专题4.7因式分解-十字相乘法（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第3套）

专题4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解） 【学习目标】 x2 (pq)x pq 1. 熟练掌握首项系数为1的形如 型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因 式分解. 【要点梳理】 要点一、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. pq c  x2 bxc pq b x2 bxcx pxq 对于二次三项式 ，若存在 ，则 特别说明： x2 bxc c c0 p、q （1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则 同 c0 p、q b p、q 号(若 ，则 异号)，然后依据一次项系数 的正负再确定 的符号 x2 bxc b、c c （2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各 b 种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法 ax2 bxc a a 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积， a aa c ccc a，a，c，c 即 1 2，常数项 可以分解成两个因数之积，即 1 2，把 1 2 1 2排列如下： ac a c ax2 bxc 按斜线交叉相乘，再相加，得到 1 2 2 1，若它正好等于二次三项式 的 b ac a c b a xc 一次项系数 ，即 1 2 2 1 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 1 1与 a xc ax2 bxca xc a xc  2 2之积，即 1 1 2 2 . 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项 式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【典型例题】 类型一、单十字相乘法1、阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， ． 反过来，就得到 的因式分解形式，即 ．把这个多项式 的二次项系数1分解为 ，常数项10分解为 ，先将分解的二次项系数1，1分 别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下 角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数 （如图1）． 像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再 分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和， 使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的 方法，叫做十字相乘法． 例如，将二次三项式 分解因式，它的“十字”如图2： 所以， ． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)（x+2）（x+3）；(2)（2x-1）（x-3）；(3)（x+2）（x-m） 【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案． (1) 解：由上图可知：x2+5x+6=（x+2）（x+3）， 故答案为：（x+2）（x+3）； (2) 解： 由上图可知：2x2-7x+3=（2x-1）（x-3）， 故答案为：（2x-1）（x-3）； (3) 解： 由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m）， 故答案为：（x+2）（x-m）． 【点拨】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤． 举一反三： 【变式1】提出问题：你能把多项式 因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得： ，将该式从右到左使用，就可以对形如 的多项式进行因式分解即 ．观察多项式 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题： ． 运用结论： （1）基础运用：把多项式 进行因式分解． （2）知识迁移：对于多项式 进行因式分解还可以这样思考： 将二次项 分解成如图2所示中的两个 的积，再将常数项 分解成 与3的乘 积，图中的对角线上的乘积的和为 ，就是 的一次项，所以有 ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”． 请用十字相乘法进行因式分解：① ；② ． 【答案】（1） ；（2）① ；② 【分析】 （1）把多项式 进行因式分解即可；（2）用十字相乘法进行因式分解即可． 解：（1） ＝ ＝ ； （2）① ＝ ，； ② ＝ ， ． 【点拨】本题考查了因式分解－十字相乘法，解决本题的关键是掌握十字相乘法因式 分解． 【变式2】在因式分解的学习中我们知道对二次三项式 可用十字相乘 法方法得出 ，用上述方法将下列各式因式分解： (1) __________． (2) __________． (3) __________． (4) __________． 【答案】(1) (x-y)(x+6y)；(2) (x-3a)(x-a-2)；(3) (x+a-3b)(x-a-2b)；(4)(20182x2+1)(x-1) 【分析】 （1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可； （2）将3a2+6a改写成 ，然后根据例题分解即可； （3）先化简，将 改写 ，然后根据例题分解即可； （4）将 改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式= =(x-y)(x+6y)； (2) 解：原式= =(x-3a)(x-a-2)； (3)解：原式= = = =(x+a-3b)(x-a-2b)； (3) 解：原式= = = =(20182x+1)(x-1) ． 【点拨】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式 可用 十字相乘法方法得出 是解答本题的关键． 【变式3】常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项 式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分 解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣ 16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结 合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x ＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式 分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题： (1)分解因式：2a2﹣8a＋8； (2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y； (3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．【答案】(1) ； (2) ；(3)等腰三角形 【分析】 （1）先提公因式2，再利用完全平方公式分解； （2）先分组，再利用分组分解法求解； （3）把等式左边利用分组分解法因式分解得到 ，利用三角形三边的关 系得到a=c或a=b，从而可判断 ABC的形状． △ (1) 解： = = ； (2) = = ； (3) = = = = =0 ∴a=c或a=b ∴ ABC为等腰三角形． 【△点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分 解法是，因式分解的应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解 本题的关键．类型二、双十字相乘法 2、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，而对于形如 的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解． 如图1，首先对前三项 进行“十字相乘”：将a分解成 乘积作为一列， c分解成 乘积作为第二列，使得 ；其次对 进行“十字相乘”：f分 解成 乘积作为第三列，使得 ；最后若 ，则原式 ； 例：分解因式： 解：如图2，首先对前三项进行“十字相乘”： ； 其次对 进行“十字相乘”： ； 最后验证 ，∴ 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ____________． 完成下列填空： ． ①首先因式分解：②再因式分解： ③验证第四项x： ④写出结果：__________． （2）因式分解： ． （3）已知x，y为整数，且满足 ，求x，y． 【答案】（1） ， ；（2） ； （3） ． 【分析】 （1）利用十字相乘法进行因式分解即可得； （2）参照材料中，将二元二次式进行因式分解的方法即可得； （3）先将 进行因式分解，再根据已知等式，结合 为整数 可得两个关于 的二元一次方程组，解方程组即可得． 解：（1）因为 ， 所以 ， 根据①②③可得： ， 则 ， 故答案为： ， ； （2）首先因式分解： ，， 再因式分解： ， ， 验证第四项x： ， 则 ； （3）同（2）的方法可得： ， ， ， 为整数， 和 也是整数， 或 ， 解得 或 （舍去）， 则 ． 【点拨】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组的应用，读懂阅读材料中的十 字相乘法是解题关键． 举一反三： 【变式1】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 进 行因式分解呢？我们已经知道，（ax  c）（ax  c） aax2  acx  1 1 2 2 1 2 1 2 acxccaax2（acac）xcc．反过来，就得到： 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2．我们发现，二次项的系数a分解成 ，常数项c分解成 ，并 且把a，a，c，c 如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到 ，如果 1 2 1 2 的值正好等ax+bx+c的一次项系数b，那么 就可以分解为（ax  c） 2 1 1 （a x  c），其中a，c 位于图的上一行，a ， c 位于下一行．像这种借助画十字交叉 2 2 1 1 2 2 图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例 如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积， 即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×（－3）；然后把1，1，2，－3 按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（－3）+1×2= －1，恰好等 于一次项的系数－1，于是 就可以分解为（x+2）（x-3） 请仿照上面的方法,解答下列问题： （1）分解因式：x2+6x-27＝________； = ； （2）若x2+px+8分解为两个一次因式的积,则整数 的所有可能值是_____； （探究与拓展）对于形如 的关于x，y的二元二次多项式也 可以用“十字相乘法”来分解．如图③，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积 作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b，pk  qj  e，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并挑战下列问题： （3）分解因式 = ． 【答案】（1）（x+9）（x-3），（x-1）（2x+7）；（2）±9，±6；（3）（x+2y-1） （3x-y+4）．【分析】 （1）根据题述中的方法因式分解即可； （2）将8写成两个整数乘积的形式，据此可得整数 的所有可能值； （3）根据题述中方法因式分解即可． 解：（1）如下图， 因为1×（－3）+1×9= 6 所以x2+6x-27═（x+9）（x-3）， 如下图 因为1×7+2×（-1）= 5， 所以2x2+5x-7 = （x-1）(2x+7) 故答案为：（x+9）（x-3），（x-1）(2x+7)； （2）∵8=1×8；8=-8×（-1）；8=2×4；8=-4×（-2）， 则p的可能值为-1+（-8）=-9；8+1=9；-2+（-4）=-6；4+2=6． ∴整数p的所有可能值是±9，±6， 故答案为±9，±6； （探究与拓展） （3）如下图因为1×（-1）+3×2=5, 2×4+(-1)×(-1)=9, 1×4+3×(-1)=1, 所以3x2  5xy  2y2  x  9y  4  (x+2y-1)(3x-y+4)． 【点拨】本题考查利用十字相乘法因式分解．能读懂题意，模仿题述方法因式分解是 解题关键． 【变式2】【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 进行因式分解 呢？我们已经知道，ax  cax  c  aax2  acx  acx  cc aa x2 ac 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 ac  x  cc． 2 1 1 2 反过来，就得到： ． 我们发现，二次项的系数a分解成 ，常数项c分解成 ，并且把a， a ， c 1 2 1 ， c 如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到 ，如果 的值 2 正好等于ax+bx+c的一次项系数b，那么 就可以分解为ax  c a x  c ， 2 1 1 2 2 其中a1 ， c1位于图的上一行，a ， c 位于下一行． 2 2 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通 常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因 数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1， 2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰 好等于一次项的系数－1，于是 就可以分解为(x  2)(x  3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘 法”分解因式： = ．【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1） = ； （2） = ． 【探究与拓展】 对于形如 的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相 乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分 解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2 列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式 = ； （2）若关于x，y的二元二次式 可以分解成两个一次因式 的积，求m的值； （3）已知x，y为整数，且满足 ，请写出一组符合题意的 x，y的值． 【答案】阅读与思考：图见解析， x- 3 x  2；理解与应用：（1） x 12x  7；（2）2x  y3x  2y；探究与拓展：（1）x  2y 13x  y  4；（2）43 或-78；（3）x=－1，y=0． 【分析】 【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； （2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答 案； （2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解； （3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程， 进而即可求解．解：【阅读与思考】 画十字交叉图： ∴ =  x -3 x  2． 故答案是： x- 3 x  2； 【理解与应用】 （1）画十字交叉图： ∴2x2  5x  7 =  x 12x  7， 故答案是： x 12x  7； （2）画十字交叉图： ∴6x2  7xy  2y2 = 2x  y3x  2y， 故答案是：2x  y3x  2y； 【探究与拓展】 （1）画十字交叉图： ∴3x2  5xy  2y2  x  9y  4  x  2y 13x  y  4， 故答案是：x  2y 13x  y  4； （2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3， ∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78． ∴m的值为：43或－78； （3）∵ ， ∴ ， 画十字交叉图： ∴ ， ∴ 或 ， ∵x，y为整数， ∴x=－1，y=0是一组符合题意的值． 【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式以及应用，理解并掌握阅读材料中的“画 十字交叉图”，是解题的关键． 【变式3】阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法” 可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于 ， 的二次三项 式 ，如图1，将 项系数 ，作为第一列， 项系数 ，作为 第二列，若 恰好等于 项的系数 ，那么 可直接分解因式为：示例1：分解因式： 解：如图2，其中 ， ，而 ； ∴ ； 示例2：分解因式： ． 解：如图3，其中 ， ，而 ； ∴ ； 材料二：关于 ， 的二次多项式 也可以用“十字相乘法” 分解为两个一次式的乘积．如图4，将 作为一列， 作为第二列， 作 为第三列，若 ， ， ，即第1、2列，第1、3列和 第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为： ； 示例3：分解因式： ． 解：如图5，其中 ， ， ；满足 ， ； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若 ， ， 均为整数，且关于 ， 的二次多项式 可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出 的值，并求出关于 ， 的方程 的整数解． 【答案】（1） ， ；（2） ， 和 【分析】 （1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值． 解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式= ； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式= ； （2）①② ∴ ∴ 当 时， 或 ， （舍）， 当 时， 或 ， 或 （舍） 综上所述，方程 的整数解有 和 ； 方法二： 或 ． 【点拨】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法 是解题关键．