9． 年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅
底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品
种类分为A、 、 三类，三个品类成本价分别是 元， 元， 元．且A类和 类火
锅的标价一样，该店对这三个品类全部打 折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能
获得 的利润，此时A品类利润率为 ．若A、 、 三类销量之比是 ，则火锅
店销售A、 、 类便利火锅包的总利润率为_______．（利润率 ）
【答案】
【分析】可设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，根据所给的条件可列出三元一
次方程组，解方程组得出相应的x，y的值，从而可求解．
【详解】解：设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，依题意得：
，
解得： ，
故B类的利润率为： ，C类的利润率为： ，
当A、B、C三类销量之比是 ，则火锅店销售A、B、C类便利火锅包的总利润率为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系
列出方程组．
10．已知 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】用 将 表示出来，代入式子，求解即可．
【详解】解：联立 ， 可得
，即 ，解得
将 代入 可得
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用 将 表示出来，并
代入代数式求解．
11．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工
具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B
型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购
买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，
在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是
多少元？
【答案】(1) 、 两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
(2)方案一：购买2辆 型汽车，购买13辆 型汽车；方案二：购买4辆 型汽车，购买8
辆 型汽车；方案三：购买6辆 型汽车，购买3辆 型汽车；
(3)购买2辆 型汽车，购买13辆 型汽车获利最大，最大值为94000元．
【分析】（1）根据2辆 型汽车、3辆 型汽车的进价共计80万元；3辆 型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车
（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最
大利润．
【详解】（1）解：设 种型号的汽车每辆进价为 万元， 种型号的汽车每辆进价为 万
元，
由题意可得 ，
解得 ，
答： 、 两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）解：设购买 型号的汽车 辆， 种型号的汽车 辆，
由题意可得 且 ， ，解得 或 或 ，
该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆 型汽车，购买13辆 型汽车；
方案二：购买4辆 型汽车，购买8辆 型汽车；
方案三：购买6辆 型汽车，购买3辆 型汽车；
（3）解：当 ， 时，获得的利润为： （元），
当 ， 时，获得的利润为： （元），
当 ， 时，获得的利润为： （元），由上可得，最大利润为
94000元，
购买2辆 型汽车，购买13辆 型汽车获利最大，最大值为94000元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，
列出相应的方程组．
12．我们知道，数轴上表示数a的点A和表示数b的点B之间的距离AB可以用 来表
示．例如： 表示5和1在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)在数轴上，A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足 ，则
________， ________，A、B两点之间的距离为________．
(2)点M在数轴上，且表示的数为m，且 ，求m的值．
(3)若点M、N在数轴上，且分别表示数m和n，且满足 ，
，求M、N两点的距离．
【答案】(1)-1，4，5(2) 或
(3)4045
【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出 值，运用数轴上两点之间的距离公
式进行计算即可；
（2）根据题意可知在数轴上 的几何意义是：表示有理数 的点到 及到
的距离之和为 ；然后分 时、 时、 时分别化简绝对值，解方程即可；
（3）根据题意可得 ， ，然后分情况讨论即可得出
答案．
【详解】（1）解： ，
，
解得： ，
A、B两点之间的距离为 ，
故答案为：-1，4，5；
（2）在数轴上 的几何意义是：
表示有理数 的点到 及到 的距离之和为 ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
无解，故此种情况不存在；
当 时， ，
解得： ；
综上所述： 或 ；
（3） ， ，
， ，
， ，
若 ，解得 ，
此时M、N两点的距离为 ；
若 ，此方程无解；
若 ，此方程无解；若 ，解得 ，
此时 ，不符合题意；
综上所述：M、N两点的距离为 ．
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及数轴上两点之间的距离，根据绝对值的性质得出相
应的方程是解本题的关键．
13．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未
知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 ， ，求
和 的值．本题常规思路是将 ①， ②联立组成方程组，解
得 、 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以
仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－
②可得 ，由①＋②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体
思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅
笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多
少元？
【答案】(1)－1；3
(2)见解析
(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元
【分析】（1）①－②可求出 ， 可求出 ；
（2）证明 为定值即可；
（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想
求出 即可．
【详解】（1）解：
①－②得： ，
得： ，
等式两边同时除以3得： ，
故答案为：－1；3．（2）证明：
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
因此不论a取什么实数， 的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得： ，
等式两边同时乘以2得： ，
得： ，
故 ，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解
题的关键．
14．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个
数为“阶梯数”．若s，t都是“阶梯数”，将组成s的各数位上的数字中最大数字作为十
位数字，组成t的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m叫做s，
t的“萌数”，将组成s的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t的各数位上的
数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n叫做s，t的“曲数”，记F（s，t）＝
2m＋n．
例如：因为2﹣1＝1，6﹣1＝5，所以211和654都是“阶梯数”，211和654的“萌数”m
＝24，“曲数”n＝16，F（211，654）＝2×24＋16＝64.
(1)判断435 （填“是”或“否”）为“阶梯数”；
(2)若s＝ ，t＝ （其中2≤a＜5，6≤b＜9，且a，b都是整数），且F（s，t）
=167，求满足条件的s、t的值；
(3)若p、q都是“阶梯数”，其中p＝100x＋10y＋3，q＝200＋10a＋b（其中2≤x≤3，
1≤y≤8，2≤b≤8且a，b，x，y都是整数），当F（p，132）＋F（q，824）＝157时，求F
（p，q）的值．
【答案】(1)是
(2)436，765
(3)75【分析】（1）按照阶梯数的定义求解，即4−3=1，可知435是 “阶梯数”；
（2）由题意知组成s的三个数中最大的为6，最小的为(a−1)，组成t的三个数中最大的为
(b+1)，最小的为5，故有F(s，t)中m=65，n=10(a−1)+(b+1)，F(s，t)=2×65+10(a−1)+
(b+1)=167，解得10a+b=46，由a，b的取值范围可得满足条件的a，b的值，进而表示出
s、t即可；
（3）根据定义、p，q的形式、x，y，a，b的取值范围，表示组成p的三个数中最大与最
小的的数，组成q的三个数中最大与最小的数，根据定义求解F(p，132)，F(q，824)，求
解得到x+2b=8，根据取值范围，最终确定x，b的值，进而得到p，q，然后计算F(p，q)的
值即可．
【解析】(1)
解：∵4−3=1，
∴435是 “阶梯数”．
故答案为：是；
(2)
解：∵ ，
∴组成s的三个数中最大的为6，最小的为 ．
∵ ，
∴组成t的三个数中最大的为 ，最小的为5．
∴ 中， ， ，
∴ ，
整理得： ．
∵ ， ，且都为整数，
∴由a，b的取值范围可得 ，
∴满足条件的s、t的值分别为：436，765；
(3)
解：由题意知 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴组成p的三个数中最大的为3，最小的为 ．
∵ ，
∴组成q的三个数中最大的为b，最小的为1，
∵132中最大的为3，最小的为1，
824中最大的为8，最小的为2，
∴F(p，132)中， ；F(q，824)中， ，∴F(p，132) ；F(q，824)
∴F(p，132)+F(q，824) ，
解得： ，
∵ ， ，且都为整数，
故可分类讨论：①当x=2时，代入 中，得： ，
解得：b=3；
②将x=3时，代入 中，得 ，
解得： （舍）
∴ ，
∴p为213，组成p的三个数中最大的为3，最小的为1，
q为213，组成q的三个数中最大的为3，最小的为1，
∴F(213，213)中m=31，n=13，
∴F(213，213) ，
即F(p，q)的值为75．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算．解题的关键在于理解题意．
15．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问
一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五
号”模型的售价是100元．
(1)若8月份销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个，销售两种模
型的总销售额为56000元，求销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是多少？
(2)该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一
号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加 a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在
8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加 a%．
①用含有a的代数式填表（不需化简）：
9月份的售价（元） 9月份销量
“天问一号”
90
模型
“嫦娥五号”
模型
②据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加 a%，求a的值．
【答案】(1)销售天问一号模型和嫦娥五号模型的数量各是400个与200个(2)①100(1- a%)；400（1+ a%）；200（1+ a%）；②10
【分析】（1）首先设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根
据销售“天问一号”模型的数量比“嫦娥五号”模型数量多200个可列出方程 ，
由销售两种模型的总销售额为56000元可列出方程 ，把这两个方程组成
一个二元一次方程组，解这个方程组即可得到本题答案；
（2）①由9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加 a%，
可得9月份“天问一号”模型的销量为400（1+ a%）个；“嫦娥五号”模型的售价在8
月份的基础上降价a%，，销量比8月份增加 a%，可得“嫦娥五号”模型的销量为200
（1+ a%）个，可得“嫦娥五号”模型的售价为100(1- a%)；②根据该店在9月份的销售
总额比8月份的销售总额增加 a%，可得90×400（1+ a%）+100（1﹣a%）×200（1+
a%）＝（90×400+100×200）（1+ a%），计算即可得出a的值．
【详解】（1）解：设销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各x个，y个，根
据题得：
，解得： ，
答：销售“天问一号”模型和“嫦娥五号”模型的数量各是400个与200个。
（2）解：①∵9月份，“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a% ,“天问一号”模
型的销量比8月份增加 a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加 a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+ a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200
（1+ a%）个．
故答案为：100(1- a%)；400（1+ a%）；200（1+ a%）．
②依题意得：90×400（1+ a%）+100（1﹣a%）×200（1+ a%）＝（90×400+100×200）
（1+ a%），
整理得：3a2﹣30a＝0，解得：a＝10，a＝0（不合题意，舍去）．
1 2答：a的值为10．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识．
