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第八章 二元一次方程组
第1课时8.3 实际问题与二元一次方程组
一、温故知新（导）
1、你还记得列一元一次方程解应用题的步骤吗？
列一元一次方程解应用题的步骤：（1）设未知数；（2）列方程；（3）解方程；（4）检验
所的结果；（5）确定答案.
2、前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题.那么如何列
二元一次方程组解决实际问题呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重
难点。
学习目标
1、知道用方程组解决实际问题的一般步骤．
2、会找出简单的实际问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答．
学习重难点
重点：会用列方程组的方法解决实际问题；
难点：会找出简单的实际问题中的数量关系．
二、自我挑战（思）
1、养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，
这时1天约用饲料940kg,饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg,每头小牛1天约需饲料
7～8kg,你能否通过计算检验他的估计？
分析：设若每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg，根据两种情况的饲料用量，找出相等
关系，列方程组
{30x+15 y=675
42x+20 y=940
解这个方程组，得
{x=20
y=5
这就是说，每头大牛1天约需饲料 2 0 kg，每头小牛1天约需饲料 5 kg.因此，饲养员李大叔对
大牛的食量估计 较准确 ，对小牛的食量估计 偏高 ．
2、结合探究一和你的经验谈一下估算在计算中的作用．
①有利于提高判断、选择的能力；②有利于培养做事的计划性；③估算对后续的数学学习有
重要作用。
三、互动质疑（议、展）
1、 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知
甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大
叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
分析：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；甲饲养员负责的大牛数+乙饲养员负责的大牛数=42
甲饲养员负责的小牛数+乙饲养员负责的小牛数=20
（2）设： 设未知数；
设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，
（3）列方程组： 根据题目中的等量关系列出方程组
{8x+5 y=42
4x+2y=20
（4）解这个方程组求出未知数的值
{x=4
y=2
（5）检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
2、类比列一元一次方程解应用题的步骤，总结列二元一次方程组解应用题的一般步骤.
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的 数量关系 ；
(2)设元：用 字母 表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据 2 个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用 代入消元 法或 加减消元 解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
3、实例
例1 化肥厂往某地区发运了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和25辆卡车，共运走了640t；
第二批装满了12节火车车厢和10辆卡车，共运走了760t.平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化
肥多少吨？
解：设平均每节火车车厢装运化肥xt，每辆卡车装运化肥yt.根据题意，得
{9x+25 y=640
12x+10 y=760
解得
{x=60
y=4
答：平均每节火车车厢装运化肥60t，每辆卡车装运化肥4t.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（
）
A．12张 B．14张 C．20张 D．21张
1、解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得：
{ x+ y＝33
，
100x+20 y＝1620
{x=12
解得： ，
y=21即面额100的人民币有12张．
故选：A．
2、根据图中所给信息，可知一只玩具猫的价格为（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
2、解：设一只玩具猫的价格为 x元，一只玩具狗的价格为y元，
{x+2y＝63
根据题意得： ，
2x+ y＝57
{x=17
解得： ．
y=23
故选：A．
3、某校学生去看电影，如果每辆汽车坐 60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则
15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数各是多少？（ ）
A．230人、6辆 B．240人、5辆
C．240人、8辆 D．250人、7辆
3、解：设一共x人，y辆汽车，
{60 y−x＝60
根据题意得： ，
x−45 y＝15
{x=240
解得： ．
y=5
答：一共240人，5辆汽车．
故选：B．
4、2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩．湖边有大小两种游船，小华发现：2
艘大船与3艘小船一次共可以满载游客 60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客 26人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
4、解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
{2x+3 y＝60
依题意得： ，
x+ y＝26{x＝18
解得： ，
y＝8
即1艘大船可以满载游客的人数为 18人，
故答案为：18人．
5、小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好 3岁；你到我
这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
5、解：设小明和老师今年的年龄分别为 x岁、y岁，
{ y−x＝x−3
由题意得： ，
42−y＝y−x
{x＝16
解得： ，
y＝29
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
6、为丰富学生的课余生活，某中学计划购买若干篮球和足球．据了解，买 6个篮球和10个足
球需要 1700 元；买 10 个篮球和 20 个足球需要 3100 元．求每个篮球和每个足球的价格分别
是多少元？
6、解：设每个篮球的价格是x元，每个足球的价格是y元，
{6x+10 y＝1700
由题意得： ，
10x+20 y＝3100
{x＝150
解得： ，
y＝80
答：每个篮球的价格是150元，每个足球的价格是80元．
六、用
（一）必做题
1、用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式的两种无盖纸盒．
现有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，如果制作竖、横式两种纸盒若干个，恰好将
纸板用完，那么制作的竖式礼盒有（ ）
A．200个 B．400个 C．600个 D．800个
1、解：设制作的竖式礼盒有x个，横式纸盒有y个，恰好将纸板用完，
{ x+2y＝1000
根据题意得： ，
4x+3 y＝2000
{x=200
解得： ，
y=400
即制作的竖式礼盒有200个，
故选：A．
2、在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中
AB=7cm,BC=11cm,则阴影部分图形的总面积为（ ）cm2A．27 B．29 C．34 D．36
2、解：设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
{x+3 y＝11
根据题意，得： ，
x+ y＝7
{x=5
解得： ，
y=2
∴每个小长方形的面积为2×5=10（cm2），
∴阴影部分的面积=7×11-5×10=27（cm2），
故选：A．
3、小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买 20支签字
笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺 25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的
钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
3、解：设签字笔的单价为x元，小江身上的钱为y元，
{20x+15 y＝y+25
由题意得： ，
19x+12x＝y−15
{ x=10
解得： ，
y=325
∴小江购买17支签字笔和9本笔记本的费用为：17x+9x=26x=26×10=260（元），
∴小江身上的钱会剩下：325-260=65（元），
故选：B．
4、塑料凳子轻便实用，在人们生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为
55cm,5支塑料凳子叠放在一起的高度为 65cm,当有10支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高
度是 cm.
4、解：设1支塑料凳子的高度为x cm,每叠放1支塑料凳子高度增加y cm,
{x+2y＝55
依题意得： ，
x+4 y＝65
{x=45
解得： ，
y=5
∴x+9y=45+9×5=90，
∴10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 90cm.
故答案为：90．
5、九年二班计划购买A、B两种相册作为毕业礼品，已知 A种相册的单价比B种相册的单价
多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同，求A、B两种相册的单价分别是多
少元？
5、解：设A种相册的单价是x元，B种相册的单价是y元，{x−y＝10
根据题意得： ，
4x＝5 y
{x=50
解得： ．
y=40
答：A种相册的单价是50元，B种相册的单价是40元．
（二）选做题
6、海姆立克急救法是日常抢救气管被异物堵塞的急救方法，但儿童和成人的施救方法不同，
实验中学为教职工开设“成人急救班”与“儿童急救班”，已知报名参加“成人急救班”与“儿童急
救班”的人数共 80 人，其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一
半还少10人，求报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的教职工各多少人．
6、解：设报名参加“成人急救班”的教职工有x人，报名参加“儿童急救班”的教职工有y人，
{x+ y＝80
根据题意得： 1 ，
y−x=10
2
{x=20
解得： ．
y=60
答：报名参加“成人急救班”的教职工有20人，报名参加“儿童急救班”的教职工有60人．
7、《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买 1本．若每人出 8元，则多了
3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
7、解：设学生有x人，该书单价y元，
{8x−y＝3
根据题意得： ，
y−7x＝4
{ x=7
解得： ．
y=53
答：学生有7人，该书单价53元．
