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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
专题 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题
题型一 直接代入解，解决字母参数的问题
{x=−1 {3x+2y=m
【例题 1】（2022•天津模拟）已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是
¿ y=1 nx−y=1
（ ）
A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4{x=−2 {3x+2y=m
【变式1-1】（2022春•商水县期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m+n的值是
y=1 nx−y=1
（ ）
A．﹣2 B．﹣5 C．1 D．﹣4
{ax−y=4 { x=2
【变式1-2】（2022秋•青岛期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则a+b
3x+b=4 y=−2
的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
{x=2 {mx+ny=8
【变式1-3】（2022春•永川区期末）已知 是二元一次方程组 的解，则m+3n等于（
y=1 nx−my=1
）
A．9 B．6 C．5 D．12
{x=2 {mx+ny=8
【变式1-4】（2022春•凤庆县期末）已知 是二元一次方程组 的解，则√2m−n的算术
y=1 nx−my=1
平方根（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．√2
{2x−ay=1 {x=2
【变式1-5】（2022春•平舆县期中）关于x，y的方程组 的解是 ，则6a﹣b的平方根是
bx+ y=5 y=1
（ ）
A．4 B．±4 C．√3 D．±√3
{2x+ y=● {x=5
【变式1-6】（2022秋•迎泽区校级月考）小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴
2x−y=12 y=★
上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（
）
A．5，2 B．5，﹣2 C．8，2 D．8，﹣2{3x−y=m { x=1
【变式1-7】（2022春•武山县校级月考）关于x、y的方程组 的解是 ，则|m﹣n|的值
x+my=n y=−1
是 ．
{ x=1 {x=2a
【变式1-8】（2022秋•海淀区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝m， 和 都
y=a+8 y=1
是该方程的解．
（1）求a的值；
{x=b
（2） 也是该方程的一个解，求b的值．
y=b
{ax−by=−4 { x=2
【变式1-9】（2022春•东莞市校级期中）已知方程组 的解为 ．
bx+ay=−8 y=−2
（1）求a、b的值；
（2）求a﹣b的值及其算术平方根．题型二 二元一次方程（组）同解问题
{5x+ y=3 {ax+2y=1
【例题2】（2021秋•昌图县期末）已知方程组 和 有相同的解，则a，b的值
x−2y=5 2x+by=8
为（ ）
A．a＝﹣5，b＝3 B．a＝3，b＝﹣5 C．a＝5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5
{4x+ y=−5 { 3x−y=−9
【变式2-1】（2022春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组 和 有相同的解，
ax−by=1 3ax+2by=18
则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．﹣4
{2x+3 y=19 {3x−2y=9
【变式2-2】（2022秋•北碚区校级期末）关于x，y的方程组 与 有相同的解，
ax+by=−1 bx+ay=−7
则a+4b−3的值为（ ）
A．−1 B．−6 C．−10 D．−12
{5x+ y=3 {x−2y=5
【变式2-3】（2022春•营口期末）已知方程组 和 有相同的解，求a﹣5b的
ax+5 y=4 5x+by=1
平方根．
{2x−3 y=−10
【变式 2-4】（2022 春•沙坪坝区校级期中）已知关于 x，y 的方程组 和方程组
ax+by=14
{3x+2y=11
的解相同．
ay−bx=5
（1）这两个方程组的解；
（2）求2a+b的值．{3x−5 y=36
【变式 2-5】（2021 春•岳麓区校级期中）若关于 x，y 的二元一次方程组 与方程组
bx+ay=−8
{2x+5 y=−26
有相同的解，求：
ax−by=−4
（1）这两个方程组的相同解；
（2）求（2a+b）2021的值．
{2x+ y=−2 {3x−y=12
【变式2-6】（2021春•荔浦市期中）已知方程组 和方程组 的解相同，
ax+by=−4 bx+ay=−8
求（5a+b）2的值．
{2x+ y=1 {bx−ay=8
【变式2-7】（2022春•德州期中）已知方程组 和方程组 的解相同．
ax−by=7 x+2y=−4
（1）求a，b的值．
（2）求|√a−a|+√a(b−√a)的值．题型三 方程组的解满足某一附加条件
{2x−5 y=3n+7
【例题3】（2022秋•峄城区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解相等，则
x−3 y=4
n的值是（ ）
1 1
A．3 B．− C．1 D．
3 3
{ 4x+3 y=1
【变式 3-1】（2022•东平县校级开学）若方程组 的解x和y互为相反数，则a＝
ax+(1−a)y=3
．
{3x+5 y=a+2
【变式3-2】（2022秋•大渡口区校级期末）关于x，y的二元一次方程组 的解适合x+y＝
2x+3 y=a
10，则a的值为（ ）
A．14 B．12 C．6 D．﹣10
{x+ y=5
【变式3-3】（2022春•镇江期末）若方程组 的解中，x的值比y的值大1，则k为（ ）
kx+ y=8
A．5 B．2 C．3 D．﹣2
{x+ y=−a+1
【变式3-4】（2022秋•邢台期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解，也是二元一次方
x−y=3a+5程x+2y＝﹣1的解，则a的值为（ ）
1
A．2 B．1 C． D．0
2
{ 3x+2y=k
【变式3-5】（2022春•荣县校级期中）已知方程组 的解满足x+y＝5，求k的值．
2x+3 y=k+3
{5x+3 y=2m−1
【变式3-6】（2022春•昌平区校级期中）已知关于x，y的方程组 的解中x与y的和为
x−y=−m+2
3，求m的值及此方程组的解．
{3x+5 y=2m
【变式3-7】（2022春•广州期中）已知关于x，y的方程组 的解满足x+2y＝2．
x+ y=m−1
（1）求m的值；
（2）化简：|√m−1|﹣|√m−2|．
【变式 3-8】（2022 春•广州期中）已知实数 a，b 满足√a+1+|a+b|＝0，且以关于 x，y 的方程组{ ax+by=m
的解为横、纵坐标的点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，求m的值．
2ax−by=m+1
题型四 利用二元一次方程组解决错解问题
{ax+by=3 {x=2
【例题4】（2022春•石河子期末）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地把c看错
5x−cy=1 y=3
{x=3
了，得 ，试求出a，b，c的值．
y=6
{ax+by=2
【变式 4-1】（2021春•柳南区校级期中）在解方程组 时，小明正确地解得方程组的解为
cx−7 y=8
{ x=3
，小刚因把c看错而解得方程组的解为
y=−2
{x=−2
，求a+b+c的值．
y=2{2x+ay=10①
【变式4-2】（2022春•陆河县期末）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中a得到方程
bx−3 y=−3②
{ x=3 {x=−1
组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ．若按正确的a、b计算，求原方
y=−1 y=2
程组的解．
{ax+5 y=10
【变式4-3】（2021春•武城县期末）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，
4x−by=−4
{x=−3 {x=5
而得解为 ，乙看错了方程组中的b，而得解为 ．求出原方程组的正确解．
y=−1 y=4
{2ax+ y=5①
【变式4-4】（2022秋•霍邱县月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−by=2②
（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；
{x=−2
（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解
y=1
{x=1
为 ，求a、b的值及原方程组的解．
y=3{ax+5 y=15，①
【变式4-5】（2022春•上蔡县期中）甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程
4x−by=−2②
{x=−3 {x=5
①中的a，得到方程组的解为 乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算
y=−1 y=4.
1
a2015+（− b）2016．
10
{ax+ y=10
【变式4-6】（2021春•安居区期中）在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而
x+by=7
{x=1 {x=−1
得到方程组的解为 ，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为
y=6 y=12
（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
【变式4-7】（2021春•九龙坡区校级期中）已知：甲、乙两人同解方程组{ax+5 y=15(1)时，甲看错
4x=by−2(2){x=−2 { x=5
了方程（1）中的a，解得 ，乙看错了（2）中的b，解得 ，试求a+b的平方根．
y=1 y=−4
题型五（拓展） 二元一次方程（组）正整数解问题
{2x+ay=12
【例题5】若关于x，y的二元一次方程组 有整数解，则满足要求的所有整数a的个数
2x−y=0
为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
{ x+2y−6=0
【变式5-1】（2022秋•东宝区期末）已知关于x，y的方程组 ，若方程组的解中x恰
x−2y+mx+5=0
为整数，m也为整数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
{mx−2y=10
【变式5-2】（2021秋•南岸区校级期中）m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
3x−2y=0
m2＝（ ）
A．4 B．1或4或16或25
C．64 D．4或16或64
{4x−3 y=6
【变式5-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）已知m为整数，二元一次方程组 有整数解，则
6x+my=26
m的值为（ ）A．4或﹣4或﹣5 B．4或﹣4或﹣13
C．4或﹣5或﹣13 D．4或﹣4或﹣5或﹣13
{mx+2y=10
【变式5-4】（2020春•雨花区校级月考）m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则
3x−2y=0
m2﹣1的值为（ ）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
{mx+2y=10
【变式5-5】（2022春•商水县期末）m为负整数，已知二元一次方程组 有整数解，则m的
3x+2y=0
值为 ．
{ x+ y=2
【变式5-6】（2022春•西区期中）若关于x、y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整
ax+2y=8
数a的值的和为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
{kx+2y=10
【变式5-7】已知k为正整数，且关于x，y的二元一次方程组 有整数解，则2k+x+y的平方
3x−2y=0
根为 ．
{ x+ y=−1
【变式5-8】（2022春•合浦县期中）方程组 的解满足2x﹣ky＝10（k是常数），
3x−2y=7
（1）求k的值．
（2）直接写出关于x，y的方程（k﹣1）x+2y＝13的正整数解{ x+2y−6=0
【变式5-9】（2022春•吴江区期末）已知关于x，y的方程组
x−2y+mx+5=0
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
