文档内容
2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.7利用三角形全等测距离
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•罗湖区校级期末）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所
示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的
玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、4或2、4或3、4去均可
【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以
用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．
【解答】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，
带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，
故选：D．
2．（2019春•盐田区期末）如图，AB⊥BC，OB＝OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量
CD的长可知小河的宽AB，由此判定△AOB≌△DOC的依据是（ ）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，也可以利用AAS得出．
故选：B．
3．（2021秋•平罗县期末）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以
判断AB＝AC，又AD＝AD，AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD，所以BD＝CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD．
故选：C．
4．（2016秋•澄迈县校级月考）如图，把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件
内槽宽的工具（卡钳），若测得AB＝5米，则槽宽为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接AB，如图，利用“SAS”证明△OAB≌△OA′B′，从而得到A′B′＝AB＝5m．
【解答】解：连接AB，如图，
在△OAB和△OA′B′中
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
∴A′B′＝AB＝5（m）．
答：槽宽为5m．
故选：C．
5．（2021秋•硚口区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B的距离，可先在平地上取一个点C，连
接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就
是A、B的距离，这里运用了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：在△ACB与△DCE中，，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝CD，
故选：B．
6．（2021秋•天心区期中）如图，在测量一个小口圆形容器的壁厚时，李师傅用“X型转动钳”按如图方
法进行测量，其中O是AD、CB的中点，由三角形全等的知识可知只要测量 A、B的距离，即得C、D
的距离，便能计算出圆形容器的壁厚．请问李师傅得到△AOB≌△COD的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【分析】连接AB，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS）．
故选：A．
7．（2021秋•谢家集区期中）如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝80m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．60m B．70m C．80m D．90m
【分析】首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案．【解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO，
∴AC﹣AO＝BD﹣OD，
即OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝80m，
故选：C．
8．（2019秋•北辰区校级月考）如图，一种测量工具，点 O是两根钢条AC、BD中点，并能绕点O转动．
由三角形全等可得内槽宽AB与CD相等，其中△OAB≌△OCD的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【分析】由O是AC、BD的中点，可得AO＝CO，BO＝DO，再有∠AOC＝∠BOD，可以根据全等三角
形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OCD．
【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
在△OAB和△OCD中 ，
∴△OAB≌△OCD（SAS），
故选：C．
9．（2021秋•河东区期中）如图，要测量河两岸相对的两点 A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点
C、D，使 BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点 A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明
△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是
（ ）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择
判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝
∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
10．（2021秋•绵竹市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，
在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点
C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得 MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边 CO＝CO 可利用 SSS 定理判定
△MOC≌△NOC．
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中 ，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•丹江口市期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 2 块去，这
利用了三角形全等中的 ASA 原理．
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第2块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：2；ASA．
12．（2018秋•大同期末）如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间（凳子与
地面垂直），已知DC＝60，CE＝80，则两张凳子的高度之和为 14 0 ．
【分析】利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：由题意可得：∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
则∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
故DC＝BE＝60，AD＝CE＝80，
则两条凳子的高度之和为：60+80＝140．
故答案为：140
13．（2018秋•阿城区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线
BF上的两点C、D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上，测得DE＝12m，
则AB＝ 1 2 m．【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合 BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出
△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED．
【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠B＝∠EDC＝90°．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝12（m），
故答案为：12．
14．如图，为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，
∠ACB＝40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝70°，∠BCM＝40°，那么只需要测量 BM ，才能测
得A、B之间的距离，依据是： 全等三角形的对应边相等 ．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：在△ABC和△MBC中
，
∴△ABC≌△MBC（ASA），
∴AB＝BM（全等三角形的对应边相等），
故答案为：BM；全等三角形的对应边相等．15．（2019春•金水区校级期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角
形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足
够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比
为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为
8 或 15 cm．
【分析】设BM＝2t，则BN＝3t，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC．
【解答】解：设BM＝2t，则BN＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝20，
∴3t＝20﹣2t，
解得：t＝4，
∴AC＝BM＝2t＝2×4＝8；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝20，
∴2t＝20﹣2t，
解得：t＝5，
∴AC＝BN＝3t＝3×5＝15，
综上所述，AC＝8或AC＝15．
故答案为：8或15．
16．（2021秋•沂源县期末）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一
电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了
30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他一
共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 4 0 米 ．【分析】根据题意所述画出示意图即可，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出
了AB之间的距离．
【解答】解：所画示意图如下：
由题意知：AC＝DC＝30步，
DE＝140﹣30﹣30＝80（步），
∴80×0.5＝40（米），
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE＝40米，
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
17．（2020春•长清区期末）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到
达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 4 秒．
【分析】根据题意证明∠C＝∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到BD
＝AM＝12米，再利用时间＝路程÷速度加上即可．
【解答】解：∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°，
∴∠CMA+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴BD＝AM＝12米，
∴BM＝20﹣12＝8（米），
∵该人的运动速度为2m/s，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．
故答案为4．
18．（2021秋•洪洞县期中）现有一块如图所示的草地，经测量，∠B＝∠C，AB＝10米，BC＝8米，CD
＝12米，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2米/秒的速度沿BC向点C运动，同时小狗妞妞
从点C出发沿CD向点D运动．当妞妞的速度为 2 或 米/秒时，能够在某一时刻使△BEP与
△CPQ全等．【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到妞妞的运动速度．
【解答】解：设汪汪运动的时间为t秒，则BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣2t，
解得t＝ ，
∴BP＝CQ＝3，
此时，妞妞的运动速度为3÷ ＝2（米/秒）；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴妞妞的运动速度为5÷2＝ （米/秒）；
故答案为：2或 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到
CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
【分析】由全等三角形的判定定理 AAS得到△ABM≌△DCM，则其对应边相等：BM＝CM，AM＝
DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．
【解答】解：∵在△ABM与△DCM中， ，
∴△ABM≌△DCM（AAS），
∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，∴AC＝AM﹣CM＝2m．
即梯子下滑的高度是2m．
20．（2021春•山亭区月考）如图，点A、B分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，
但不方便，小明先在地上取一个可以直接到达点 A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝
CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．
（1）求证：△ACB≌△DCE；
（2）测出DE的长即为点A、B间的距离，你能说明其中的道理吗？
【分析】（1）利用SAS定理判定△ACB≌△DCE即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AC＝DE．
【解答】解：（1）证明：在△ABC和△DEC中 ，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ACB≌△DCE，
∴AB＝DE，
∴DE的长即为点A、B间的距离．
21．（2018秋•东湖区期中）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直
线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？
【分析】首先根据题意可知AC＝CB，DC＝EC，再根据HL定理证明Rt△ACD≌Rt△BCE，可得到AD
＝BE．【解答】解：D，E与路段AB的距离相等，
理由：∵点C是路段AB的中点，
∴AC＝CB，
∵两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，
∴DC＝EC，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∵ ，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE，
∴D，E到路段AB的距离相等．
22．（2019秋•慈利县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝ AB，AF＝
AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【分析】证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题 OA＝OA公共边，可考虑SSS证明
三角形全等，从而推出角相等．
【解答】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD＝∠CAD，
理由如下：
∵AB＝AC，AE＝ AB，AF＝ AC，
∴AE＝AF，
在△AOE与△AOF中，，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
23．（2020春•莲湖区期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一
电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了
30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共
走了140步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．
（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，由该全等三角形的性质AB＝DE．
【解答】解：（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步，
∴走完DE用了80步，
小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40（米）．
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
24．（2021秋•嵩县期末）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴
B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离
AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
