文档内容
5.1 认识二元一次方程组
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义，能准确判断一个方程是否为二元一次方程、一组数
是否为方程组的解.
2.能根据实际情境中的等量关系，列出二元一次方程组，提升数学建模能力.
学习重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；根据实际情境列二元一次方程组.
学习难点：理解二元一次方程组的解 “需同时满足所有方程” 的本质；从复杂实际情境中准确提取两个
独
立的等量关系.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P111-P112页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
1. 回顾旧知：“什么是方程？什么是一元一次方程？”
.
2.《孙子算经》中 “雉兔同笼” 问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔
各几何？”
思考：若用一元一次方程求解，如何设未知数？（设鸡 x 只，兔 35-x 只，列方程
；
若想直接表示 “鸡的数量” 和 “兔的数量”，能否用两个未知数？
●探究一：二元一次方程的概念
◆1.呈现 “绿植栽种” 情境：小明栽种的绿植比小颖多 2 株；小颖减 1 株、小明加 1 株后，小明的
数量是小颖的 2 倍.
◆2.分析：（1）关键量为 “ ”“小颖的株数（y）”，
（2）等量关系式： ①
②（3）由此得到怎样的方程？
① ②
◆3.思考：
（1）上述方程有什么共同特点?
（2）它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
（3）你能给它们起个名字么？
◆4.总结归纳：二元一次方程的定义
含有 未知数，并且所含未知数的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.
.
注意：方程的左右两边都是 .
●探究二：二元一次方程组的概念
◆1.呈现 “公园门票” 情境：8 人买票花 34 元，成人票 5 元 / 张，学生票 3 元 / 张.
◆2.分析：（1）关键量为 “成人数量和 ”“ 和学生总票价”，
（2）等量关系式： ①
②
（4）设成人 x 人、学生 y 人，由此得到怎样的方程？
① ②
3.思考：在上面的方程中的 x、y 含义是否相同？（均代表 “
”“学生数量”），因而 “需将两个方程联立，组成方程组”，得到 “二元一次方程组”.
◆4.总结归纳：二元一次方程组的定义
共含有 未知数的 个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表 量.
●探究三：二元一次方程（组）的解
1.探究二元一次方程的解：
（1）以“x + y = 8”为例，思考：“x=6，y=2满足方程吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4 呢？”
（2）还能找到其他解吗？二元一次方程有几个解？（不考虑实际意义）
◆总结归纳：二元一次方程的解是使方程 相等的一组未知数的值.
2. 探究二元一次方程组的解：
思考：“在‘公园门票’情境中，哪组 x、y 的值能同时满足x + y=8 和 5x+3y =34？”？、
◆总结归纳：二元一次方程组的解是方程组中各个方程的 .
3.检验方法总结：“代入验证法”—— 将未知数的值代入方程（组），若 相等，则为
解.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为
一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则 为0，然后x或y的系数中有一
个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数 ．
【解答】
{m=2
例2：已知 是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解．
n=3
（1）求a的值；
（2）请用含有m的代数式表示n．
{m=2
【分析】（1）将 代入 ，得出关于a方程，解关于a的方程即可；
n=3
（2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作 ，m看作已知数，解方程即可．
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：A.探讨二元一次方程的定义和二元一次方程组的定义；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.下列方程中，是二元一次方程的是 ( )
2.下面四组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？ ( )
{x+2y=10
3.二元一次方程组 的解是 .
y=2x
4.下列五组值中，是二元一次方程 的解是 .
5.小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元。两种邮票小明各买了多少枚？
{x=3 { 3x+2y=17 ①
6. 是 的解吗？？
y=4 3x－2y=1 ②题型一：二元一次方程的识别
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
1
A．x2+2y＝8 B．x﹣1＝3 C．3x﹣y＝0 D．x− =6
y
2．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
x 2
A． − = y+5x B．x+y＝1
3 y
1
C． x= y2+1 D．3x+1＝2xy
5
3．（2024春•崇川区校级月考）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
1
①6x﹣2y；②4x+1＝x﹣y；③ + y=5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2．
x
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：由二元一次方程的定义求字母的值
4．若关于x，y的方程7x|m|+（m﹣1）y＝6是二元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．1 D．2
5．若（m﹣3）x|m﹣2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
6．已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3） 6是关于x，y的二元一次方程．
yn2−8=
（1）求m，n的值；
1
（2）求x= 时，y的值．
2
题型三 由二元一次方程的定义求字母的取值范围7．关于x、y的方程kx﹣3y＝2x+1是二元一次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k≠3 C．k≠2 D．k≠﹣2
8．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m≠﹣3 D．m≠2
9．已知关于 x、y 的方程（a﹣1）x+（a+2）y+5﹣2a＝0 是二元一次方程，则 a 满足的条件是
．
题型四 二元一次方程组的识别
10．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）
A．{x+ y=4 B．{ x+ y=5
❑√x=9 8−3z2=5x
{1 1
C．{xy=7 D． − =2
x2 y2
x=16
y=x−3
11．（2024秋•温江区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
{
m+n=1
A．{ x+3 y=5 B．
m 2n
2x−3z=3 + =1
6 3
{3x+2y=10
C．{m+n=5 D．
2
mn+n=6 x+ =6
y
12．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．{ x=1 B．{x2+ y=10
x+ y=−3 x+ y=−2
{
x+ y=5
C．{x+ y=8 D．
1 1 5
xy=−5 + =
x y 6
题型五 由二元一次方程组的定义求字母的值13．方程组{ y−(a−1)x=5 是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
y|a|+(b−5)xy=3
{2x−7 y=1
14．若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则（a﹣1）2019＝ ．
3x+az= y
15．若方程组{x−(c+3)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是
．
xa−2−yb+3=4
题型六 二元一次方程的解
16．二元一次方程x+2y＝6的一个解是（ ）
{x=2 {x=2 {x=2 {x=2
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=4 y=6
{ x=1
17．若 ，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
y=−2
A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2
{x=a
18．若 是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝ ．
y=b
题
型七 二元一次方程组的解
{ x=1 )
19．下列二元一次方程组中，以 为解的是（ ）
y=−2
{ x+ y=−1 ) {x−y=−1)
A． B．
2x−3 y=−4 2x+3 y=4
{x−y=−1 ) { x+ y=−1 )
C． D．
2x−3 y=4 2x+3 y=−4
{x=1
20．如果方程x+y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为 ，那么这个方程可以是（ ）
y=2
A．5x﹣y＝3 B．5x﹣2y＝2 C．3y﹣2x＝3 D．2（y﹣x）＝x
{x=2) {ax−3 y=1) {x=a)
21．若 是方程组 的解，则 是下列方程（ ）的解．
y=1 x+by=5 y=b
A．5x+2y＝﹣4 B．2x﹣y＝1 C．3x+2y＝5 D．x+y＝1题型八 根据实际问题列二元一次方程（组）
22．将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为x cm，
宽为y cm，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+5＝2y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2
23．现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满
后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（ ）
A．5x+2＝6（x﹣1）+4 B．5x+2＝6x﹣4
C．{ 5x−y=2 ) D．{y−5x=2)
y−6(x−1)=4 6x−y=4
24．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问
单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，
9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉 x元，每斤鱼y元，可列方程组为（
）
{10x+3 y=77) {3x+10 y=77)
A． B．
9x=5 y 9x=5 y
{10x+3 y=77) {3x+10 y=77)
C． D．
5x=9 y 5x=9 y
▲1．二元一次方程（组）的概念：
(1) 二元一次方程：① ；②未知数次数为 1；③ 方程；
(2) 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程.
▲2．二元一次方程（组）的解：
(1) 二元一次方程：①使方程左右两边 的一组未知数的值；②无数个解；
(2) 二元一次方程组：①方程组中所有方程的 解；②通常一个解.
(3) 检验方法：代入验证法.▲3．列方程组步骤：
（1）找关键量（2）提 （3）设未知数，列方程（联立成方程组）
