专题4.1“8”字模型（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练_七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 4.1 “8”字模型 一．填空题（共8小题） 1．如图， 36 0 ． 【解答】解：如图，延长 交 于点 ， 由三角形外角性质可知： ， ， ， 在四边形 中，由四边形内角和可知： ， ． 故答案为：360． 2．如图， 18 0 ． 【解答】解：如图，设线段 ， 分别与线段 交于点 ， ．， ， ， ， 故答案为：180． 3．如图所示， 36 0 度． 【解答】解： ， ， ． 故答案为：360． 4．如图， 18 0 ． 【解答】解：如图，， ， ， ， 故答案为：180． 5．如图，则 的度数为 ． 【解答】解：如图， ， ， ． 故答案为： ． 6．如图，则 的度数是 ．【解答】解：如图可知 是三角形的外角， ， 同理 也是三角形的外角， ， 在 中， ， ． 故答案为： ． 7．如图， 的度数为 【解答】解：如图， ， ， ， 故答案为： ．8．如图， 36 0 度． 【解答】解：如右图所示， ， ， ， ， 又 、 、 是 的三个不同的外角， ， ． 故答案为： ． 二．解答题（共7小题） 9．图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称之为“8 字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且 与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题： （ 1 ） 在 图 1 中 ， 请 直 接 写 出 、 、 、 之 间 的 数 量 关 系 ： ； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个； （3）图2中，当 度， 度时，求 的度数． （4）图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着怎样 的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2）①线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ②线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ③线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ④线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑤线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑥线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3） ，① ，② 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， ① ②得： ， 即 ， 又 度， 度， ， ； （4）关系： ． ①② ① ②得： ， 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ． 10．如图1，已知线段 、 相交于点 ，连接 、 ，则我们把形如这样的图形 称为“8字型”． （1）求证： ． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示， ，则 的度数为 ． （3）如图3，若 和 的平分线 和 相交于点 ，且与 ， 分别相交 于点 ， ． ①若 ， ，求 的度数． ②若角平分线中角的关系改成“ ， ”，试直接写出 与 ， 之间存在的数量关系，并证明理由． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 证 明 ： 在 图 1 中 ， 有 ， ， ， ；（2）如图2所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． （3）①以 为交点“8字型”中，有 ， 以 为交点“8字型”中，有 ， 、 分别平分 和 ， ， ， ， ， ， ； ② ，其理由是： ， ， ， ， 以 为交点“8字型”中，有 ， 以 为交点“8字型”中，有 ，． ， ． 11．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图①，若 ，点 在 、 外部，则有 ，又因 是 的外角，故 得 ，将点 移到 、 内部， 如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 、 、 之间 有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图②中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，如图③， 则 、 、 、 之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图④中 的度数． 【解答】解：（1）不成立，结论是 ． 延长 交 于点 ， ， ， 又 ， ； （2）结论： ．连接 并延长， 是 的外角， 是 的外角， ， ， ，即 ； （3）由（2）的结论得： ． ． 又 ． 12．如图1，已知线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称 之为“对顶三角形”．如图2， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有 4 个以线段 为边的“对顶三角形”； （2）在图2中，若 ， ，求 的度数． （3）在图2中，若设 ， ， ， ，试问 与 、 之间存在着怎样的数量关系（用 、 表示 ，并说明理由； （4）如图3，则 的度数为 ．【解答】解：（1）在图2中有4个以线段 为边的“对顶三角形”； 故答案为：4； （2） 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） ，理由如下： 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， ， ， ， ， ； （4）如图所示： 由三角形的外角性质得： ， ， ， 在四边形 中， ， ．13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）已知 平行于 ，如 图，当点 在 、 外部时， 即 ，为什么？请说明理由．如 图，将点 移动到 、 内部，以 上结论是否仍然成立？若不成立，则 、 、 之间有何数量关系？请说明结 论； （2）在图 中，将直线 绕点 逆时针方向旋转一定角度交直线 于点 ，如图 ， 则 、 、 、 之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图 中 的度数． 【解答】解：（1）① ， ， ， ， 即： ， ②不成立， 结论： ， 理由：如图 ，过点 作 ， ， ， ， ， ， ； （2）结论： ， 理由：如图 ， 连接 并延长， 是 的外角， ， 同理： ， ； （3）如图 ， 是 的外角，， 同理： ， ． 14．已知：如图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称 之 为 “ 8 字 形 ” ． 试 解 答 下 列 问 题 ： （ 1 ） 在 图 1 中 ， 请 直 接 写 出 、 、 、 之 间 的 数 量 关 系 ： ； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个； （3）在图2中，若 ， ， 和 的平分线 和 相交于点 ， 并且与 、 分别相交于 、 ．利用（1）的结论，试求 的度数； （4）如果图2中 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 、 之间存在着 怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 【解答】解：（1）在 中， ， 在 中， ， （对顶角相等）， ， ； （2）交点有点 、 、 ， 以 为交点有1个，为 与 ， 以 为交点有4个，为 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 以 为交点有1个，为 与 ，所以，“8字形”图形共有6个； （3） ， ， ， ， 、 分别是 和 的角平分线， ， ， 又 ， ； （4）根据“8字形”数量关系， ， ， 所以， ， ， 、 分别是 和 的角平分线， ， ， ， 整理得， ． 15．图1，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，我们把形如图1的图形称之为“8 字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点 ，并且 与 、 分别相交于 、 ．试解答下列问题： （ 1 ） 在 图 1 中 ， 请 直 接 写 出 、 、 、 之 间 的 数 量 关 系 ： ； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个； （3）图2中，当 度， 度时，求 的度数．【解答】解：（1） ， （对 顶角相等）， ． 故答案为： ； （2）①线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ②线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ③线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ④线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑤线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； ⑥线段 、 相交于点 ，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）由（1）可知， ，① ，② 和 的平分线 和 相交于点 ， ， ， 由① ②得： ，即 ， 又 ， ， ， ．