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第八章 二元一次方程组
第2课时8.3 实际问题与二元一次方程组
一、温故知新（导）
1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的 等量关系 ；
(2)设元：用 字母 表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据 2 个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用 代入消元 法或 加减消元法 解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
2、练习：
（1）2022年世界杯足球赛举世瞩目，某大型企业为奖励年度优秀员工，预定了小组赛和决赛两个
阶段的门票共20张作为奖品，总价为74000元．已知小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400
元，设该企业预定了小组赛门票x张，决赛门票y张，根据题意可列方程组为（ ）
{ x+ y＝20 { x+ y＝20
A． B．
2800x+6400 y＝74000 6400x+2800 y＝74000
{ x−y＝20 { x+ y＝20
C． D．
2800x+6400 y＝74000 6400 y＝74000+2800x
（1）解：∵小组赛和决赛两个阶段的门票共 20张作为奖品，
∴x+y=20；
∵小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，总价为74000元，
∴2800x+6400y=74000．
{ x+ y＝20
∴根据题意可列方程组 ．
2800x+6400 y＝74000
故选：A．
（2）一个长方形，它的长减少4 cm，宽增加2 cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面
积相等，求原长方形的长与宽. 设长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列方程组 .
（2）解：解法1、∵长方形的长方形的的长减少 4cm,宽增加2cm,所得的是一个正方形，
∴x-4=y+2；
∵这两个图形的面积相等，
∴xy=（x-4）（y+2），
即x-2y-4=0．
{ x−4＝y+2
∴根据题意可列方程组 ．
x−2y−4＝0
解法2、如图：由图可得方程组为{x−4＝y+2
2(x−4)=4 y
故答案为：{ x−4＝y+2 或{x−4＝y+2．
x−2y−4＝0 2(x−4)=4 y
今天我们继续学习用二元一次方程组解决实际问题，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1．体会一题多解，学习从多种角度考虑问题．
2．读懂并找出简单的实际问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答．
学习重难点
重点：会从多种角度考虑用列方程组的方法解决实际问题．
难点：会找出简单的实际问题中的数量关系．
二、自我挑战（思）
1、据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2．现要把一块长200m、宽100m的长
方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物
的总产量的比是3：4？
分析：如图8.3-1，
一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE.此时设 AE=xm，
BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组
{ x+ y=200
100x：(2×100 y）= 3:4
解这个方程组，得
{x=120
y=80
答：过长方形土地的长边上离一端 120m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.
较大的一块土地种 甲 种作物，较小的一块种 乙 种作物.
2、你还有其它种植方案吗？
可以把长方形的土地横着划分成两个长方形.（如图8.3-2）三、互动质疑（议、展）
1、你如何按图8.3-2的划分种植甲、乙两种作物？写出你的方案.
解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形CDEF和ABFE.此时设DE=xm，AE=ym，根据问题中
涉及长度、产量的数量关系，列方程组
{ x+ y=100
200x：(2×200 y）= 3:4
解这个方程组，得
{x=60
y=40
答：过长方形土地的短边上离一端 60m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.
较大的一块土地种 甲 种作物，较小的一块种 乙 种作物.
2、实例：
例１．木工厂有28个工人，每个工人一天加工桌子数与加工椅子数的比是9：20，现在如何安排劳
动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？
解：设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子.
{ x+ y=28
根据题意，得
4×9x=20 y
解得
{x=10
y=18
答：安排10个工人加工桌子，18个工人加工椅子，使生产的一张桌子与4只椅子配套.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、童装车间有55名工人，缝制一种儿童套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天
可缝制童装上衣5件或裤子3条，设x名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤
子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
{x+ y＝55 {x+ y＝55 { x+ y＝55 { x+ y＝55
A． B． C． D．
5x＝3 y 2x＝y 2×5x＝3 y 5x＝2×3 y
1、解：∵童装车间有55名工人，
∴x+y=55；
∵1名工人一天可缝制童装上衣 5件或裤子3条，且2件上衣和1条裤子配成一套，
∴5x=2×3y.{ x+ y＝55
∴根据题意可列二元一次方程组 ．
5x＝2×3 y
故选：D．
2、如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形 ABCD，若CD=21，则小长方形的面积为（
）
A．80 B．90 C．610 D．630
2、解：设小长方形的长为x,宽为y,
{x+ y＝21
根据题意得： ，
2x＝5 y
{x＝15
解得： ，
y=6
∴xy=15×6=90，
∴小长方形的面积为90．
故选：B．
3、两个角的大小之比是7：3，它们的差是72°，则这两个角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定
{x：y＝7：3
3、解：设这两个角分别是x°，y°，根据题意得： ，
x−y＝72
{x=126
解得： ，
y=54
则这两个角互补．
故选：C．
4、解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的
意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只
走了600里，试求风的速度为 ．
4、解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得{4(x+ y)＝1000，
4(x−y)＝600
{x=200
解得 ．
y=50
答：风的速度为50里/分钟．
故答案为：50里/分钟．
5、小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．
小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图 2那样的正方形．“咳，怎么
中间还留了一个洞，恰好是边长为 2mm的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽
．5、解：设这些长方形的长为x mm,宽为y mm,
{3x＝5 y
依题意得： ，
x+2＝2y
{x=10
解得： ，
y=6
∴这些长方形的长和宽为10mm和6mm.
故答案为：10mm和6mm.
6、某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为 20 元/件，售价为 30 元/件；乙种商品
进价为50元/件，售价为80元/件．现商场用 13000元购进这两种商品并全部售出，两种商品
的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
6、解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件，
根据题意，得{ 20x+50 y＝13000 ，
(30−20)x+(80−50)y＝7500
{x=150
解得 ，
y=200
答：该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件．
六、用
（一）必做题
1、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是 7，若十位上的数与个位上的数对换，得到
的两位数与原来的两位数的差是 9，则现在的两位数是（ ）
A．43 B．34 C．25 D．52
1、解：设原来的两位数个位上的数是 x,十位上的数是y,
{ x+ y＝7
根据题意得， ，
10x+ y−(10 y+x)＝9
解得：x=4，y=3，
答案为43，
故选：A．
2、如图，在长为20m,宽为16m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向修建三个相同
的小长方形花圃，则每个小长方形的面积是（ ）A．24m2 B．32m2 C．40m2 D．48m2
2、解：设小长方形的长为x m,宽为y m,
{2x+ y＝20
则根据图形可得， ，
2y+x＝16
{x=8
解得 ，
y=4
∴小长方形的面积为：4×8=32（m2）．
故选：B．
3、某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓 15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个
螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数
分别为（ ）
A．50人，40人 B．30人，60人
C．40人，50人 D．60人，30人
3、解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，
{ x+ y＝90
根据题意，得： ，
2×15x＝24 y
{x=40
解得： ，
y=50
即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，
故选：C．
4、假设某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为
80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放 2个进口和3个出口，8小时
车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满2019年元且节期间，由
于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口
和1个出口，则从早晨7点开始经过 小时车库恰好停满．
4、解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a,由题意得：
{8(2x−3 y)＝80%a，
2(3x−2y)＝80%a
{x＝0.2a
解得： ，
y＝0.1a
∵早晨7点时的车位空置率变为60%，
∴60%a÷（2×0.2-0.1）a=2小时，
答：从早晨7点开始经过2小时车库恰好停满．
故答案为：2．
5、海南的三月伊始，芒果已经飘香，小明家有两块地种芒果，去年共收芒果 5000 千克，今
年在农业专家的种植指导下共收获芒果 5600 千克，已知第一块芒果园的产量比去年增加10%，第二块芒果园的产量比去年增加15%，问这两块芒果园今年收获芒果各多少千克？
5、解：设第一块芒果园去年收获芒果x千克，第二块芒果园收获芒果y千克，
则第一块芒果园今年收获芒果（1+10%）x千克，第二块芒果园收获芒果（1+15%）y千克，
由题意得：{ x+ y＝5000 ，
(1+10%)x+(1+15%)y＝5600
{x=3000
解得： ，
y=2000
∴（1+10%）x=1.1×3000=3300，（1+15%）y=1.15×2000=2300，
答：第一块芒果园今年收获芒果3300千克，第二块芒果园收获芒果2300千克．
（二）选做题
6、某校八年级为了奖励在“诗词大赛”中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒．
甲、乙两种盲盒原来的单价和为 25 元．因市场变化，甲种盲盒降价 20%，乙种盲盒提价
20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了 4%．甲、乙两种盲盒原来的单价各
是多少元？
6、解：设甲盲盒原来的单价是x元，乙盲盒原来的单价是y元，
根据题意得：{ x+ y＝25 ，
(1−20%)x+(1+20%)y＝25×(1−4%)
{x=15
解得： ．
y=10
答：甲盲盒原来的单价是15元，乙盲盒原来的单价是10元．
7、甲乙两人从相距40千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后1.5小
时相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么在甲出发后 2 小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少
千米？
7、解：设甲的速度是x千米/时，乙速度是y千米/时，
依题意得：{(2+1.5)x+1.5 y＝40，
2x+(2+2)y＝40
100
{ x=
解得： 11 ，
60
y=
11
100 60
答：甲的速度是 千米/每小时，乙的速度是 千米/每小时．
11 11
