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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.1&8.2 二元一次方程组及其解法
二元一次方程
知识点一
◆二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方
程叫做二元一次方程.
◆二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未
知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二元一次方程的解
知识点二
◆二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成对出现的两个数，一般要用大括号括起来.
2、在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元
一次方程有无数个解.
二元一次方程组
知识点三
◆二元一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个
方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
【注意】1、二元一次方程组需满足三个条件：① 2个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程
的左右两边都是整式.
2、二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其
中有的方程也可以是一元一次方程.
二元一次方程组的解
知识点四
◆1、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组
的解.◆2、只要告诉一组值是某个二元一次方程组的解，就说明这组值是这个方程组中每个方程的解．
◆3、方程组中的某个方程的解不一定是这个方程组的解，因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程
组的解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程中进行检验．
代入消元法
知识点五
◆1、消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
◆2、代入法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另
一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
◆3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示
出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
加减消元法
知识点六
◆1、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
◆2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的
两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
{x=a
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
y=b题型一 二元一次方程的概念
二元一次方程的概念
【例题1】（2022春•南湖区校级期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
1
A．x﹣2y＝z B．x+y＝2 C． +4y＝6 D．x2﹣x＝0
x
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式
方程叫做二元一次方程，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A．x﹣2y＝z，三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B．x+y＝2，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；
1
C． +4y＝6，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
x
D．x2﹣x＝0，次数不为1，故该选项不正确，不符合题意．
故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．
解题技巧提炼
判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方
程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条
件的都不叫二元一次方程．
【变式1-1】（2022秋•宁明县期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．2x+3y＝5 B．xy＝1
1 2
C．2(m−5)= m−2 D．1− =n
4 3m
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得答案．
【解答】解：A、此方程符合二元一次方程的条件，故此选项符合题意；
B、此方程是二元二次方程的条件，故此选项不符合题意；
C、此方程是一元一次方程的条件，故此选项不符合题意；
D、此方程不符合二元一次方程的条件，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）已知方程ax+y＝3x﹣1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的
条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠﹣1 C．a≠3 D．a≠﹣3
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：方程整理得（a﹣3）x+y+1＝0，
由题意得：a﹣3≠0，即a≠3，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练掌握含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整
式方程是二元一次方程．
【变式1-3】（2022秋•凤翔县期末）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝±1 D．m＝2
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整
式方程，要注意未知项的系数不等于0．
【变式1-4】（2022•南京模拟）已知关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n
的值为（ ）
1 4 1 4
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m= ，n=− D．m=− ，n=
3 3 3 3
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是关于x、y二元一次方程，
{2m−n−2=1
∴ ，
m+n+1=1
{m=1
解得： ，故A正确．
n=−1
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组是解题的关键．
【变式1-5】（2023•北碚区校级开学）方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣2n的
值为 ．
【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵方程2xm﹣1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，
∴m﹣1＝1，2n﹣1＝1，
∴m＝2，n＝1，
∴m﹣2n＝2﹣2×1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，
这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•南开区校级期末）方程（m﹣2）x﹣y|m﹣3|＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝ ．
【分析】根据二元一次方程的定义计算即可．
【解答】解：根据题意得：|m﹣3|＝1且m﹣2≠0，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，
并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，注意x前面的系数不等于0．
【变式1-7】（2022•江北区开学）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试
问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为
0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
{k2−4=0
① k+2=0 ，解得k＝﹣2；
k−6≠0
{k2−4=0
② k+2≠0 ，无解，
k−6=0
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
{k2−4=0
（2）根据二元一次方程的定义可知 k+2≠0 ，解得k＝2，
k−6≠0
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．
题型二 二元一次方程组的概念【例题2】（2022春•上蔡县期中）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
{x+ y=5
{x+ y=3
A． B． 1
z+x=5 =x
y
{x= y+11
{ x+ y=5
C． D． y+1
x2+ y=12 2x=
2
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点解答．二元一次方程组的基本形式及特点：①方程组中
的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．
【解答】解：A、该方程组有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意；
B、该方程组中的第二个方程分母含有未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组中的第二个方程的最高次数2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特
点．
解题技巧提炼
本题运用定义法解题，在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其
次看含未知数的项的次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
【变式2-1】（2023•金水区开学）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
{x2+3 y=1 { xy=2
A． B．
2x−y=4 x+2y=5
{m+3n=10 {a−b=6
C． D．
5m−2n=1 b+c=3
【分析】根据二元一次方程组的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A．该方程组中第一个方程的未知数x的次数是2次，故不是二元一次方程组，故本选项不
符合题意；
B．方程xy＝2是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C．该方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方
程，叫二元一次方程组”是解决问题的关键．
【变式2-2】（2022春•宁远县月考）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
{y=3x {3x+2y=8
A． B．
xy=5 2x= y
{x+5 y=10
{2+7 y=12x
C． 1 D．
5x= 2x+6z=0
y
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一
次的整式方程．
【解答】解：A．方程xy＝5，未知数的项的次数是2次，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不
合题意；
B．该方程组属于二元一次方程组，故本选项符合题意；
1
C．5x= 不是整式方程，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不合题意；
y
D．方程组含有三个未知数，故方程组不属于二元一次方程组，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中
的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式2-3】（2022春•安新县期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
{1
{4x−y=−1 −1= y
A． B． x
y=2x+3
3x+ y=0
{x−y=1 {x2−x−2=0
C． D．
xy=2 y=x+1
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做
二元一次方程组．
【解答】解：A．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；C．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义．解题时一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元
一次方程组成的方程组”．
【变式2-4】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
{ 5x= y {5x−6 y=5 {3x+ y=51 { x=4
① ；② ；③ ；④
x+ y=4 2x−y=8 z−6=41 y=−3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元
一次方程组，共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
{x−y=2 {x−2y=6 {x−3 y=12
【变式2-5】观察下列方程组：① ；② ；③ ；…若第④方程组满
2x+ y=1 3x+2y=2 4x+3 y=3
足上述方程组的数字规律，则第④方程组为 ．
【分析】根据①②③方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到答案．
【解答】解：第二个方程：
①2x+y＝1，
②3x+2y＝2，
③4x+3y＝3，
根据规律得：
x的系数加一，y的系数加一，常数项加一，
即第④个方程组的第二个方程为：5x+4y＝4，
根据题意得：
第一个方程x的系数为1，y的系数为第二个方程y的系数的相反数，常数项是第二个方程常数项的序号
加一倍，
即第④个方程组的第一个方程为：x﹣4y＝20，
{x−4 y=20
故答案为： ．
5x+4 y=4【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握猜想归纳思想是解题的关键．
{ y−(a−1)x=5
【变式2-6】（2021春•平凉期末）方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则ab的
y|a|+(b−5)xy=3
值是 ．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
题型三 二元一次方程（组）的解
{ x=3
【例题3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是 ，则a的值
y=−1
为（ ）
1
A．1 B．﹣1 C． D．3
3
{ x=3
【分析】将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
y=−1
{ x=3
【解答】解：将 代入原方程得3a﹣1＝2，
y=−1
解得：a＝1，
∴a的值为1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的
值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．解题技巧提炼
1、二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解．
2、二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共
解，叫做二元一次方程组的解．
3、一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发
点，当遇到有关二元一次方程（组）的解的问题时，要回到定义中去，通常采用
代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
{ x=1
【变式3-1】（2022秋•扶风县期末）若 是关于x和y的二元一次方程ax+y＝2的解，则a的值
y=−2
等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
{ x=1
【解答】解：将 代入方程ax+y＝2得：
y=−2
a﹣2＝2，
解得：a＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
【变式3-2】（2022春•大连期中）在3x+4y＝10中，已知y＝1，则x的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】利用二元方程的解，代入变成一元一次方程，解一元一次方程求出另一未知数．
【解答】解：∵3x+4y＝10中，y＝1，
∴3x+4＝10，
∴3x＝6，
x＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，做题的关键是掌握二元一次方程的解的意义
解一元一次方程．【变式3-3】（2022秋•榆次区校级期末）二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
{x=2 {x=2 {x=2 {x=2
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=4 y=6
【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．
【解答】解：A、2+4＝6，能使方程成立，故该选项正确，符合题意；
B、2+6＝8，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
C、2+8＝10，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
D、2+12＝14，不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元
一次方程的解．
【变式 3-4】（2022 春•建华区校级期中）关于 x 和 y 的二元一次方程，2x+3y＝20 的正整数解有
（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．
【解答】解：2x+3y＝20，
1
x= (20−3 y)，
2
当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，
则方程的正整数解有3对．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．
{x=1
【变式 3-5】（2022春•海安市月考）若 是关于x，y的二元一次方程ax+by=√3的解，那么
y=4
7√3−4b−a的值是（ ）
A．7 B．7√3 C．6√3 D．−7√3
【分析】把方程的解代入方程，则得到a+4b=√3，再整体代入即可求解．
{x=1
【解答】解：∵ 是二元一次方程ax+by=√3的解，
y=4
∴a+4b=√3，
∴7√3−4b−a=7√3−(a+4b)=7√3−√3=6√3．
故选：C．【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解答的关键是把方程的解代入得到a+4b=√3．
{x=2
【变式3-6】（2022秋•历下区期中） 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a与b
y=4
的值．
【分析】根据二元一次方程的解的概念解答即可．
{x=2
【解答】解：∵ 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
y=4
{2a−12=2
所以 ，
4+4=b
{a=7
解得 ，
b=8
即a的值是7，b的值是8．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫
做二元一次方程的解．
{x=2 {x=2n
【变式3-7】（2022•南京模拟）已知 和 都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
y=m y=4
（1）请用含n的代数式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
{x=2 {x=2n
【分析】（1） 和 都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解，将其代入方程即可求解；
y=m y=4
（2）由（1）m﹣2n＝2b﹣2，结合m﹣2n＝b2+2b﹣7可得b2+2b﹣7＝2b﹣2，解一元二次方程即可求解．
{x=2 {x=2n
【解答】解：（1）将 和 代入方程得，
y=m y=4
{m=2+b
，
4=2n+b
即4＝2n+m﹣2，即m＝6﹣2n，
∴n的代数式表示m为m＝6﹣2n．
{m=2+b
（2）由（1）可得， ，
4=2n+b
则m﹣2n＝2b﹣2，
则m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，
整理得b2＝5，解得b=±√5，
∴b的值为±√5．
【点评】本题考查了二元一次方程及一元二次方程，熟练掌握方程的解与方程的关系是解题的关系．{ x=1 {x=2m
【变式3-8】（2022秋•盐田区期末）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝k， 和 都是
y=m+2 y=1
该方程的解．
（1）求m的值；
{x=n
（2）若 也是该方程的解，求n的值．
y=n
{ x=1 {x=2m
【分析】（1）将 ， 代入原方程，可得出关于m，k的二元一次方程组，解之即可得出
y=m+2 y=1
m，k的值；
{x=n
（2）将将 代入x+y＝5，可得出关于n的一元一次方程，解之即可求出n的值．
y=n
{ x=1 {x=2m {1+m+2=k
【解答】解：（1）将 ， 代入原方程得： ，
y=m+2 y=1 2m+1=k
{m=2
解得： ，
k=5
∴m的值为2；
{x=n
（2）将 代入x+y＝5得：n+n＝5，
y=n
5
解得：n= ，
2
5
∴n的值为 ．
2
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，解题的关键是：（1）将给定的两组方
程的解代入原方程，找出关于m，k的二元一次方程组；（2）利用二元一次方程的解，找出关于n的一
元一次方程．
题型四 用代入法解二元一次方程
{2x+3 y=8①
【例题4】用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（ ）
3x−5 y=5②
8−3 y
A．由①得x=
③
28−3 y
B．把③代入②得3× −5y＝5
2
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，即可作出判断．
{2x+3 y=8①
【解答】解：方程组 ，
3x−5 y=5②
8−3 y
由①得：x= ③，
2
8−3 y
把③代入②得：3× −5y＝5，
2
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
14
解得：y= ，
19
55
再由③得：x= ，
19
则错误的一步为去分母．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
解题技巧提炼
用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影响
着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程.
{4 y=x+4，①
【变式4-1】（2022秋•市北区校级期末）已知方程组 指出下列解法中比较简洁的
5 y=4x+3，②
是（ ）
A．利用①，用含x的式子表示y，再代入②
B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
【分析】观察方程组特点，表示出系数为1的那个未知数，再代入比较简洁．
【解答】解：观察方程组，①中x的系数为1，
∴利用①，用含y的式子表示x，再代入②比较简洁，
故选：B．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元的方法．
{ y=2−x
【变式4-2】（2022秋•蒲城县期末）二元一次方程组 的解是（ ）
3x=1+2y
{x=−1 {x=1 { x=1 {x=−1
A． B． C． D．
y=−1 y=1 y=−1 y=1
【分析】利用代入法进行求解即可．
{ y=2−x①
【解答】解： ，
3x=1+2y②
把①代入②得：3x＝1+2（2﹣x），
解得x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2﹣1＝1，
{x=1
故原方程组的解是： ．
y=1
故选：B．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
{2x+3 y=8①
【变式4-3】（2022•平泉市二模）用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步
3x−5 y=5②
是（ ）
8−3 y
（1）由①得x= ③；
2
8−3 y
（2）把③代入②得3× −5y＝5；
2
（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；
（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【分析】出错一步为（3），理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．
【解答】解：其中错误的一步为（3），
正确解法为：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，移项合并得：﹣19y＝﹣14，
14
解得：y= ．
19
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{2x+4 y=7，
【变式4-4】用代入法解方程组 时，最好是先把 变形为 ，再代入方
x−3 y=8
程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
【分析】首先，把方程组中第二个方程变形为 x＝8+3y，再代入第一个方程消去x求出y的值；然后求出
x的值，写出方程组的解即可．
{2x+4 y=7，
【解答】解：用代入法解方程组 时，最好是先把x﹣3y＝8变形为x＝8+3y，再代入方程
x−3 y=8
2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x的值，最后写出方程组的解．
故答案为：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解本题的关键．
【变式4-5】用代入法解下列方程组：
{2x+3 y=−1 {2x+3 y=7
（1） （2）
y=4x−5 4x−y=1
{x−1 y
− =1 { 3(x−1)= y+5
（3） 2 3 （4）
5(y−1)=3(x+5)
y+3x=5
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（3）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（4）用代入消元法解二元一次方程组即可．
{2x+3 y=−1①
【解答】解：（1） ，
y=4x−5②
将②代入①得，x＝1，
将x＝1代入②，得y＝﹣1，
{ x=1
∴方程组的解为 ；
y=−1{2x+3 y=7①
（2） ，
4x−y=1②
由②得，y＝4x﹣1③，
5
将③代入①得，x= ，
7
5 13
将x= 代入③得，y= ，
7 7
5
{ x=
7
∴方程组的解为 ；
13
y=
7
{x−1 y
− =1①
（3） 2 3 ，
y+3x=5②
由②得，y＝5﹣3x③，
19
将③代入①得，x= ，
9
19 4
将x= 代入③，得y=− ，
9 3
19
{x=
9
∴方程组的解为 ；
4
y=−
3
{ 3(x−1)= y+5①
（4） ，
5(y−1)=3(x+5)②
由①得，y＝3x﹣8③，
将③代入②得，x＝5，
将x＝5代入③得，y＝7，
{x=5
∴方程组的解为 ．
y=7
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式4-6】用代入法解下列方程组：{ x y
{x−5 y=−4，① + =6，①
（1） （2） 3 4
3x−2y=1；②
2(x+ y)−3(2y−x)=28．②
【分析】（1）首先将①变形为x＝5y﹣4③，并将③代入②，消去x，求得y的值；然后将y＝1代入
③，求得x的值；
{4x+3 y=72 ③ 3
（2）首先将原方程组，去分母、去括号，转化为化为为 然后将③变形为x＝18−
5x−4 y=28 ④ 4
y⑤，并将⑤代入④，消去x，求得y的值；再将y＝1代入③，求得x的值．
{x−5 y=−4，①
【解答】解：（1）
3x−2y=1；②
由①得，x＝5y﹣4 ③，
将③代入②得，3（5y﹣4）﹣2y＝1，解得y＝1．
将y＝1代入③得，x＝5×1﹣4＝1．
{x=1
所以原方程组的解是 ．
y=1
{ x y
+ =6，①
（2） 3 4
2(x+ y)−3(2y−x)=28．②
{4x+3 y=72 ③
原方程可化为
5x−4 y=28 ④
3
由③得，x＝18− y⑤
4
3
将⑤代入④得，5（18− y）﹣4y＝28，
4
解得y＝8．
将y＝8代入⑤得，x＝12．
{x=12
所以原方程组的解是 ．
y=8
【点评】本题考查了用代入法解二元一次方程组，能够熟知用代入法解二元一次方程组的基本步骤是解
题的关键．
{2x+5 y=3①
【变式4-7】（2022春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用
4x+11y=5②
了一种“整体代入”的解法如下：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
{ x=4
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为 ；
y=−1
{
3x+2y−2=0
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 3x+2y+1 2．
−x=−
5 5
3x+2y+1 2
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入 −x=− ，从而求得x，进而解决此
5 5
题．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．
3x+2y+1 2 2+1 2
把①代入 −x=− ，得 −x=− ．
5 5 5 5
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．
1
∴y=− ．
2
{x=1，
∴方程组的解为 1．
y=−
2
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
题型五 用加减法解二元一次方程
{4x−7 y=−17①
【例题5】（2022秋•惠来县期末）对于方程组 ，用加减法消去x得到的方程是（
4x+4 y=15②
）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提．解题技巧提炼
用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情况:
(1)方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,则直接利用加减法求解;
(2)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值都不相等,但某个未知数的系数的绝
对值成倍数关系,则将其中一个方程乘这个倍数后再利用加我法求解;
(3)方程组中任意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系,可利用
最小公倍数的知识,把两个方程都适当地乘一个数，使某个未知数的系数的绝对
值相等,然后再利用加减法求解.
{3x−5 y=15①
【变式5-1】（2023•惠阳区校级开学）用加减法解方程组 时，①﹣②得（ ）
3x−10 y=13②
A．﹣5y＝2 B．5y＝2 C．﹣11y＝28 D．11y＝28
{3x−5 y=15①
【分析】把方程组 的两个方程的左右两边分别相减，求出①﹣②即可．
3x−10 y=13②
{3x−5 y=15①
【解答】解：用加减法解方程组 时，①﹣②得：5y＝2．
3x−10 y=13②
故选：B．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
{x+3 y=4①
【变式5-2】（2022春•宛城区期中）用加减消元法解方程组 时，下列方法中无法消元的
2x−y=1②
是（ ）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【分析】方程组利用加减消元法判断即可．
{x+3 y=4①
【解答】解：用加减消元法解方程组 时，①×2﹣②或①×（﹣2）+②消去x，②×（﹣
2x−y=1②
3）﹣①或①+②×3消去y．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{3x+2y=7①
【变式5-3】用加减法解方程组 具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x
x+2y=−3②{x=2
1
＝2；（3）把x＝2代入①，解得y= ；（4）∴这个方程组的解是 1．其中，开始出现错误的步
2 y=
2
骤是（ ）
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【分析】第（1）步两方程相减时出现错误．
{3x+2y=7①
【解答】解：用加减消元法解方程组： ．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；
x+2y=−3②
{ x=5
（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为 ，
y=−4
最先出现错误的一步是（1），
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{6x−5 y=3①
【变式5-4】（2022秋•小店区校级期末）关于x、y的二元一次方程组 ，小华用加减消
3x+ y=−15②
元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是 ．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
{6x−5 y=3①
【解答】解：解二元一次方程组 时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，
3x+ y=−15②
用②×2﹣①得到的方程是：7y＝﹣33，
故答案为：7y＝﹣33．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
{0.8x+0.7 y=3
【变式5-5】已知二元一次方程组 ，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘
−8x−2y=7
以 ，再将得到的方程与方程②两边相 ，即可消去 ．
【分析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，可把x的系数化为相同，然后用加法化去，
达到消元的目的．
{0.8x+0.7 y=3 ①
【解答】解：
−8x−2y=7 ②
把①式两边同时乘以10，得：8x+7y＝30 ③，
②+③得：5y＝37即可消去x，37
解得：y= ．
5
把y＝5代入①或②可求解x．
【点评】本题主要考查了加减消元法的步骤，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值
相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解．
a 2
【变式5-6】（2022秋•徐州期末）若 = ，且2a+b＝18，则a的值为 ．
b 5
【分析】已知等式整理后，联立即可求出a的值．
a 2
【解答】解：由 = ，得到5a＝2b，
b 5
{ 5a=2b①
联立得： ，
2a+b=18②
由②得：b＝﹣2a+18③，
把③代入①得：5a＝﹣4a+36，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-7】用加减法解下列方程组：
{3x+7 y=9， { x−2=2(y−1)，
（1） （2）
4x−7 y=5； 2(x−2)+(y−1)=5．
【分析】（1）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x＝2，将x＝2代入①求出y
的值，即可得出方程组的解；
{x−2y=0①
（2）把原方程组化为 ，利用①+②×2消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x＝
2x+ y=10②
4，将x＝4代入②求出y的值，即可得出方程组的解．
{3x+7 y=9①
【解答】解：（1） ，
4x−7 y=5②
①+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：6+7y＝9，3
解得：y= ，
7
{x=2
∴原方程组的解为 3；
y=
7
{x−2y=0①
（2）原方程组可化为 ，
2x+ y=10②
①+②×2得：5x＝20，
解得：x＝4，
把x＝4代入②得：8+y＝10，
解得：y＝2，
{x=4
∴原方程组的解为 ．
y=2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
【变式5-8】用加减法解下列方程组：
{x+ y=5 { x−3 y=5
（1） ； （2） ；
x−y=3 4x−3 y=2
x y 1
{ + =
{ 8 y+5x=2 3 4 2
（3） ； （4） ．
4 y−3x=−10 x y 7
− =−
4 6 4
【分析】（1）用①+②消去未知数y，即可求出未知数x，再把x的值代入其中一个方程求出y的值即可；
（2）用②﹣①消去未知数y，即可求出未知数x，再把x的值代入其中一个方程求出y的值即可；
（3）用①﹣②×2消去未知数y，即可求出未知数x，再把x的值代入其中一个方程求出y的值即可；
{ 4x+3 y=6①
（4）原方程组整理，得 ，用①×2+②×3消去未知数y，即可求出未知数x，再把x的
3x−2y=−21②
值代入其中一个方程求出y的值即可．
{x+ y=5①
【解答】解：（1） ，
x−y=3②
①+②，得2x＝8，
解得x＝4，
把x＝4代入①，得y＝1，
{x=4
故原方程组的解为 ；
y=1{ x−3 y=5①
（2） ，
4x−3 y=2②
②﹣①，得3x＝﹣3，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得y＝﹣2，
{x=−1
故原方程组的解为 ；
y=−2
{ 8 y+5x=2①
（3） ，
4 y−3x=−10②
①﹣②×2，得11x＝22，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝﹣1，
{ x=2
故原方程组的解为 ；
y=−1
{ 4x+3 y=6①
（4）原方程组整理，得 ，
3x−2y=−21②
①×2+②×3，得17x＝﹣51，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①，得y＝6，
{x=−3
故原方程组的解为 ．
y=6
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型六 二元一次方程组的解的应用
{3x−y=10
【例题6】（2022秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组 的解，那么x﹣y的值
x−3 y=−2
是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，
4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题的关键．
解题技巧提炼
求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤：
①把字母参数看作已知数并解方程组；
②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；
③解方程组求得字母参数.
{2x+ y=⋅ {x=5
【变式6-1】（2022秋•莲池区期末）小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了
2x−y=12 y=
⋆
两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4
【分析】根据方程的解的定义，把x＝5代入2x﹣y＝12，求得y的值，进而求出●的值，即可得到答案．
【解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝12，可得 10﹣y＝12，
解得 y＝﹣2，
把x＝5，y＝﹣2代入可得 2x+y＝10﹣2＝8，
则“●”“★”表示的数分别为8，﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．
{2x+5 y=−k+3
【变式6-2】（2022秋•和平区校级期末）已知方程组 的解满足5x﹣y＝4，则k的值
7x+4 y=3k−1
是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可．
{2x+5 y=−k+3①
【解答】解： ，
7x+4 y=3k−1②
②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，∵5x﹣y＝4，
∴4k﹣4＝4，
解得k＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键．
{ ax+by=2
【变式6-3】（2022春•乐亭县期中）李明、王超两位同学同时解方程组 ，李明解对了，
mx−7 y=−9
{x=−2 {x=−2
得： ，王超抄错了m，得： ，则原方程组中a的值为 ．
y=3 y=−2
【分析】把李明和王超计算结果代入方程 ax+by＝2，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得
到a的值．
{x=−2 {x=−2
【解答】解：把 和 代入ax+by＝2得：
y=3 y=−2
{−2a+3b=2①
，
−2a−2b=2②
①﹣②得：5b＝0，
解得b＝0，
把b＝0代入①得：﹣2a＝2，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{2x+ y=3k−1，①
【变式6-4】若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＝1，求k的值．
x+2y=−2，②
{ x=2k
【分析】先根据二元一次方程组的解法求得其解为 ；接下来把x和y的值解代入x+y＝1，得
y=−k−1
到关于k的方程，解出k即可得到答案．
【解答】解：¿，
①+②得x+y＝k﹣1，
∵x+y＝1，
∴k﹣1＝1，
∴k＝2．【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程，掌握其解法是解决此题的关键．
{ 2ax−by=7， { 3
x= ，
【变式6-5】（2022春•宜丰县校级期中）已知关于x，y的方程组 4 3 的解为 2
ax+ by=−4，
3 2 y=2，
试求√a−4b的值．
{ 3 { 2ax−by=7
x= { 3a−2b=7
【分析】将 2代入 4 3 ，得 ，解二元一次方程组，进一步求解即可．
ax+ by=−4 2a+3b=−4
y=2 3 2
{ 3 { 2ax−by=7
x=
【解答】解：将 2代入 4 3 ，
ax+ by=−4
y=2 3 2
{ 3a−2b=7
得 ，
2a+3b=−4
{ a=1
解得 ，
b=−2
∴√a−4b=√1−4×(−2)=√9=3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，算术平方根，熟练掌握二元一次方程组的解的含义是解题的
关键．
{2x+5 y=−26 {3x−5 y=36
【变式6-6】已知关于x，y的方程组 和方程组 的解相同，求（2a+b）2020
ax−by=−4 bx+ay=−8
的值．
【分析】由两个方程组同解，可试着将原方程组中不含a、b的方程进行组合，将含a、b的方程进行组合，
{2x+5 y=−26 {ax−by=−4
重组后两个新的方程组依然同解，可得到新的方程组 ， ，先求解不含a、b
3x−5 y=36 bx+ay=−8
的方程组，得到x、y的值；
接着将x、y的值代入含有a、b的方程组中求解a、b的值，进而求得（2a+b）2020的值．
【解答】解：因为已知两方程组同解，
{2x+5 y=−26 {ax+by=−4
所以对其重组得到两个新的方程组 ①， ②，
3x−5 y=36 bx+ay=−8
解方程组①，得
{ x=2
，
y=−6{ x=2 {ax−by=−4
把 代入 ，得
y=−6 bx+ay=−8
{2a+6b=−4
，
2b−6a=−8
{ a=1
解得 ，
b=−1
{ a=1
把 代入（2a+b）2020，得
b=−1
（2×1﹣1）2020＝1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，消元是求解二元一次方程组的基本思想，加减消元、代入消
元是两种基本方法．
{ax−5 y=15① {x=−3
【变式6-7】已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看
4x−by=−2② y=−1
{x=5
错了方程②中的b得到方程组的解为 ，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
y=4
【分析】把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值，确定出方程组，
求出解即可．
{x=−3
【解答】解：把 代入②得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
y=−1
{x=5
把 代入①得：5a﹣20＝15，即a＝7，
y=4
{ 7x−5 y=15
方程组为 ，
4x−10 y=−2
{7x−5 y=15①
整理得： ，
2x−5 y=−1②
①﹣②得：5x＝16，
16
解得：x= ，
5
16 37
把x= 代入①得：y= ，
5 25
16
{x=
5
则方程组的解为 ．
37
y=
25【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程左右都成立的未知数的值．
