第四章导数及其应用（综合检测）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）参考答案_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

第四章 导数及其应用综合检测 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．ABD 10．BD 11．BCD 12．ABD 13． 14．3 15． 16． 17．【详解】（1）依题意， ， ，求导得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 所以当 时，函数 的递增区间是 ， 当 时，函数 的递增区间是 ，递减区间是 . （2） ， ， ， 因为当 时， ，则 ，因此 ， 求导得： ，显然 ，于是 ， 从而 ，函数 在 上单调递增，无极值点， 所以函数 在 上的极值点个数为0. 18．【详解】（1） 的定义域为 ， 若 ，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增. 综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间 （2）因为 有3个零点，所以 ， 又 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， 所以 ， ， 解得 ， 此时 ， ， 故函数 在区间 上各有一个零点， 即函数 在区间 上各有一个零点，满足要求； 所以 的取值范围为 . 【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为 不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的 单调性、极(最)值问题处理． 19．【详解】试题分析：（1）分离参数法，转化为 .（2））由（1）得，当 时，有 ，即 .所以只需证明 ，即证 ， .构造函数 可证．右边构造函数 可证．试题解析：（1）由 ，得 . 整理，得 恒成立，即 . 令 .则 . ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴函数 的最小值为 . ∴ ，即 . ∴ 的取值范围是 . （2）由（1），当 时，有 ，即 . 要证 ，可证 ， ， 即证 ， . 构造函数 . 则 . ∵当 时， .∴ 在 上单调递增. ∴ 在 上成立，即 ，证得 . ∴当 时， 成立. 构造函数 . 则 . ∵当 时， ，∴ 在 上单调递减.∴ ，即 . ∴当 时， 成立. 综上，当 时，有 . 【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当 时，有 ，即 .要证 ，只需证 ， ，即证 ， . 同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形． 20．【详解】（1）因为 ，所以1不是 的零点． 当 ，可变形为 ， 令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数． 因为 ， ，得 ，又 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 因为 ，且当 时， ， 所以当 时， 没有零点； 当 时， 有一个零点； 当 时， 有两个零点． （2）证明：由（1）知，当 时， 有两个零点． 设 ，则 ， 由 得 ，所以 ，即 ． 令 ，则 ， 易得 在 上单调递减，在 上单调递增． 要证 ，即证 ． 因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ． 因为 ，所以即证 ． 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递减． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，故 ． 21．【详解】（1） 可得 ， ， ①当 时，由 ， ， 此时 在 上为增函数，在 上为减函数； ②当 时， 恒成立，此时 在 上为增函数； ③当 时，由 或 ， ， 此时 在 上为增函数，在 上为减函数； ④当 时，由 或 ， ， 此时 在 上为增函数，在 上为减函数；综上所述：当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数； 当 时， 在 上为增函数； 当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数； 当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数； （2）由（1）可得： ， ， ， 欲证 ，即证 ，只需证 ， 记 ， ， 可得 ，即 在 为减函数， ∴ ，即 得证. 所以结论得证. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数 的单调性的步骤： ①写定义域，对函数 求导 ； ②在定义域内，解不等式 和 ； ③写出单调区间. 利用导数研究解决不等式恒成立问题的常用方法： ①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 22．【详解】（1）因为 ，所以 . 所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，所以 ，解得 .. （2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以 在（0，+∞）上恒成立. 即 恒成立. ，即 ， 令 ，所以 ， 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，即 . （3） 定义域为 当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当 时， 在（0， ）上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ， 函数 存在两个零点的必要条件是 ， 即 ，又 ， 所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点， 综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 . 不妨设两个零点 由 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 由 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 ， 令 ，只需证 ， 令 ， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，即 成立， 所以 成立. 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代 换的技巧.