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8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 学案
课题 8.3.3 实际问题与二元 单元 第8单元 学科 数学 年级 七年级
一次方程组（3） 下册
1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.
2.能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组．
学习
3.感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力，体会数形结合
目标
的思想．
重点 分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 ．
难点 感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力．教学过程
导入新课 【引入思考】
上一节课我们重点研究如何建立二元一次方程组解决几何图形问题.今天我们继续
深入探究稍复杂的实际问题与二元一次方程组.
请同学们回顾一下，你是如何列出方程组解决实际问题的？
新知讲解 提炼概念
（1）在什么情况下间接设未知数？
当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．
（2）如何解决信息量较大的实际问题？
可以借助表格或者图例解决问题
典例精讲
例 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨
1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，
铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这
批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须
知道什么？
问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题
涉及哪两类量呢？
问题3 你能完成下面的表格吗？
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费 1.5×20x 1.5×20x 15000
（元）
铁路运费 1.5×20x 1.5×20x 97200
（元）价值（元） 8000x 1000y
问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
问题5 这个实际问题的答案是什么？
归纳总结：
（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？
（2）如何更好地分析“探究”这样数量关系比较复杂的实际问题？
课堂练习 巩固训练
1.一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租
用这两种货车的记录如下表．
甲种货车 乙种货车（辆） 总量
（辆） （吨）
第一次 4 5 28.5
第二次 3 6 27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问
菜农应付运费多少元？
2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已
知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所
示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所
需仪器，而且运费正好够用.
3.某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回
公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支
出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？
水路 陆路
从甲地到公司（千米） 20 30
从公司到乙地（千米） 10 40
运价：元/(吨·千米) 2 1
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种
植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的
资金如下表：作物品 每公顷所需人 每公顷投入资
种 数 金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种
植,且资金正好够用？
答案
引入思考
提炼概念
典例精讲
问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须
知道什么？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数
量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题
涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；
另一类是产品数量，原料数量．
问题3 你能完成下面的表格吗？
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费 1.5×20x 1.5×20x 15000
（元）
铁路运费 1.5×20x 1.5×20x 97200
（元）
价值（元） 8000x 1000y
问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
解得：
问题5 这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000；
原料费：1 000×400=400 000；
运输费：15 000+97 200=112 200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．巩固训练
1.解：设甲种货车每辆可运x吨，乙种货车每辆可运y吨 。根据题意，得
所以（5×4＋2×2.5）× 20 ＝ 500
答：菜农应付运费500元．
2.解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解得
答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
3.解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y 吨，则
解得
答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.
4.解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷
根据题意可列出方程组：
解得
故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷
人员安排为为：
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8
人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
课堂小结 回顾本节课的学习过程回答以下问题：
（1）本节课你有哪些收获？
（2）列方程解决实际问题的一般过程是什么？
1. 掌握间接设未知数解决问题的方法。
2. 在解决数量关系比较复杂的问题时，可借助图例或表格对相关信息进行分类整理。
3. 掌握解决实际问题的建模思想。
