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第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
一、温故知新（导）
{2x+ y=3①
1、解方程组：
3x+ y=4②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
加减法或代入法
也就是说：解二元一次方程组，用“ 消元 ” 的思想，通过加减法或代入法，把“ 二元
”转化为“ 一元 ”，从而得解.
{
x−y+z＝0①
2、思考： 4x+2y+z＝3② 该怎么解？
25x+5 y+z＝60③
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想；
2、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重难点
重点：掌握三元一次方程组的解法；
难点：三元一次方程组如何化归到二元一次方程组.
二、自我挑战（思）
1、小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸
币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
三个未知量：
1元纸币的数量x张
2元纸币的数量y张
5元纸币的数量z张
等量关系，用方程表示等量关系.
（1）1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12
x+y+z=12①
(2)三种纸币的总钱数=22
x+2y+5z=22②
(3)1元纸币的数量=4倍的2元纸币的数量
x=4y③问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
①和②是三元一次方程，③是二元一次方程.
2、因为三种纸币的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
{
x+ y+z=12①
x+2y+5z=22②
x=4 y③
在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三
个方程，像这样的方程组叫做 三元一次方程 组.
三、互动质疑（议、展）
1、组成三元一次方程组的三个一次方程中，每一个一次方程都含有三个未知数吗？
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
2、什么叫三元一次方程组的解？
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中 各个方程 的公共解，叫做这个三元一次方程组的
解.
3、能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 从而解这个三元一次方程组呢？
能，把③分别代入①②，得到两个只含y、z的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
{5 y+z=12
6 y+5z=22
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而求出x.
4、归纳总结：
从上面的分析可以看出.解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元 ，
把 “三元” 转化为 “二元” ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再
转化为解 一元一次方程 .
思路：
5、实例：
{
3x+4z=7①
例1 解三元一次方程组 2x+3 y+z=9②
5x−9 y+7z=8③
解：②×3+③，得
11x+10z=35 ④
①与④组成方程组
{ 3x+4z=7
11x+10z=35
解这个方程组，得
{ x=5
z=−2
把x=5，y=-2代入②，得
2×5+3y-2=9，1
所以y= .
3
因此，这个三元一次方程组的解为
x=5
{
1
y=
3
z=−2
例2 在等式y=ax2＋bx＋c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值．
{
a−b+c=0①
解：根据题意，得三元一次方程组 4a+2b+c=3②
25a+5b+c=60③
②-①，得
a+b=1 ④
③-①，得
4a+b=10 ⑤
④与⑤组成方程组，得
{ a+b=1
4a+b=10
解这个方程组，得
{ a=3
b=−2
{ a=3
把 代入①，得
b=−2
c=-5
因此
{
a=3
b=−2
c=−5
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
{
3x+4z＝7
1、方程组 2x+ y+z＝9 的解是（ ）
3x−3 y+7z＝−2
{
x=5
{
x=5 {x=−5 {x=4
A． y=−1 B． y=1 C． y=1 D． y=0
z=2 z=−2 z=2 z=3
{
3x+4z＝7①
1、解： 2x+ y+z＝9② ，
3x−3 y+7z＝−2③
②×3+③，得9x+10z=25④，{ 3x+4z＝7
由①和④组成一个二元一次方程组： ，
9x+10z＝25
{ x=5
解得： ，
z=−2
{ x=5
把 代入②，得10+y-2=9，
z=−2
解得：y=1，
{
x=5
所以方程组的解是 y=1 ，
z=−2
故选：B．
{x−y+z＝−3①
2、解三元一次方程组 x+2y−z＝1②要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
x+ y＝0③
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
{x−y+z＝−3①
2、解：解三元一次方程组 x+2y−z＝1②要使解法较为简便，首先应进行的变形为
x+ y＝0③
①+②．
故选：A．
{2x−3 y+2z＝2①
3、解方程组 3x+4 y−2z＝5②，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组
4x+5 y−4z＝2③
{5x+ y＝7
，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
8x−y＝6
{ ①+② { ①+② { ①+② {②×2−③
A． B． C． D．
①×2+③ ②×2−③ ①×2−③ ①×2+③
3、解：A．①+②得5x+y=7，①×2+③得8x-y=6，故A正确；
B．①+②得5x+y=7，②×2-③得：2x+3y=8，故B错误；
C．①+②得5x+y=7，①×2-③得-11y+8z=2，故C错误；
D．①×2-③得-11y+8z=2，①×2+③得8x-y=6，故D错误；
故选：A．
{ x+ y＝5
4、三元一次方程组 y+z＝−1的解是 .
x+z＝−2
{ x+ y＝5①
4、解： y+z＝−1②，
x+z＝−2③
①+②+③得：2x+2y+2z=2，
整理得：x+y+z=1④，
把①代入④得：5+z=1，
解得：z=-4，
把②代入④得：x-1=1，
解得：x=2，把③代入④得：y-2=1，
解得：y=3，
{
x=2
则方程组的解为 y=3 ．
z=−4
{4x−3 y−6z＝0 x
5、已知 ，则 = .
x+2y−7z＝0 y
{4x−3 y＝6z①
5、解：方程组整理得： ，
x+2y＝7z②
②×4-①得：11y=22z,
解得：y=2z,
把y=2z代入②得：x+4z=7z,
解得：x=3z,
x 3Z 3 3
则 = = ．故答案为： ．
y 2Z 2 2
6、已知y=ax2+bx+c.当x=3时，y=0；当x=-1时，y=0；当x=0，y=3；求a、b、c的值．
{
a−b+c＝0①
6、解：由题意得： c＝3②
9a+3b+c＝0③
{ a−b+3＝0④
将c=3代入①，③中得： ，
9a+3b+3＝0⑤
由④×3+⑤得：12a+12=0，
解得：a=-1，
将a=-1代入④中得：-1-b+3=0，
解得：b=2，
即a=-1，b=2，c=3．
六、用
（一）必做题
{5x+4 y−3z＝1
1、观察方程组 2x−2y+5z＝11的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（ ）
7x+2z＝6
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
1、解：方程①+②×2可直接消去未知数y,
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去 y,
故选：B．
{x+ y−z＝8
2、方程组 y+z＝1 的解是（ ）
x−z＝−2
{
x=7 {x=5 {x=5 {x=−11
A． y=−8 B． y=1 C． y=3 D． y=10
z=9 z=2 z=3 z=−9{x+ y−z＝8①
2、解： y+z＝1② ，
x−z＝−2③
②+③得：x+y=-1④，
把④代入①得-1-z=8，
解得：z=-9，
把z=-9代入②得：y=10，
把z=-9代入③得：x=-11，
{x=−11
则方程组的解为 y=10 ．故选：D．
z=−9
3、已知x+y=1，y+z=5，x+z=6，则xyz等于（ ）
A．0 B．7 C．8 D．9
{x+ y＝1①
3、解：由题意得： y+z＝5②，
x+z＝6③
①+②+③，得2x+2y+2z=12，
x+y+z=6④，
④-①，得z=5，
④-②，得x=1，
④-③，得y=0，
所以xyz=1×0×5=0，
故选：A．
{x+2y＝3
4、如果 y+2z＝5，则x+y+z的值为 ．
2x+z＝4
4、解：把三个方程相加可得：
3x+3y+3z=12，
所以x+y+z=4，
故答案为：4．
5、若对于有理数x和y,定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c,其中a、b、c为常数．已知
3△5=15，7△3=-5，求5△4的值 ．
5、解：∵3△5=15，7△3=-5，
{3a+5b+c＝15①
∴ ，
7a+3b+c＝−5②
①+②，可得：10a+8b+2c=10，
∴5a+4b+c=5，
∴5△4=5a+4b+c=5，
故答案为：5．
3
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的
4
数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
6、解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.3
{ y= z
4
由题意，得
x+ y=z+1
100z+10 y+x=100x+10 y+z+495
{x=3
解得 y=6
z=8
所以原三位数是368.
（二）选做题
7、水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能
力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8200元，问分别需甲、乙两种车型各
几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少 1辆），已
知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
{ 5x+8 y＝120
7、解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： ，
400x+500 y＝8200
{ x=8
解得 ．
y=10
答：需甲车型8辆，乙车型10辆；
{ x+ y+z＝16
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得： ，
5x+8 y+10z＝120
2
消去z得5x+2y=40，x=8- y,
5
因x,y是正整数，且不大于14，得y=5，10，
{x=6 {x=4
由z是正整数，解得 y=5， y=10，
z=5 z=2
当x=6，y=5，z=5时，总运费为：6×400+5×500+5×600=7900 元；
当x=4，y=10，z=2时，总运费为：4×400+10×500+2×600=7800 元＜7900元；
∴运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．
8、甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果
他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔 10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从
同一地点同向而行，那么 5分钟后甲在乙的前方 200米，并且他们的相遇规律变成了每隔 100
分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
8、解：设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，环形道路的长度为s米，{ 10x+10 y＝s
依题意得： 5x−5 y＝200 ，
100x−100 y＝s
{x＝220
解得： y＝180．
s＝4000
答：甲的速度为220米/分，环形道路的长度为4000米．
