文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.4 三元一次方程组的解法 教学设计
一、教学目标：
1.熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会解简单的三元一次方程组;
2.会用三元一次方程组的解法解决实际问题.
二、教学重、难点：
重点：解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组.
难点：熟练解三元一次方程组.
三、教学过程：
复习回顾
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法 消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元 化归、转化思想
知识精讲
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量
是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
这个问题中包含有____个等量关系：
10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张
10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍
10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元
设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12 ①
x=4y ②
10x+20y+50z=220 ③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
12
{x + y + z = ①¿ {x = 4y ②¿¿¿¿
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，
像这样的方程组叫做三元一次方程组.
12
{x + y + z = ①¿ {x = 4y ②¿¿¿¿
如何解三元一次方程组 ？
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即
三元一次方程组⃗消元二元一次方程组⃗消元一元一次方程
{5y+z= 12 ④¿¿¿¿
解：把②分别代入①③，得
{y=2¿¿¿¿
解这个方程组，得
把y=2代入②，得 x=8
{x
=
8 ¿{y
=
2
¿¿¿¿
因此，这个三元一次方程组的解为
典例解析
{3x + 4z = 7 ①¿ {2x + 3y + z = 9 ②¿¿¿¿
例1.解三元一次方程组
解：②×3+③，得 11x+10z=35 ④
{3x+4z=7 ①¿¿¿¿
①与④组成方程组
{x=5¿¿¿¿
解这个方程组，得
把x=5，z=-2代入②，得 2×5+3y-2=91
所以，y=3
{ 1
{x=5¿ y= ¿¿¿¿
3
因此，三元一次方程组的解为
你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
【针对练习】解下列三元一次方程组：
12
{x − 2y =− 9 ①¿ {y − z = 3 ②¿¿¿¿ {3x − y + z = 4 ①¿ {2x + 3y − z = ②¿¿¿¿
(1) (2)
解：(1)由①得，x=2y-9 ④
把④代入③得，2z+2y=56 ⑤
{y−z=3 ②¿¿¿¿
②与⑤组成二元一次方程组
{y= 15.5¿¿¿¿
解这个方程组，得
22 15.
{x
=
¿{y
=
5
¿¿¿¿
把y=12.5代入④得 x=22，因此
{5x+2y= 16 ④¿¿¿¿
解：(2)由①+②与②+③得二元一次方程组
{x=2¿¿¿¿
解这个方程组，得
{x
=
2 ¿{y
=
3
¿¿¿¿
把x=2，y=3代入③得 z=1，因此
例2.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c
的值.{a − b + c = 0 ①¿ {4a + 2b + c = 3 ②¿¿¿¿
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①得 a+b=1 ④；③-①得 4a+b=10 ⑤.
{a+b=1 ④¿¿¿¿
④与⑤组成二元一次方程组
{a=3¿¿¿¿
解这个方程组，得
{a
=
3 ¿{b
=−
2
¿¿¿¿
{a=3¿¿¿¿
把 代入①，得 c=-5. 因此，
即a，b，c的值分别为3，-2，-5.
1 1
【针对练习】甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的3等于丙数的2.
求这三个数.
35
{x y z ① {2x y 5 ②
+ + = ¿ − = ¿¿¿¿
解：设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.依题意得
10 15
{x
=
¿{y
= ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：甲、乙、丙三个数分别为10、15、10.
例3.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35单位的铁、70单位的钙
和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、
B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单
位）（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食
物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
{
5x+5 y+10z=35①
20x+10 y+10z=70②
5x+15 y+5z=35③
解：×4 - ，得 10y+30z=70 ④
-，得 10y-5z=0 ⑤
{10 y+30z=70④
④与⑤组成二元一次方程组
10 y−5z=0⑤
{y=1
解这个方程组，得
z=2
通过回代，得 x=2，y=1，z=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列方程组中，为三元一次方程组的是( )
{ a=1 {x+ y=2 {4x−3 y=7 {xy+z=3
A. b=2 B. y+z=1 C. 5x−2y=14 D. x+ yz=5
b−c=3 z+a=3 2x−y=4 az+ y=7
{
x+ y+z=0①
2.解三元一次方程组 3x+2y+z=10②，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
2x−y+z=0③
A．①+③ ，①×2﹣② B．①+③ ，③×2+②
C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，①×2﹣③{
a+b−c=1①
3.解三元一次方程组 a+2b−c=3② 具体过程如下:
2a−3b+2c=5③
(1)②-①,得b=2 ④
(2)①×2+③，得4a-2b=7 ⑤
{ b=2④
(3)④与⑤组成二元一次方程组
4a−2b=7⑤
(4)把④代入⑤，得4a-2×2=7(以下求解过程略) .
其中错误的一步是( )
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
{
x+ y=5
4.已知 y+z=−2，则x+y+z=_____.
z+x=3
_____________
{
5.将x+3y=y-2z=x+z=5改写成方程组的形式 _____________
_____________
6.如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子互为相反数，则可列
_____________
{
得方程组: _____________
_____________
7．解方程组:
{
x+ y+z=4①
{
x+ y+z=6①
(1) 2x−y+z=3② (2) 2x+ y−z=1②
3x−2y−3z=−5③ y=x+1③
8.一个三位 数的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如
果把百位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数小198,求这个三位数.
9.我国古代数学专著《九章算术》中有一题:用卖2头牛、5头羊的钱买13头猪，剩钱1000;
用卖3头牛、3头猪的钱买9头羊，钱正好;用卖6头羊、8头猪的钱买5头牛,还差钱600，
求牛、羊、猪每头的价钱是多少?【参考答案】
1. A
2. C
3. B
4. 3
{
x+3 y=5
5. y−2z=5
x+z=5
{x−z+3=0
6. y+2x−5=0
5−z+ y+1=0
7.(1)解：②−①，得：x−2y=−1，
③+3×②，得：9x−5 y=4，
{x−2y=−1
解方程组 ，
9x−5 y=4
{x=1
解得： ，
y=1
{x=1
将 代入①，得：1+1+z=4，
y=1
解得：z=2，
{x=1
∴原方程组的解为： y=1
z=2
(2)解：①+②得：3x+2y=7④，
把③代入④得：3x+2(x+1)=7，
解得：x=1，
把x=1代入③得：y=1+1=2，
把x=1，y=2代入①得：1+2+z=6，
解得：z=3，
{x=1
∴原方程组的解为： y=2
z=3
8.解:设这个数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，依题意，得{
x+ y+z=17
x+ y=z+3
100x+10 y+z−(100z+10 y+x)=198
{x=9
解得， y=1
z=7
答:这个三位数是917.
9.解:设每头牛价钱x，每头羊价钱y，每头猪价钱z，依题意，得
2x+5y=13z+1000
{
3x+3z=9 y
6 y+8z=5x−600
{x=1200
解得， y=500
z=300
答:每头牛、羊、猪价钱分别为1200，500，300.
四、教学反思：
通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学
过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想.感受数学知识之间的密切联
系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯.
