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七年级下册数学《第九章 不等式与不等式
组》
专题 不等式（组）中新定义运算＆程序性问题
不等式中新定义运算问题
1．（2021•路桥区一模）对于实数a，b（b≠0），定义运算“ ”如下：a b＝（1﹣a）
÷b．例如：3 2＝（1﹣3）÷2＝﹣1，则不等式x 2≤3的解集为 ．
⊕ ⊕
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
⊕ ⊕
【解答】解：∵x 2≤3，
∴（1﹣x）÷2≤3，
⊕
解得x≥﹣5
故答案为：x≥﹣5．
【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问
题的关键．
{a(a＞b)
2．（2022春•通海县期末）定义一种法则“ ”如下：a b = ，如：1 2＝2，
b(a≤b)
⊗ ⊗ ⊗
若（2m﹣5） 3＝3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4 B．m≤4 C．m＜4 D．m≥4
⊗
【分析】先根据题中所给的条件得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵（2m﹣5） 3＝3，
∴2m﹣5≤3，
⊗
解得m≤4．
故m的取值范围是m≤4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，新定义，根据题意得出关于 m的不等式是
解答此题的关键．
3．（2022•黄岩区一模）定义新运算：对于任意实数a，b都有a★b＝a（a+b）﹣1，例如
2★5＝2×（2+5）﹣1＝13，那么不等式3★x＜13的解集为 ．
【分析】根据新定义列出关于x的不等式，依据不等式的性质和解不等式的步骤求解可
得．
【解答】解：根据题意，得：3（3+x）﹣1＜13，
9+3x﹣1＜13，3x＜5，
5
解得：x＜ ，
3
5
故答案为：x＜ ．
3
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题
的关键．
4．（2021春•丹江口市期末）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．
如果2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，那么a，b的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1，b＞2 B．a＞﹣1，b＜2 C．a＜﹣1，b＜2 D．a＞﹣1，b＞2
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2a﹣b＝﹣4①，3a+2b＞1②
由①得：b＝2a+4③
∴3a+2（2a+4）＞1，
解得a＞﹣1，
把a＞﹣1代入②得，b＞2，
∴a＞﹣1，b＞2
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义计
算即可得到结果．
5．现规定一种新运算，a※b＝ab+a﹣b，其中a、b为常数，若（2※3）+（m※1）＝6，
3x-2
则不等式 ＜- m的解集是（ ）
2
4
A．x＜- B．x＜0 C．x＞1 D．x＜2
3
【分析】先根据新定义得到 2×3+2﹣3+m×1+m﹣1＝6，解得 m＝1，则不等式化为
3x-2
＜- 1，然后通过去分母、移项可得到不等式的解集．
2
【解答】解：∵（2※3）+（m※1）＝6，
∴2×3+2﹣3+m×1+m﹣1＝6，
∴m＝1，
3x-2
∴ ＜- 1，
2
去分母得3x﹣2＜﹣2，
移项得3x＜0，
系数化为1得x＜0．
故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：先去分母和括号，再移项、合并，然后把未知
数的系数化为1得到不等式的解集．也考查了阅读理解能力．
6．（2021春•大渡口区校级期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当
a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，﹣2}＝4，设y＝
max{x+3，﹣x+2}，则y的取值范围为 ．
【分析】根据题意分两种情况讨论，得到关于x的不等式，解不等式求得不等式的解集，
进而即可求得y的取值范围．
1
【解答】解：由题意，当x+3≥﹣x+2，即x≥- 时，y＝x+3，
2
∴x＝y﹣3，
1
∴y﹣3≥- ，
2
5
∴y≥ ；
2
1
当x+3＜﹣x+2，即x＜- 时，y＝﹣x+2，
2
∴x＝2﹣y，
1
∴2﹣y＜- ，
2
5
∴y＞ ，
2
5
综上，y的取值范围为y≥ ．
2
5
故答案为：y≥ ．
2
【点评】本题考查了一元一次不等式，根据新定义得到关于y的不等式是解题的关键．
7．（2022秋•余姚市校级期末）定义新运算“ ”如下：当a＞b时，a b＝ab+b；当a＜
b时，a b＝ab﹣b，若3 （x+2）＞0，则x的取值范围是（ ）
⊕ ⊕
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2
⊕ ⊕
C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2
【分析】分当3＞x+2，即x＜1时，当3＜x+2，即x＞1时，两种情况根据题目所给的新
定义建立关于x的不等式进行求解即可．
【解答】解：当3＞x+2，即x＜1时，
∵3 （x+2）＞0，
∴3（x+2）+（x+2）＞0，
⊕
∴3x+6+x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∴﹣2＜x＜1；当3＜x+2，即x＞1时，
∵3 （x+2）＞0，
∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，
⊕
∴2x+4＞0，
∴x＞﹣2，
∴x＞1；
综上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意并
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（2021春•临西县期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知
2△3＝4，5△（﹣3）＝3．
（1）a+b＝ ．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ．
【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集即可；
2
（2）根据已知新运算得出2- m≥0，再解不等式即可．
3
【解答】解：（1）∵2△3＝4，5△（﹣3）＝3，
{2a-3b=4
∴ ，
5a+3b=3
{
a=1
解得： 2，
b=-
3
1
∴a+b= ，
3
1
故答案为 ；
3
（2）∵2△（﹣m）≥0，
2
∴2- m≥0，
3
∴m≤3，
∴m的最大值是3，
故答案为3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，能根据新运算得出代数式
是解此题的关键．
9．（2023春•市中区校级月考）对于实数x，y，我们定义符号min{x，y}的意义为：当x＜
y时，min{x，y}＝x；当x≥y时，min{x，y}＝y，如：min{6，﹣4}＝﹣4，min{4，4}＝3x-1 x+1 x+1
4，min{ ， }= 时，则x的取值范围为 ．
2 3 3
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
3x-1 x+1
【解答】解：由题意可得， ≥ ，
2 3
去分母得，3（3x﹣1）≥2（x+1），
去括号得，9x﹣3≥2x+2，
移项得，9x﹣2x≥2+3，
合并同类项得，7x≥5，
5
系数化为1得，x≥ ，
7
5
x的取值范围为x≥ ．
7
5
故答案为：x≥ ．
7
【点评】此题主要考查了新定义、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法
是解题的关键．
10．（2022春•东城区期中）已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[5.7]＝5，[﹣ ]＝﹣
4．
π
（1）若[x]＝﹣1，则x的取值范围是 ；
（2）若3x﹣6[x]＝10，则x＝ ．
【分析】（1）根据题干中[x]的定义进行求解即可；
（2）利用[x]的定义可得出3x为整数，再求解即可．
【解答】解：（1）∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴[x]≤x＜[x]+1，
∵[x]＝﹣1，
∴﹣1≤x＜0，
故答案为：﹣1≤x＜0；
（2）∵[x]≤x＜[x]+1，
∴3[x]≤3x＜3[x]+3，
∴3[x]﹣6[x]≤3x﹣6[x]＜3[x]+3﹣6[x]，
即﹣3[x]≤3x﹣6[x]＜﹣3[x]+3，
∵3x﹣6[x]＝10，[x]为整数，
∴当[x]＝﹣3时，
9≤3x﹣6[x]＜12，
∴3x+18＝10，8
∴x=- ，
3
8
故答案为：- ．
3
【点评】本题考查解一元一次方程，实数大小比较等知识点，解题的关键是根据题干得
出[x]的取值范围．
11．（2023春•项城市月考）对于任意实数 a，b，定义关于“ ”的一种运算规则如下：
a b＝a﹣2b．例如：5 2＝5﹣2×2＝1．若x 3的值不小于﹣5，求x的取值范围，并
⊗
在数轴上表示出来．
⊗ ⊗ ⊗
【分析】利用新定义的规定得到关于x的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵x 3的值不小于﹣5，
∴x﹣6≥﹣5，
⊗
解得：x≥1．
不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，本题是新定义
型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
12．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝
12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※√3；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3-（﹣2）×√3-3√3=4√3+2√3-3
√3=3√3；
（2）3※m≥﹣6，
则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，
解得：m≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一
次不等式及解一元一次不等式的步骤．13．（2022秋•西湖区校级期中）（1）如果x﹣y＝0，那么x y，如果x﹣y＞0，那
么x y，如果x﹣y＜0，那么x y．（填“＞”“＝”或“＜”）；
1
（2）用（1）的方法尝试比较a2﹣5a+4与 （8﹣10a）大小；
2
（3）对于任意实数a、b，定义运算@如下，a@b＝2a﹣b，例如5@3＝10﹣3＝7，（﹣
3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11，已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的
取值范围．
【分析】（1）根据不等式和等式的基本性质可得答案；
（2）两式相减，化简结果，再判断结果与0的大小关系即可得出答案；
a+5 a+5
（3）解方程得出x＝1，解不等式得出x＜ ，由题意知 ＞1，解之即可得出答
2 2
案．
【解答】解：（1）如果x﹣y＝0，那么x＝y，如果x﹣y＞0，那么x＞y，如果x﹣y＜
0，那么x＜y，
故答案为：＝，＞，＜；
1
（2）∵a2﹣5a+4- （8﹣10a）
2
＝a2﹣5a+4﹣4+5a
＝a2≥0，
1
∴a2﹣5a+4≥ （8﹣10a）；
2
（3）解方程2（2x﹣1）＝x+1得x＝1，
由x@a＜5知2x﹣a＜5，
a+5
解得x＜ ，
2
a+5
由题意知 ＞1，
2
解得a＞﹣3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式和等式的基本性质、
整式的加减、解方程和不等式的能力．
不等式中新定义运算问题
中新定义运算问题
1．（2023•龙岗区校级模拟）定义新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b，若关于x的不等式
{x⊗3＞0
⊗ ⊗
组 的解集为x＞6，则a的取值范围是 ．
x⊗a＞a
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式组，解不等式组，根据解集列不等式即可．{ x-6＞0
【解答】解：根据已知可得 ，
x-2a＞a
{ x＞6
解不等式组得 ，
x＞3a
∵关于x的不等式组的解集为x＞6，
∴3a≤6，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，读懂新定义并熟练地解不等式是解
题的关键．
2．（2022•南京模拟）定义：对于实数[a]表示不大于a的最大整数，例如：[5.7]＝5，[﹣
x+2
]＝﹣4．若[ +1]=-5，则x的取值范围为 ．
3
π x+2
【分析】根据已知得出不等式组﹣5≤ +1＜﹣4，求出解集即可．
3
x+2
【解答】解：∵[ +1]＝﹣5，
3
x+2
∴﹣5≤ +1＜﹣4，
3
解得：﹣20≤x＜﹣17，
故答案为：﹣20≤x＜﹣17．
x+2
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出﹣5≤ +1＜﹣4
3
是解此题的关键．
3．（2021秋•赫山区期末）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：
x+1
[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4．如果[ ]＝﹣3，那么x的取值范围是 ．
2
【分析】根据题意得出π不等式组，再求出不等式组的解集即可．
x+1
【解答】解：∵[ ]＝﹣3，
2
x+1
{ ＜-2①
2
∴ ，
x+1
≥-3②
2
解不等式①，得x＜﹣5，
解不等式②，得x≥﹣7，
所以不等式组的解集是﹣7≤x＜﹣5，故答案为：﹣7≤x＜﹣5．
【点评】本题考查了有理数的大小比较和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集
是解此题的关键．
4．（2022春•思明区校级期中）对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n＝m2+mn，
{(-2)※x＞0
例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组 的解集在数轴上表示为
1※x≥0
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
{4-2x＞0①
【解答】解：由题意可知不等式组可化为： ，
1+x≥0②
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式的解集为：﹣1≤x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确理解新定义运算以及一
元一次不等式组的解法．
5．（2022•嘉兴二模）对于实数a，b，定义一种运算“ ”：a b＝a2﹣ab，那么不等式
{ 1⊗x＞0 ⊗ ⊗
组 的解集在数轴上表示为（ ）
(-2)⊗x≤0
A． B．
C． D．
【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
{1-x＞0①
【解答】解：由题意可知不等式组可化为 ，
4+2x≤0②
解不等式①得，x＜1；
解不等式②得，x≤﹣2；
在数轴上表示为： ，
故选：B．
【点评】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式
组的解法，本题属于基础题型．6．（2021•柘城县模拟）对于任意的实数m和n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+2，例
{2※x≥3
如：2※3＝2×3﹣2﹣3+2＝3．根据上述定义，不等式组 1 的解集在数轴上表示
x※ ≤2
2
为（ ）
A．
B．
C．
D．
{2※x≥3
【 分 析 】 根 据 m※ n ＝ mn﹣ m﹣ n+2 ， 可 以 将 不 等 式 组 1 转 化 为
x※ ≤2
2
{2x-2-x+2≥3
1 1 ，然后求解即可．
x-x- +2≤2
2 2
【解答】解：由题意可得，
{2※x≥3 {2x-2-x+2≥3
不等式组 1 可以转化为 1 1 ，
x※ ≤2 x-x- +2≤2
2 2 2
解得x≥3，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、新定义，解答
本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组．
7．（2022春•永春县期末）阅读材料：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个
{x＜5
解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：一元一次不等式组 的
x＞1
解集是1＜x＜5，x＝2是它的一个解，则称一元一次方程 x＝2是一元一次不等式组
{x＜5
的关联方程．
x＞1
解决下列问题：
{ x＞-2
（1）判断方程3x﹣1＝0是否为不等式组 的关联方程，并说明理由；
3x-2＜1
{2x＜m
（2）若m＞0，关于x的不等式组 的所有关联方程的整数解是同一个整数，求
3x＞mm的最大值．
【分析】（1）利用题中的新定义进行判断；
（2）利用新定义，结合整数的特征进行推理求解．
1
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得x= ，
3
{ x＞-2
解不等式组 得﹣2＜x＜1，
3x-2＜1
{ x＞-2
∴方程3x﹣1＝0是不等式组 的关联方程；
3x-2＜1
m m
（2）解不等式组得 ＜x＜ ，
3 2
由题意得m只有一个正整数解，
所以m的最大值是12．
【点评】本题考查了解不等式组，理解题中的新定义是解题的关键．
|a b|
8．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把 称为二阶行列式，规定它的运算
c d
|a b| |2 3|
法则为 = ad﹣bc，例如： = 2×5﹣3×4＝﹣2．
c d 4 5
|-1 2x-1| | 2 1|
（1）填空：若 = 0，则x＝ ， ＞0，则x的取值范围
0.5 x 3-x x
；
|1 n|
（2）若对于正整数m，n满足，1＜ ＜3，求m+n的值；
m 4
|x-1 y| |x - y|
（3）若对于两个非负数x，y， = = k，求实数k的取值范围．
2 3 2 -1
【分析】（1）根据法则得到﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0、2x﹣（3﹣x）＞0，然后解得即可．
（2）根据法则得到1＜4﹣mn＜3，解不等式求得1＜mn＜3，由m、n是正整数，则可
求得m+n＝3；
（3）根据法则得到3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，解方程组求得x，y的值，然后根据题
意得关于k的不等式组，解得即可．
【解答】解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，
整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，
1
解得x= ；
4
由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，
解得x＞1，1
故答案为 ，x＞1；
4
（2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，
∴1＜mn＜3，
∵m、n是正整数，
∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，
∴m+n＝3；
（3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，
{3x-2y=k+3 ①
∴ ，
-x+2y=k ②
①+②得：2x＝2k+3，
2k+3
解得：x= ，
2
2k+3 2k+3
将x= 代入②，得：- +2y＝k，
2 2
4k+3
解得y= ，
4
∵x、均为非负数，
2k+3
{ ≥0
2
∴ ，
4k+3
≥0
4
3
解得k≥- ．
4
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程组，关键是看懂题目所
给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．
9．（2022春•福清市期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式
（组）：的“理想解”，例如：已知方程2x﹣1＝1与不等式x+1＞0，x＝1当x＝1时，
2x﹣1＝2×1﹣1＝1，1+1＝2＞0同时成立，则称“x＝1”是方程2x﹣1＝1与不等式x+1
＞0的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程3x﹣5＝4的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”
（直接填写序号）
①2x﹣3＞3x﹣1；
②2（x﹣1）≤4；
{x+1＞0
③ ；
x-2≤1{x=m { x+2y=6
（2）若 是方程组 与不等式x+y＞1的“理想解”，求q的取值范围；
y=n 2x+ y=3q
（3）当k＜3时，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想
解”，若m+n≥0且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
{x=m
（2）把 代入相应的方程组和不等式，从而求得q＞﹣1；
y=n
k 2m-n
（3）根据“理想解”的定义，可求得x= +1，x＜ ，从而得到n≤2m﹣k﹣3，
3 3
结合m+n≥0且满足条件的整数n有且只有一个，可得到﹣m＝2m﹣k﹣3，从而可求m
的范围．
【解答】解：（1）3x﹣5＝4，
解得：x＝3，
当x＝3时，
①2x﹣3＞3x﹣1，
解得：x＜﹣2，故①不符合题意；
②2（x﹣1）≤4，
解得：x≤3，故②符合题意；
{x+1＞0
③ ，
x-2≤1
{x＞-1
解得： ，
x≤3
故不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，故③符合题意；
故答案为：②③；
{x=m { x+2y=6
（2）∵ 是方程组 与不等式x+y＞1的“理想解”，
y=n 2x+ y=3q
{m+2n=6
∴ ，
2m+n=3q
{m=2q-2
解得： ，
n=4-q
m+n＞1，
∴2q﹣2+4﹣q＞1，
解得：q＞﹣1；
（3）∵当k＜3时，方程3（x﹣1）＝k的解都是此方程与不等式4x+n＜x+2m的“理想
解”，
∴3（x﹣1）＝k，k
解得：x= +1，
3
4x+n＜x+2m，
2m-n
解得：x＜ ，
3
k 2m-n
∴ +1≤ ，
3 3
整理得：k+3≤2m﹣n，
n≤2m﹣k﹣3，
∵m+n≥0且满足条件的整数n有且只有一个，
∴n≥﹣m，
∴﹣m≤2m﹣k﹣3，
k
整理得：m≤ +1，
3
∴m＜2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，
解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
10．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，
a*b＝a﹣2b．
例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；
（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．
【分析】（1）根据新定义计算可得；
（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；
{ 3x-7≥3-2x { 3x-7＜3-2x
（3）由题意可得 或 ，分别求解可得；
3x-7+2(3-2x)＜-6 3x-7-2(3-2x)＜-6
（4）先利用作差法判断出 2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*
（x2+4x﹣2）即可求解．
【解答】解：（1）（﹣4）*3
＝﹣4﹣2×3
＝﹣8﹣6
＝﹣10．
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5；
{ 3x-7≥3-2x { 3x-7＜3-2x
（3）由题意知 或 ，
3x-7+2(3-2x)＜-6 3x-7-2(3-2x)＜-6
解得：x＞5或x＜1．
故x的取值范围是x＞5或x＜1；
（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）
＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2
＝x2+10＞0；
∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，
原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）
＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4
＝4x2+12x+4．
【点评】本题主要考查新定义，解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基
本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘或除以同一个负数不等号方
向要改变．
11．（2022春•宜秀区校级月考）深化理解：新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的
1 1
值记为⟨x⟩，即：当n为非负整数时，如果n- ≤x＜n+ ，则⟨x⟩＝n，反之，当n为非
2 2
1 1
负整数时，如果⟨x⟩＝n，则n- ≤x＜n+ ．
2 2
例如：⟨0⟩＝⟨0.48⟩＝0，⟨0.64⟩＝⟨1.49⟩＝1，⟨2⟩＝2，⟨3.5⟩＝⟨4.12⟩＝4，…，试解决下列问
题：
（1）填空：①⟨ ⟩＝ （ 为圆周率）；②如果⟨x﹣1⟩＝3，则实数x的取值范围
为 ．
π π
{2x-4
≤x-1
（2）若关于x的不等式组 3 的整数解恰有3个，求a的取值范围；
⟨a⟩-x＞0
4
（3）求满足⟨x⟩ = x的所有非负实数x的值．
3
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜
＞的值；
π
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；4 1 4 1
（3）根据题意得 x- ≤x＜ x+ ，解不等式即可得到结论．
3 2 3 2
【解答】解：（1）①由题意可得：＜ ＞＝3；
②∵＜x﹣1＞＝3，
π
∴2.5≤x﹣1＜3.5，
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3，3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
故答案为：1.5≤a＜2.5；
4 1 4 1
（3）∵ x- ≤x＜ x+ ，
3 2 3 2
1 1 1
∴- ≤- x＜ ，
2 3 2
3 3
∴- ＜x≤ ，
2 2
3 3
∴x＝0或 或 ．
4 2
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
不等式（组）中程序性问题
1．（2023•叙州区校级模拟）如图，这是王彬同学设计的一个计算机程序，规定从“输入
一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么
x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．4≤x＜7 C．4＜x≤7 D．x≤7
【分析】根据程序运行两次就停止（运行一次的结果＜13，运行两次的结果≥13），即
可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
{ 2x-1＜13
【解答】解：依题意，得 ，
2(2x-1)-1≥13
解得：4≤x＜7．故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
2．（2022春•舒城县校级月考）小明设计一种计算流程图，如图，若需要经过两次运算，
才能运算出y，且x是整数，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣1或﹣2 D．﹣1或﹣3
【分析】由需要经过两次运算，才能运算出y，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：由输入两次，才能计算出y的值得：
{ 2x+3＜1
，
2(2x+3)+3≥1
解得﹣2≤x＜﹣1，
∴x的取值范围为﹣2≤x＜﹣1，
∵x是整数，
∴x＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题的关键．
3．（2021春•河东区校级期末）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞
18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于 18，第二次运算结果大于18列出不
等式组，然后求解即可．
{ 3x-6≤18①
【解答】解：由题意得 ，
3(3x-6)-6＞18②
解不等式①得x≤8，14
解不等式②得x＞ ．
3
14
则x的取值范围是 ＜x≤8，
3
∵x是整数，
∴x的最小值是5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不
等式组是解题的关键．
4．（2022春•源城区校级期中）按下面的程序计算，若开始输入的值 x为正整数，规定：
程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算，若经过2次运算就停止，则x可以取
的所有整数值是 ．
【分析】根据题意可列出不等式组，解不等式组可得x的所有可能取值．
{2(2x+1)+1＞10①
【解答】解：根据题意可得： ，
2x+1≤10②
由①得：4x+2+1＞10，4x＞7x＞1.75，
由②得：2x≤9，x≤1.75，
由②得：2x≤9，x≤4.5，
∴不等式组的解集为1.75＜x≤4.5，
∵x为正整数，
∴x可以取得所有值时2或3或4，
故答案为：2或3或4．
【点评】本题考查列一元一次不等式组解决问题，能够根据题意列出不等式组是解决本
题的关键．
5．（2022春•启东市期末）如图所示的是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知：当x＝10时，5×10+2＝52＞37，则输出的值为52；当
x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137．若数x需要经过三次运算才能输出结果，则x的取值范围是（ ）
1 1 1
A．x＜7 B．- ≤x＜7 C．- ≤x＜1 D．x＜- 或x＞7
3 5 3
【分析】根据该程序运行三次才能输出结果，即可得出关于x的一元一次不等式组，解
之即可得出结论．
{ 5(5x+2)+2＜37
【解答】解：依题意得： ，
5[5(5x+2)+2]+2≥37
1
解得：- ≤x＜1．
5
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
6．（2022秋•金华期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞
94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么 x的取值范围是
．
【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之
即可求出x的取值范围．
{ 3(3x+1)+1≤94
【解答】解：依题意得： ，
3[3(3x+1)+1]+1＞94
解得：3＜x≤10，
∴x的取值范围是3＜x≤10．
故答案为：3＜x≤10．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
7．（2022春•源城区校级期中）按下面的程序计算，若开始输入的值 x为正整数，规定：
程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算，若经过2次运算就停止，则x可以取
的所有整数值是 ．
【分析】根据题意可列出不等式组，解不等式组可得x的所有可能取值．{2(2x+1)+1＞10①
【解答】解：根据题意可得： ，
2x+1≤10②
由①得：4x+2+1＞10，4x＞7x＞1.75，
由②得：2x≤9，x≤1.75，
由②得：2x≤9，x≤4.5，
∴不等式组的解集为1.75＜x≤4.5，
∵x为正整数，
∴x可以取得所有值时2或3或4，
故答案为：2或3或4．
【点评】本题考查列一元一次不等式组解决问题，能够根据题意列出不等式组是解决本
题的关键．
8．（2022•大渡口区校级模拟）运行程序如图所示，从“输入整数 x”到“结果是否＞
18”为一次程序操作，
①输入整数11，输出结果为27；②若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则
x的最大值是8；③若操作停止时输出结果为21，则输入的整数x是9；④输入整数x
后，该操作永不停止，则x≤3，以上结论正确有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【分析】①代入x＝11，可求出输出结果；
②根据输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式
组，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出x的最大值是8；
③分程序运行一次就停止及程序运行两次就停止两种情况考虑，根据输出结果为21，
即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而可得出x的值不唯一；
④根据“输入整数x后，该操作永不停止”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解
之即可求出x的取值范围．
【解答】解：①∵11×3﹣6＝27＞18，
∴输入整数11，输出结果为27，结论①符合题意；
{ 3x-6≤18
②根据题意得： ，
3(3x-6)-6＞18
14
解得： ＜x≤8，
3
又∵x为整数，
∴x的最大值为8，结论②符合题意；③当程序运行一次就停止时，3x﹣6＝21，
解得：x＝9；
当程序运行两次就停止时，3（3x﹣6）﹣6＝21，
解得：x＝5，结论③不符合题意；
{ 3x-6≤18
④根据题意得： ，
3(3x-6)-6≤3x-6
解得：x≤3，
∴结论④符合题意．
综上所述，以上结论正确有①②④．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合
运算，逐一分析各结论的正误是解题的关键．
9．（2021•蚌埠模拟）运算程序如图所示，规定：从“输入一个x值”到“结果是否大于
18”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了2次后停止，那么满足条件的所有整数
x的和是（ ）
A．21 B．26 C．30 D．35
【分析】由程序操作恰好进行了2次后停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解
之即可得出x的取值范围，将其中的所有整数值相加即可得出结论．
{ 2x-1≤18
【解答】解：依题意，得： ，
2(2x-1)-1＞18
1 1
解得：5 ＜x≤9 ．
4 2
又∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9，
∴6+7+8+9＝30．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组是解题的关键．
10．（2022秋•忠县期末）根据如图的程序计算，如果输入的 x值是x≥2的整数，最后输
出的结果不大于30，那么输出结果最多有（ ）
A．6种 B．5种 C．9种 D．7种【分析】输入≥2的整数，逐个计算得结论．
【解答】解：①输入2→3x﹣2＝4→返回4继续输入→3x﹣2＝10→返回10继续输入
→3x﹣2＝28→输出28；
②输入3→3x﹣2＝7→返回7继续输入→3x﹣2＝19→输出19；
③输入4→3x﹣2＝10→返回10继续输入→3x﹣2＝28→输出28；
④输入5→3x﹣2＝13→输出13；
⑤输入6→3x﹣2＝16→输出16；
⑥输入7→3x﹣2＝19→输出19；
⑦输入8→3x﹣2＝22→输出22；
⑧输入9→3x﹣2＝25→输出25；
⑨输入10→3x﹣2→输出28；
输入11→3x﹣2＝31→输出31＞30不合题意．
当输入的x值是x≥2的整数时，最后输出的结果不大于30有六种情况．
故选：A．
【点评】本题主要考查了代数式的求值，理解运算程序是解决本题的关键．
11．（2022秋•桥西区期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果
是否大于10”为一次运算．
（1）若x＝5，则输出的结果为 ；
（2）若某运算进行了3次就输出停止，则x的最大值 ．
【分析】（1）将x＝5按照所给程序图代入计算即可；
（2）根据第二次运算结果不大于10，且第三次运算结果要大于10，列出关于x的一元
一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝5时5×3﹣1＝14＞10，
∴输出的结果为14．
故答案为：14．
（2）根据运算，第一次运算为：3x﹣1，
第二次运算为3（3x﹣1）﹣1＝9x﹣4，
第三次运算为：3（9x﹣4）﹣1＝27x﹣13，
{ 9x-4≤10
依题意得： ，
27x-13＞10
27 14
解得： ＜x≤ ，
26 914
∴x的最大值为： ．
9
14
故答案为： ．
9
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组．
