文档内容
4.1 认识三角形
三角形的概念
知识点一
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的分类
知识点二
按 边 分 类 ： 三 角 形
{三边都不相等的三角形
{ 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
{直角三角形
按角分类：三角形
{ 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
三角形的内角和内角和定理
知识点三
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0°且
小于180°．
三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
直角三角形的性质
知识点四
直角三角形两个内角互余．
三角形的三遍关系
知识点五
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
三角形的三条重要线段
知识点六
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做
三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另
一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，
三条高所在直线相交于三角形外一点．
题型一 认识三角形
【例题1】（2022秋•玉州区期中）如图所示的图形中，三角形共有
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形的概念数出个数解答即可．
【解答】解：三角形的个数有 ， ， ， ， ，共5个，
故选： ．
解题技巧提炼
此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．
【变式1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
{ 不等边三角形
【解答】解：三角形根据边分类 ，
{ 两边相等的三角形
等腰三角形
三边相等的三角形(等边三角形)
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
【变式1-2】（2022•南岗区校级开学）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是
①有两个角是 的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都
相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的判定方法逐项的可求解．
【解答】解：①有两个角是 的三角形是等边三角形，故符合题意；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意：
③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故符合题意；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形不一定是等边三角形，故不符合题意．
所以等边三角形的个数为2个，
故选： ．
【变式1-3】（2022秋•路南区期中）观察下列图形，其中是三角形的是
A． B． C． D．
【分析】在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．根据三
角形的定义判断即可．
【解答】解： 选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故 不是三角形；
满足三角形的定义，故 是三角形；
有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故 不是三角形；
有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故 不是三角形．
故选： ．
题型二 三角形的内角和定理
【例题2】（2022秋•宜州区期中）已知 中， ，则图中 的度数为
A． B． C． D．
【分析】先根据三角形内角和定理求得 的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求
得 的值．
【解答】解： ，
．
，
．
故选： ．解题技巧提炼
本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角
后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•渝北区校级期中）如图， 、 都是 的角平分线，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【解答】解： 、 都是 的角平分线，
，
，
，
，
故选： ．
【变式2-2】将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝ °．【分析】先用三角形内角和定理求出角4的度数，即可得出结论．
【解答】解：由题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，
根据三角形的内角和得，
∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，
∴∠1＝∠4＝75°，
故答案为：75．
【变式2-3】定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，
其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为 30°，那么这个“特征角”α的度数为
．
【分析】可分三种情况：当“特征角”为30°时；当β＝30°时；当第三个角为30°时，根据“特征角”
的定义，结合三角形的内角和定理分别计算即可求解．
【解答】解：当“特征角”为30°时，即特征角”α＝30°；
当β＝30°时，“特征角”α＝2×30°＝60°；
1
当第三个角为30°时，“特征角” α+α+30°＝180°，解得α＝100，
2
综上，这个“特征角”α的度数为30°或60°或100°．
故答案为30°或60°或100°．
题型三 直角三角形的性质
【例题 3】（2022 春•相城区校级期中）如图， 的角平分线 、 相交于 ， ，
，且 于 ，下列结论：① ；② ；③ ；
④ 平分 ．其中正确的结论是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】解：① ，
，
又 是 的角平分线，
，故正确；
④无法证明 平分 ，故错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
，且 ，
，即 ，
，故正确；
② ， ，
，
，
，
，
，故正确．
正确的为：①②③，
故选： ．解题技巧提炼
本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直
角三角形的两锐角互余．
【变式3-1】（2022秋•威县校级月考）有一道题目：“如图，在 中， ，将 沿
折叠，使得点 落在边 上的点 处，若 ，且 中有两个内角相等，求 的度数．”
嘉嘉的答案是 ，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面， 还应该有另外一个值．”下列判断正确的是
A．淇淇说的不对， 就是
B．淇淇说得对，且 的另一个值是
C．淇淇说得对，且 的另一个值是
D．两人都不对， 应有三个不同值
【分析】由轴对称的性质得到 ， ， ，分两种情况，应用三角形
内角和定理，平角定义列出关于 的方程，求出 即可解决问题．
【解答】解： ， ，
，
， 关于 对称，
， ， ，
令 ，则 ，
，
，
，
中有两个内角相等，只有 ， ，当 时，
，
，
；
当 时，
，
，
，
或 ．
故选： ．
【变式3-2】（2022秋•东莞市校级期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于 ，则另一个锐角的度
数是
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于 ，
另一个锐角的度数是： ．
故选： ．
【变式3-3】（2022秋•崇川区期中）如图，在 中， ，沿 折叠 ，使点 恰好
落在 边上的点 处，若 ，则 等于 ．
【分析】求出 ， 即可解决问题．
【解答】解： ， ，
，
由折叠可知， ，，
故答案为： ．
题型四 三角形三条重要线段
【例题4】（2022秋•巴南区校级期中）下列说法中正确的是
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解： 、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；
、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；
、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；
、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；
故选： ．
解题技巧提炼
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂
线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内
角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分
线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式4-1】（2022秋•渝北区月考）下列各图中，作出 的 边上的高，正确的是
A． B．C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点 与 边垂直，且垂足在边 上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有 选项中的 是边 上的高．
故选： ．
【变式4-2】（2021秋•汇川区期末）如图， ， ， 分别是 的中线，角平分线，高，下列
各式中错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到 ， ，
．进而判断即可．
【解答】解： ， ， 分别是 的中线，角平分线，高，
， ， ，
故选项 、 、 正确，选项 错误，
故选： ．
【变式4-3】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，
CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故选：B．
题型五 有关三角形三条重要线段的计算问题
【例题 5】（2022 秋•岑溪市期中）如图，已知 的周长为 ， ， 边上中线
， 的周长为 ，则 长为 ．
【分析】先根据 周长为 ， ， ，由周长的定义可求 的长，再根据中线的
定义可求 的长，由 的周长为 ，即可求出 长．
【解答】解： ， ， 周长为 ，
，
是 边上的中线，
，
的周长为 ，．
故 长为 ，
故答案为： ．
解题技巧提炼
考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到 的长，题
目难度中等．
【变式5-1】（2022秋•洛龙区期中）如图，在 中，已知点 ， ， 分别是 ， ， 的
中点， 的面积是4，则 的面积是
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
【分析】根据点 是 的中点，可得 的面积 的面积 ，再根据点 是 的中点，可得
的面积 ， 的面积 ，从而可求出 的面积 ，然后再根据点 是 的中点，可得
的面积 的面积，进行计算即可解答．
【解答】解： 点 是 的中点， 的面积是4，
的面积 的面积 的面积 ，
点 是 的中点，
的面积 的面积 ， 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 ，
点 是 的中点，
的面积 的面积 ，
故选： ．【变式5-2】如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的
周长为 ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长28cm，
∴AC+AD+CD＝28（cm），
∵AC＝10cm，
∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），
∵AB＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），
故答案为：41cm．
【变式5-3】（2022秋•南沙区校级期末）如图， 中， 是 边上的中线， 是 中
边上的中线，若 的面积是28，则 的面积 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比即可解答．
【解答】解： 是 边上的中线，
，
是 中 边上的中线，
，
，
的面积是28，．
故答案为：7．
题型六 三角形的三边关系
【例题6】（2022秋•霸州市校级期末）已知一个三角形的两条边长分别为 3和7，则第三条边的长度不
能是
A．11 B．9 C．8 D．7
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为 ，由三角形三边关系定理得： ，即 ，
故第三条边的长度不能是10．
故选： ．
解题技巧提炼
本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第
三边是解答此题的关键．
【变式6-1】（2022秋•洛川县校级期末）若长度为 ，2，3的三条线段能组成一个三角形，则 的值可
能为
A．6 B．5 C．1 D．3
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，解不等式求出 的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 的值可能是3，
故选： ．
【变式6-2】（2022秋•屯昌县期中）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D． ， ，
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析
即可．
【解答】解： 、 ，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；
、 ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
、 ，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；
、 ，能够组成三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
【变式6-3】（2022秋•北京期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．4，6，10
【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解： 、 ，不能组成三角形，不符合题意；
、 ，能组成三角形，符合题意．
、 ，不能组成三角形，不符合题意；
、 ，不能组成三角形，不符合题意；
故选： ．
