文档内容
第八章 二元一次方程组
第3课时8.3 实际问题与二元一次方程组
一、温故知新（导）
1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的 等量关系 ；
(2)设元：用 字母 表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据 2 个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用 代入消元 法或 加减消元法 解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
2、一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货
车的记录如下表．
甲种货车（辆） 乙 种 货 车 总量（吨）
（辆）
第一次 4 5 28.5
第二次 3 6 27
这批蔬菜需租用5
辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？你能解
决这样的问题吗？
今天我们继续学习用二元一次方程组解决实际问题，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组；
2、感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力，体会数形结合的思想.
学习重难点
重点：运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.；
难点：找等量关系列方程组.
二、自我挑战（思）
1、温故知新里的问题你能解决吗？
解：设甲种货车每辆每次运送货物 x吨，乙种货车每辆每次运送货物 y吨，
{4x+5 y＝28.5
由题意得， ，
3x+6 y＝27
{ x=4
解得： ，
y=2.5
则这次共运蔬菜为：5×4+2×2.5=25（吨），
运费为：25×20=500（元）．
答：菜农应付运费500元．
2、如图8.3-2，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元
的原料运回工厂，制成每吨 8 000元的产品运到B地. 已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为
1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比
原料费与运输费的和多多少元？（1）公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)是什么意思？
公路运价：经公路运输1吨货物行驶1千米需1.5元
铁路运价：经铁路运输1吨货物行驶1千米需1.2元
（2）两次运输共支出公路运费15000元指的是什么？
原料的公路运费+产品的公路运费=15000
（3）两次运输共支出铁路运费97200元指的又是什么？
原料的铁路运费+产品的铁路运费=97200
（4）这道题求的是什么？
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
（5）要解决这个问题我们必须先知道什么？
销售款 原料费 运输费
销售款=产品单价×产品数量
原料费=原料单价×原料数量
运输费=铁路运费+公路运费
（6）本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．
产品 x 吨 原料 y 吨 合计
公路运费(元) 1.5×20x 1.5×10y 1 5000
铁路运费(元) 1.2×110x 1.2×120y 97200
价值(元) 8000x 1000y
（7）你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
解：设产品为x吨，原料为y吨，由题意得
{ 1.5×20x+1.5×10 y=15000
1.2×110x+1.2×120 y=97200
{x=300
解得
y=400
销售款为：8000×300=2400000（元）
原料费为：1000×400=400000（元）运输费为：15000+97200=112200（元）
2400000-（400000+112200）=1887800（元）
答：销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
三、互动质疑（议、展）
1、长青化工厂问题你能用图例分析吗？
设产品为x吨，原料为y吨.
2、在什么情况下间接设未知数？
当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．
3、如何解决信息量较大的实际问题？
可以借助表格或者图例解决问题
4、实例：
例 某一天，蔬菜经营户王大叔花 270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 70千克，到菜
市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价/（元/千克） 5 3
零售价/（元/千克） 7 4
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
解：（1）设王大叔当天批发了黄瓜 x千克，茄子y千克，
{ x+ y＝70
由题意得： ，
5x+3 y＝270
{x=30
解得： ，
y=40
答：王大叔当天批发了黄瓜 30千克，茄子40千克；
（2）30×（7-5）+40×（4-3）=100 （元），
答：王大叔卖完这些黄瓜和茄子共赚了 100元．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）1、某城市规定：出租车起步价所包含的路程为 0～3km,超过3km的部分按每千米另收费（不
足1km的按1km计算）．甲说“我乘这种出租车走了 9.3km,付了19元．”乙说：“我乘这种出
租车走了15.8千米，付了31元．”问：出租车的起步价和超过 3km后的每千米的收费标准分
别是（ ）
A．5元、3元 B．4元、3元
C．4元、2元 D．5元、2元
1、解：设出租车的起步价是x元，超过3km后，每千米的车费是y元（不足1km的按1km
计算），
依题意，得：{x+(10−3)y＝19，
x+(16−3)y＝31
{x=5
解得： ，
y=2
∴出租车的起步价是5元，超过3km后的每千米的收费标准是2元．
故选：D．
2、已知有若干片相同的拼图，其形状如图 1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为
23cm,如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为 56cm,如图3所示．设图1中一个
拼图中去掉半圆的宽度为a cm,半圆的半径长为b cm,则图1中的拼图长度a+b为（ ）
A．5.5cm B．5.6cm C．5.75cm D．6.5cm
{4a+b＝23
2、解：依题意得： ，
10a+b＝56
{a＝5.5
解得： ，
b＝1
∴a+b=5.5+1=6.5．
故选：D．
3、小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品 A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量
购买总费用（元）
（个） （个）
第一次购
4 3 93
物
第二次购
6 6 162
物
若小丽需要购买2个商品A和3个商品B，则她要花费（ ）
A．67元 B．68元 C．69元 D．70元
3、解：设商品A的单价为x元，商品B的单价为y元，
{4x+3 y＝93①
依题意得： ，
6x+6 y＝162②
②-①得：2x+3y=69，∴购买2个商品A和3个商品B共需69元．
故选：C．
4、科技馆门票价格规定如表．
购票张数 1-50张 51-100张 100张以上
每张票的价格 15元 12元 10元
某学校七年级①、②两个班共 103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，
如果两个班都以班为单位购票，则一共应付 1377元．七年级②班学生有 人，如果两
个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元．
4、解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人，
{ x+ y＝103
由题意得： ，
12x+15 y＝1377
{x＝56
解得： ，
y＝47
∴七年级②班有56人，
1377-10×103=347（元）．
即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省 347元，
故答案为：56，347．
5、张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三
角板作为奖品，购买明细见下表：
圆规（个） 三角板（副） 总费用（元）
张老师 14 8 120
李老师 6 12 90
王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各 15件共用 元．
5、解：设圆规的单价是x元/个，三角板的单价是y元/副，
{14x+8 y＝120①
根据题意得： ，
6x+12y＝90②
3
（①+②）× 得：15x+15y=157.5，
4
∴王老师在该店购买了这种圆规和三角板各 15件共用157.5元．
故答案为：157.5．
6、为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋
白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要 35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养
餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物 每克乙种食物
其中所含蛋白质 0.5单位 0.7单位
其中所含铁质 1单位 0.4单位
{0.5x+0.7 y＝35
6、解：设甲、乙两种食物各需 x 克、y 克，则
x+0.4 y＝40
{x＝28
解得
y＝30
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要 28，30克．六、用
（一）必做题
1、小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为 3.7%，第二种的年利率为
2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（ ）
A．2000元 B．2500元
C．3000元 D．3500元
1、解：设第一种储蓄的钱数为 x元，第二种为y元，根据题意得：
{ x+ y＝5000
，
3.7%x+2.25% y＝156
{x＝3000
解得： ，
y＝2000
即第一种储蓄的钱数为3000元，第二种储蓄为2000元．
故选：C．
2、爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
是一个两位数，它 是一个两位数，它的十位与 是一个三位数，它比9：
里程碑
的两个数字之和是 个位数字与9：00所看到的正 00时看到的两位数中间多
上的数
6 好互换了 了个0
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
2、解：设小明9：00时看到的两位数十位数字为x,个位数字为y,即两位数为为10x+y；
则10：00时看到的两位数为x+10y,9：00-10：00时行驶的里程数为：（10y+x）-
（10x+y），
11：30时看到的数为100x+y,11：30时-10：00时行驶的里程数为：（100x+y）-
（10y+x）；
{ x+ y＝6
依题意，得： ，
100x+ y−(10 y+x)
=10 y+x−(10x+ y)
1.5
{x=1
解得： ，
y=5
∴10：00时小明看到的两位数是10y+x=51．
故选：D．
3、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来
一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间
发一辆车，那么发车间隔的时间是（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
3、解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的
间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x-6y=s.①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s.②s
由①，②可得s=4x,所以 ＝4．
x
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
故选：B．
4、某商场地下停车场有5个出口，5个入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率
为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个入口和2个出口，8小
时车库恰好停满；如果开放4个入口和2个出口，1.6小时车库恰好停满．2021年五一节期间，
由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放3个入
口和2个出口，则从早晨7点开始经过 小时车库恰好停满．
4、解：设每个入口每小时进车x辆，每个出口每小时出车y辆，该停车场能停放s辆车，
依题意得：{ 8×(2x−2y)＝80%s ，
1.6×(4x−2y)＝80%s
{ x＝0.2s
解得： ，
y＝0.15s
60%s 60%s
∴ = =2．
3x−2y 3×0.2s−2×0.15s
故答案为：2．
5、1号仓库与2号仓库共存粮460t.现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的
40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多30t.1号仓库与2号仓库原来各存粮多少
吨？
5、解：设1号仓库原来存粮x吨，2号仓库原来存粮y吨，
{ x+ y＝460
根据题意得： ，
(1−40%)y−(1−60%)x＝30
{x＝246
解得： ．
y＝214
答：1号仓库原来存粮246吨，2号仓库原来存粮214吨．
（二）选做题
6、新新商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元，它们的进价和
售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）．
商品
A B
价格
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数
是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2
次经营活动获得利润等于36000元，则B种商品是打几折销售的？
6、解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，
依题意，得：{ 1200x+1000 y＝390000 ，
(1350−1200)x+(1200−1000)y＝60000
{x＝200
解得： ．
y＝150答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，
m
依题意，得：（1350-1200）×200+（1200× -1000）×150×2=36000，
10
解得：m=8.5．
答：B种商品是打8.5折销售的．
7、列二元一次方程组解决问题．
某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购 100kg 水果，第二次进购 200kg 水果，
两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售的单价都比该次进购的单价提高了 50%．由于水
果易坏，从进购到全部售完会有部分损耗．第一次进购的水果有 10%的损耗，第二次进购的
水果有20%的损耗．已知两次进购的总价之和为 1600元，两次销售共获利 500元，求两次进
购的单价各是多少元？
7、解：设第一次进购水果的单价为x元，第二次进购水果的单价为y元，
则第一次进购水果的售价为（1+50%）x=1.5x（元），第二次进购水果的售价为（1+50%）
y=1.5y（元），
由题意得：{ 100x+200 y＝1600 ，
1.5x×100(1−10%)+1.5 y×200(1−20%)＝1600+500
{x=12
解得： ，
y=2
答：第一次进购水果的单价为12元，第二次进购水果的单价为2元．
