文档内容
第四章 导数及其应用综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可．
【详解】解：根据导函数图像， 的增区间为 ，减区间为 ，
观察选项可得D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．
2．函数 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，结合导数的几何意义分析运算.
【详解】由题意可得： ，
则 ，可得 ，
所以函数 在 处的切线的斜率 ，倾斜角为 .
故选：B.
3．若函数 有极值点为0，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导后根据极值点处导函数为0可得 ，进而求解 即可.
【详解】 ，
函数 的极值点即方程 的实根，则 ，解得 ，此时0为 的
极小值点，所以 ，故 .
故选：B.
4．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
5．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数整理为 ，令 ，讨论 或 时 的单调性，当
时， 恒成立，当 时，根据单调性可得当 时 即 ，不满足题意，
从而可得答案.
【详解】 .
令 ，则 .
若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，
从而当 时， ，即 ，
若 ，则当 时， .
为增函数，而 ，从而当 时，
即 ，不合题意.
综上可得， 的取值范围为 .
故选：C
【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
6．已知奇函数 是定义在 上的连续可导函数，其导函数是 ，当 时， 恒成立，
则下列不等关系一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ，所以 ，即函数在 上单调递减，又 为奇
函数，所以 即 ，所以 ，故选C.
7．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
8．已知 是自然对数的底数，函数 ，若整数m满足 ，则所有满
足条件的m的和为（ ）
A．0 B．13 C．21 D．30
【答案】C
【分析】先讨论 时成立，再讨论 时，将 转化为 ，构造函数令 ，
进而通过研究函数 的图象与性质即可求出符合条件的m的值，然后将所有取值相加即可求出结果.
【详解】因为 ，当 时， 符合条件；当 时， ，即 或
，令 ，
当 时， ，当 时， ， 单调递增；当 时， ，单调递减；又因为 ， ， ，所以 均
满足；
当 时， ，令 ，则 ，所以 在
上单调递减，且 ，所以 ，即 ，
在 单调递增，又因为 时， ，且 ， ，
，所以 均满足；
所有满足条件的m的和 ，
故选：C.
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B．曲线 在 处的切线的斜率为0C．
D． 有1个极大值点
【答案】ABD
【分析】根据导函数为 的图象，结合导函数 与函数 的关系，以及函数的极值点的概念，
逐项判定，即可求解.
【详解】根据定义在区间 上的函数 的导函数 的图象，
对于A中，当 时， ，且仅当 时， ，所以 在 上单调递增，所
以A正确；
对于B中，当 时，可得 ，所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，所以B正确；
对于C中，因为 在 上单调递增，所以 不是函数 的最大值，所以C不正确；
对于D中，由 的图象，可得 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以只有当 时，函数 取得极大值，所以 有1个极大值点，所以D正确.
故选：ABD.
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则t的最小值为2
D．当 时，方程 有且只有两个实根
【答案】BD【分析】利用导数判断出函数 的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假．
【详解】 ，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，故函数 在 ， 上单调递减，当 时， ，
故函数在 上单调递增，
且函数 有极小值 ，有极大值 ，当 趋近负无穷大时， 趋近正无穷大，当
趋近正无穷大时， 趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
11．已知函数 有两个极值点 与 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由已知可知 有两个根，然后利用导数讨论 的极值，数形结合可得a，的范围，可判断A，B；将 代入 ，然后利用导数讨论其单调性，由单调性可判断C；由
变形可判断D.
【详解】函数 有两个极值点，只需 有两个变号零点，
即方程 有两个根.
构造函数 ，则 ，
当 且 时， ，当 时，
所以 在 和 上递减，在 上递增，
所以函数 的极小值为 ，且当 时， ，
所以，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，即函数 有两个极值点， 错；
对于 选项， 为直线 与函数 图象两个交点的横坐标，因为函数 在 上递减，在
上递增，且 ，故 B正确；对于 选项，由 ，从而 代入得 ，令 ，则
，故 在 上递减，故 对；
对于 选项，因为 ，由 可得 对.
故选：BCD.
12．若直线 与两曲线 、 分别交于 、 两点，且曲线 在 点处的切线为 ，曲线
在 点处的切线为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．存在 ，使 B．当 时， 取得最小值
C． 没有最小值 D．
【答案】ABD
【分析】求出直线 、 的方程，利用导数的几何意义结合零点存在定理可判断A选项；利用函数的最值
与导数的关系以及导数的几何意义可判断BC选项；利用对勾函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，由直线 与两曲线 、 分别交于 、 两点可知 ．
曲线 上 点坐标 ，可求导数 ，则切线 斜率 ，
曲线 上 点坐标 ，可求得导数 ，则切线 斜率 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理， 使 ，即 ，使 ，即 ，故A正确；对于BC选项， ，令 ，其中 ，则 ，
由A选项可知，函数 在 上为增函数，
且 ， ，
所以，存在 使得 ，即 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
故当 时， 取最小值，即当 时， 取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由 可得 ，则 ，
令 ，则函数 在 上为减函数，
因为 ， ， ，且 ，
又因为函数 在 上为增函数，所以， ，
所以， ，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求函数最值的方法：
（1）求函数 在闭区间 上的最值：
①求出函数 的导数 ；②解方程 ，求出使得 的所有点；
③计算出 在区间 上使得 的所有点以及端点的函数值；
④比较以上各个函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值.（2）求函数 在开区间或无穷区间上的最值：先求出函数在给定区间上的极值，再结合单调性、极值
情况、函数的正负情况作出函数的大致图象，结合图象观察分析得到函数的最值.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 ________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，求出切线方程，根据系数对应，求出 、 的值相加即可.
【详解】 ， ，
，
曲线 在 处的切线方程为 ，
则 ，解得 ，
.
故答案为：
14．若函数 ， 满足 ，且 ，则 ___________.
【答案】3
【分析】先求 ，再对 两边求导后令 可求 的值.
【详解】因为函数 ， 满足 ，且 ，
所以 ，则 ，对 两边求导，
可得 ，所以 ，因此 .
故答案为：3
15．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
16．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】直接求导得 ，再设新函数 ，首先讨论 的情况，当
时，求出导函数的极值点，则由题转化为 ，解出即可.
【详解】 ， ，
令 ,
函数 有两个极值点,则 在区间 上有两个实数根.
,
当 时, ,则函数 在区间 单调递增,
因此 在区间 上不可能有两个实数根,应舍去.
当 时,令 ,解得 .
令 ,解得 ,此时函数 单调递增;
令 ,解得 ,此时函数 单调递减.
当 时,函数 取得极大值.
当 趋近于0与 趋近于 时, ,
要使 在区间 上有两个实数根,只需 ,解得 .故答案为： .
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，探讨函数 极值点的个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)0.
【分析】（1）求出函数 及导数，再按 分类讨论求出单调区间作答.
（2）根据给定条件，讨论并去绝对值符号，再求出导数判断单调性即可作答.
【详解】（1）依题意， ， ，求导得 ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时，函数 的递增区间是 ，
当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
（2） ， ， ，
因为当 时， ，则 ，因此 ，
求导得： ，显然 ，于是 ，
从而 ，函数 在 上单调递增，无极值点，
所以函数 在 上的极值点个数为0.
18．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 有3个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不
同区间上的取值，
根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间．
（2）由条件，根据函数的单调性结合零点存在性定理可求 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为 ，
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间
（2）因为 有3个零点，所以 ，
又 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 ， ，
解得 ，
此时 ， ，
故函数 在区间 上各有一个零点，
即函数 在区间 上各有一个零点，满足要求；
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
19．已知函数 ， .
（1）当时 ，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1） ；（2）见解析【详解】试题分析：（1）分离参数法，转化为 .（2））由（1）得，当 时，有
，即 .所以只需证明 ，即证 ， .构造函数
可证．右边构造函数 可证．
试题解析：（1）由 ，得 .
整理，得 恒成立，即 .
令 .则 .
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴函数 的最小值为 .
∴ ，即 .
∴ 的取值范围是 .
（2）由（1），当 时，有 ，即 .
要证 ，可证 ， ，
即证 ， .
构造函数 .
则 .
∵当 时， .∴ 在 上单调递增.
∴ 在 上成立，即 ，证得 .∴当 时， 成立.
构造函数 .
则 .
∵当 时， ，∴ 在 上单调递减.
∴ ，即 .
∴当 时， 成立.
综上，当 时，有 .
【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当 时，有
，即 .要证 ，只需证 ， ，即证 ， .
同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形．
20．已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；
（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，
令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．21．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 是函数 的两个不同极值点，且满足： ，求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，就 、 、 、 分类讨论导数的符号后可得函数的单调
性；
（2）求出 ，则原不等式等价于 ，利用导数可证明该不等式.
【详解】（1）
可得 ， ，
①当 时，由 ， ，
此时 在 上为增函数，在 上为减函数；
②当 时， 恒成立，此时 在 上为增函数；
③当 时，由 或 ， ，
此时 在 上为增函数，在 上为减函数；
④当 时，由 或 ， ，
此时 在 上为增函数，在 上为减函数；
综上所述：当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数；
当 时， 在 上为增函数；
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数；
（2）由（1）可得： ， ，
，
欲证 ，即证 ，只需证 ，
记 ， ，
可得 ，即 在 为减函数，
∴ ，即 得证.
所以结论得证.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数 的单调性的步骤：
①写定义域，对函数 求导 ；
②在定义域内，解不等式 和 ；
③写出单调区间.
利用导数研究解决不等式恒成立问题的常用方法：
①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.
22．已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【答案】(1)(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有 ，解方程即得实数a的值；
（2）依题意 在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；
（3）求出函数 的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明 ，
只需证 ，构造函数 即可证得
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，由 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，
即 成立，
所以 成立.
【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代
换的技巧.
