文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 教学设计
一、教学目标：
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题;(重点)
2.学会利用二元一次方程组解决行程等问题.(重点、难点)
二、教学重、难点：
重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
三、教学过程：
复习回顾
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
试一试
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租
用这两种货车的情况如下表：
甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 总量(吨)
第一次 4 5 28.5
第二次 3 6 27
问：甲、乙两种货车每辆各装货多少吨？
解：设甲、乙两种货车每辆分别装货x吨、y吨，根据题意，列得方程组
{4x+5y= 28.5¿¿¿¿ {x=4¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：甲种货车每辆装货4吨，乙种货车每辆装货2.5吨.
知识精讲探究：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000
元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运
价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品
的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
讨论：
(1)购进的原材料与制成的成品在质量上一样重吗？
正常情况下生产都会有损耗或是残渣，所以原材料与成品质量不一样重.
(2)运费的单位“元/(t·km)”的含义.
运费=运价×数量(t)×里程数(km)
(3)15000元的公路运费是如何算出来的？
原料从A地运往工厂的公路运费+产品从工厂运往B地的公路运费=15000
(4)97200元的铁路运费是如何算出来的？
原料从A地运往工厂的铁路运费+产品从工厂运往B地的铁路运费=97200
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量
和原料数量都有关. 因此设_______________________.
产品xt 原料yt 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
解：设制成x t产品，购买y t原料.由上表，列得方程组
{1.5·20x+1.5·10y= 15000 ¿¿¿¿ {x= 300 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
销售款-(原料费+运输费)=8000x-(1000y+15000+97200)=1887800(元)
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
典例解析例1.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，
下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走 40m，则他从家里到学校需 10min，从学校到家里需
15min.小华家离学校多远？
分析：等量关系：
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min，
走上坡路的时间+走平路的时间=15 min．
直接设元法：
设小华家到学校平路长 x m，下坡路长 y m.
解：设小华家到学校平路长 x m，下坡路长 y m.
x y
{ + =10
60 80
根据题意，可列方程组
x y
+ =15
60 40
{x=300
解方程组，得
y=400
答：小华家到学校的距离为 700 m.
间接设元法：
设小华下坡路所花时间为 x min，上坡路所花时间为 y min.
解：设小华下坡路所花时间为 x min，上坡路所花时间为 y min.
{60(10−x)=60(15−y)
根据题意，可列方程组
80x=40 y
{ x=5
解方程组，得
y=10故平路距离为 60×(10-5)=300(m)，
坡路距离为 80×5=400(m).
答：小华家到学校的距离为 700 m.
【针对练习】小颖家离学校共1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她跑步去学
校共用了16分，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上平均速度
是12千米/时.小颖上坡、下坡各用了多长时间？
解：设小颖上坡用了x分，下坡用了y分，根据题意，列得方程组
{
x+ y=16
x y 1880
4.8× +12× =
60 60 1000
{x=11
解这个方程组，得
y=5
答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟.
例2.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，
某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车
的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），
请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售 1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，
在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多
少元？
(1)解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
{2a+3b=80
由题意可得
3a+2b=95
{a=25
解得
b=10
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
(2)解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n=180且m>0，n>0，
{m=2 {m=4 {m=6
解得 或 或
n=13 n=8 n=3∴该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
(3)解：当m=2，n=13时，获得的利润为：8000×2+6000×13=94000（元），
当m=4，n=8时，获得的利润为：8000×4+6000×8=80000（元），
当m=6，n=3时，获得的利润为：8000×6+6000×3=66000（元），
由上可得，最大利润为94000元，
∴购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大值为94000元．
【针对练习】已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物，一次可运货10t；用1辆A型车和2
辆B型车装满货物，一次可运货11t．某物流公现有31t货物，计划同时租用A型车a辆和B
型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物（a、b 均不为0）．根据以上信息，解答下
列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物，一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
(3)若A型车每辆的租金为100元/次，B型车每辆的租金为120元/次，请选出最省钱的租车
方案，并求出最少的租车费用．
（1）解：设1 辆 A 型车一次运x吨，1 辆B型车一次运y吨，
{2x+ y=10
由题意得
x+2y=11
{x=3
解得
y=4
答：1 辆 A 型车一次运3吨，1 辆B型车一次运4吨；
（2）解：由题意得：3a+4b=31，
31−4b
∴a= ，
3
∵a、b均为正整数，
∴a=9，b=1；a=5，b=4；a=1，b=7；
∴共有三种租车方案：
①租A型车9辆，B型车1辆，
②租A型车5辆，B型车4辆，③租A型车1辆，B型车7辆；
（3）解：方案①的费用为：9×100+1×120=1020（元），
方案②的费用为：5×100+4×120=980（元），
方案③的费用为：1×100+7×120=940（元），
∵1020>980>940，
∴最省钱的租车方案为方案③，租车费用为940元．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.小红家离学校1500米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了18分钟，
假设小红上坡路的平均速度是2千米/时，下坡路的平均速度是3千米/时，若设小红上坡用了
x分钟，下坡用y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
{ 2 3 { 2 3
A.
{2x+3 y=1500
B. 60
x+
60
y=1.5
C
{2x+3 y=15
D. 60
x−
60
y=1.5
x+ y=18 x+ y=18
x+ y=18 x+ y=18
2.甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在 300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔
20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，
乙每秒跑y米，则可列方程为（ ）
A.
{x+ y=300
B.
{x+ y=20
C.
{ 20x+20 y=300
D.
{20x+300 y=300
x−y=20 x−y=300 300x−300 y=300 300x−20 y=300
3.张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去 11根，
就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上
等草一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
A.
{5 y−11=7x
B
{5x+11=7 y
C
{5x−11=7 y
D.
{7x−11=5 y
7 y−25=5x 7x+25=5 y 7x−25=5 y 5x−25=7 y
4.如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建
等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，
那么连续搭建的等边三角形的个数是（ ）
A．291 B．292 C．293 D．2945.如图，飞腾公司从 A 地购进原料若干吨，加工成产品后销往 B 地.已知公路运费为 1.5
元/（t·km），铁路运费为 1 元/（t·km），飞腾公司共支付公路运费 750 元，铁路运费
4000 元.根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往 B 地的产品为多少吨？
6.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作
物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且
资金正好够用？
【参考答案】
1. B
2. C
3. C
4. C
5.解：设购进原料 x t，加工后销往 B 地的产品为 y t.
解得
答：购进原料20t.加工后销往B地的产品为10t6.解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷.
{5x+4 y=18
根据题意可列出方程组
1.5x+ y=5
{x=2
解方程组，得
y=2
故，承包田地的面积为： x+y=4 (公顷)
人员安排为为： 5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人
种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
四、教学反思：
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学
信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识.并且通过
对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们节约和有效合理利用资源的意识.
