文档内容
专题24.2.2 直线和圆的位置关系
（知识梳理+18个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：直线和圆的位置关系...................................................2
知识点梳理02：切线.................................................................2
知识点梳理03：切线长...............................................................3
知识点梳理04：三角形的内切圆与内心.................................................3
知识点梳理05：圆与圆的位置关系.....................................................3
知识点梳理06：尺规作图——过圆外一点作圆的切线.....................................4
优选题型 考点讲练......................................................................4
考点1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值...........................................4
考点2 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离.....................................5
考点3 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离.........................................6
考点4 求直线平移到与圆相切时运动的距离.............................................7
考点5 切线的应用...................................................................8
考点6 切线的性质和判定的综合应用...................................................9
考点7 应用切线长定理求解..........................................................10
考点8 应用切线长定理求证..........................................................10
考点9 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系......................................11
考点10 圆外切四边形模型...........................................................12
考点11 三角形内心有关应用.........................................................13
考点12 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系.....................................13
考点13 三角形内切圆与外接圆综合...................................................14
考点14 过圆外一点作圆的切线(尺规作图）............................................15
考点15 圆内知识综合（圆的综合问题）...............................................17
考点16 圆与三角形的综合（圆的综合问题）...........................................18
考点17 圆与四边形的综合（圆的综合问题）...........................................19
考点18 圆与函数的综合（圆的综合问题）.............................................20中考真题 实战演练.....................................................................22
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................25
基础夯实..........................................................................25
培优拔高..........................................................................28
知识点梳理01：直线和圆的位置关系
1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条
直线叫做圆的割线.
2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这
条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
3.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
4.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有
直线l和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线l和⊙O相切 ⇔ d=r ；
直线l和⊙O相离 ⇔ d＞r .
知识点梳理02：切线
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
【易错点拨】
① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连
半径，证垂直”；
② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问
题，即“见切线，连半径，得垂线”.知识点梳理03：切线长
1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角.
符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线
∴ PA=PB，OP平分∠APB
知识点梳理04：三角形的内切圆与内心
1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【易错点拨】
① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径；
② 三角形的内切圆有且只有一个.
知识点梳理05：圆与圆的位置关系
两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例
外离 图1中（1）
相
0
图 1 中 （ 5 ）
离 内含
（6）
相 外切 图1中（2）
1
切 内切 图1中（4）
2 相交 图1中（3）两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r和r之间的关系
1 2
外离 d>r +r
1 2
内含 0≤dr )
2 1 2 1
外切 d=r +r
1 2
内切 d=r −r (r >r )
2 1 2 1
相交 r )
2 1 1 2 2 1
知识点梳理06：尺规作图——过圆外一点作圆的切线
已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P .
求作：过点P作⊙O的切线 .
1
步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于 OP为半径画弧，两弧相交于M、N
2
两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点；
（2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B；
（3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求.
（1） （2） （3）
考点1 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s速度向点C移动，
连接PQ，点P的运动时间为ts．(1)当△BPQ的面积等于5cm2时，求t的值；
(2)以Q为圆心，PQ为半径画⊙Q．
①当⊙Q与线段AD所在直线相切时，求t的值；
②当⊙Q与线段AD有两个公共点时，求t的取值范围．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5cm．以点
O为圆心，rcm为半径画圆．当⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3cm时，则r的取值范围是 ．
考点2 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图1，在矩形ABCD中，边长AB=a，AD=b，其
中a、b分别是方程x2−7x+12=0的两个根(a0)与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)当b=1时，λ(B,⊙O)=_____；
(2)若在线段AB上存在点C，使得λ(C,⊙O)是奇数，直接写出b的取值范围；
(3)若对于线段AB上任意一点D，都有λ(D,⊙O)=λ(O,线段AB)，直接写出b的取值范围．考点6 切线的性质和判定的综合应用
【典例精讲】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外
接圆，∠EBC=∠BAC，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)求证：DE⊥BE；
(3)若AB=5❑√6，BE=5，求⊙O的半径．
【变式训练】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上
取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD=4，DB=2，求⊙O的半径．
考点7 应用切线长定理求解
【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，PA，PB与⊙O相切于点A,B,AB与OP交于点H．若AP=2❑√3,∠APB=60°，则OH的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．❑√3 D．2
【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，
圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与CD相交于点E，设正方形ABCD的边长为x，
EC长为y，则y与x的函数关系式为
考点8 应用切线长定理求证
【典例精讲】（2025·四川南充·一模）如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，以点O为圆心，OB
为半径作⊙O，AC与⊙O相切于点E，连接OE，OC，OC平分∠BOE．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)点D为BC边上一点，且OD=OA，若AE=3，CD=9，求⊙O的半径长．
【变式训练】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别
相切于点D,E,F，连接OE．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB,AC于M,N两点；分1
别以M,N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP．有下列结论：①AP垂直平
2
分EF；②∠AEF=∠B；③AC+BC−AB=2OE．其中正确结论的序号是 ．
考点9 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图△ABC中，∠ACB=90°．
(1)尺规作图：求作⊙P，使它与三边AB、AC、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若BC=5，AB=13，求⊙P的半径．
【变式训练】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)尺规作图：作⊙O，使得⊙O经过点C，并且与边AB、BC都相切；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为 ．
考点10 圆外切四边形模型
【典例精讲】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形ABCD的边AB,BC,CD均与⊙O相
切，切点分别为E，F，G，且AB≠AD，连接OD,OD平分∠ADC．
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)如图2，记AD与⊙O的公共点为点H，连接EG,FH交于点I，若EG⊥FH，求证：四边形ABCD对
角互补；
(3)如图3，⊙O的半径为r，连接AC,BD,AC与⊙O交于点M，N，BD与⊙O交于点P，Q，AC⊥BD
，连接PM，令PM=x，MN= y，求y关于x的函数解析式．(不考虑自变量x的取值范围)【变式训练】（2023·湖北武汉·二模）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于
点E、F，点M、N分别在线段 DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半
径为（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．2❑√2 D．❑√6
考点11 三角形内心有关应用
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·期中）在△ABC中，AB=AC，当△ABC的内切圆的半径
确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与
△ABC的内心I重合，若∠ACB=40°，则∠EIA+∠FIB=（ ）
A．210° B．220° C．230° D．240°
考点12 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，△ABC中，AB=AC．
(1)在图中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆O；（保留作图痕迹）
(2)若AB=10，BC=16，求△ABC的内切圆半径．【变式训练】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别
相切于点D，E，F，且AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm．
(1)求AF的长．
(2)已知S =6❑√6cm2 ，求OD的长．
△ABC
考点13 三角形内切圆与外接圆综合
【典例精讲】如图，锐角△ABC．
(1)分别作出△ABC的外接圆⊙O、△ABC的内切圆⊙O′（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)已知点O是△ABC外接圆的圆心，点O'是△ABC内切圆的圆心．试探究∠BOC与∠BO′C的度数
之间的关系；
(3)如果∠BOC=100°，那么∠BO′C的度数是多少？【变式训练】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，
BC=7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下
△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．12cm B．11cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
考点14 过圆外一点作圆的切线(尺规作图）
【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期中）课堂上，李老师布置一道作图题如下：
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．
某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）：
1
①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于 OP的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位
2
于直线OP的上下两侧）；
②作直线AB交OP于点C；
③以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；
④连接PQ，则直线PQ即为所求作直线，PQ交AB于点D，连接OQ、OD．
根据这个同学的作图方法，解答下面问题：
(1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；(2)结合作图，说明PQ是⊙O切线的理由；
(3)若⊙O半径为4，OP=10，求OD的长．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏·期末）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写
出主要作图步骤）．
【问题再现】如图1，过点P作⊙O的一条切线；
【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线PQ被⊙O截得的弦被点P平分；
【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被⊙O截得的弦其长度等于弦AB的长．
【问题再现】（1）主要作图步骤： ；
【问题联想】（2）主要作图步骤： ；
【问题再解】（3）主要作图步骤： ．
考点15 圆内知识综合（圆的综合问题）
【典例精讲】（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接
成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的
一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，
且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)GF的长度为多少公分？
(2)判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由．
【变式训练】（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对
角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形ABCP中，BP平分∠ABC，则
BP为四边形ABCP的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题．
[问题发现]（1）如图①，若∠ABC=90°，BP=2❑√2，求AP+CP的最小值；
[深度探究]（2）如图②，连接对角线AC，若CP平分∠ACD，且∠PAC=58°，求∠BPC的度数；
[拓展延伸]（3）若四边形ABCP为唯美四边形，∠ABC=60°，BP平分∠ABC, BC=2,AP=CP，
AC与BP相交于点O，则当△POC为等腰三角形时，请直接写出线段AB的长．
考点16 圆与三角形的综合（圆的综合问题）
【典例精讲】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分
∠BAC交BC于点E，圆心O在AC上，经过点A，E的⊙O分别交AB，AC于点D，F．(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD=3，BE=4，求⊙O的半径．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，点E是△ABC中的内心，AE的延长线和
△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
(1)求证：DG是⊙O的切线；
(2)若DE=2❑√5，BC=8，求⊙O的半径．
考点17 圆与四边形的综合（圆的综合问题）
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个
点，∠APC=∠CPB=60°．(1)请判断△ABC的形状？说明理由；
(2)当点P位于A´B的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【变式训练】（25-26九年级上·河北保定·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A
在x轴上，顶点C在y轴上，OA=2,P为OA上的一动点，点M关于CP的对称点为O，当MA最小时，点
M的坐标为（ ）
A．(❑√2,❑√2−1) B．(2−❑√2,❑√2) C．(❑√2−1,❑√2) D．(❑√2,2−❑√2)
考点18 圆与函数的综合（圆的综合问题）
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2，0)，
以点A为圆心，OA为半径的⊙A，交x轴于点P，点B是⊙A上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接PQ．
(1)当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为_________；
❑√15
(2)点B在运动过程中，若线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点，求交点横坐标x的取值范围；
x
(3)若由点Q所组成的图形与直线y=kx−6k(k≠0)有且仅有一个交点时，请直接写出k的值．
【变式训练】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重
要的公式之一，若P (x ,y )，P (x ,y ) ，则P P =❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
【理解】请用所学知识解决问题：已知⊙O的半径为3．(1)如图1，P(x,y)为圆上任意一点，请探究x，y的关系式；
(2)如图2，已知Q(a,b)，QA为⊙O切线，B(2,−1)，且QA=QB，求b与a的函数关系式；
【运用】如图3，点P在圆心为C(0,1)，半径为1的圆上运动，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,−4)，
求当△PAB面积最大值时P点的坐标．
【演练1】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形ABCD的四条边上，
AF=BG=CH=DE．若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【演练2】（2023·湖北荆门·中考真题）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，
∠AMN=30°，B为A´N的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2❑√2 B．❑√2 C．1 D．2
【演练3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相
切于点D、E、F, ∠DOE=120°，∠EOF=150°．
(1)求△ABC的三个内角的大小；
(2)设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC−BC．
【演练4】（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB=15，AC=8，则AD的长为
______；
问题解决（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB=100cm，BC=160cm，AC=140cm．为
了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图
中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
【演练5】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部，
CD为⊙O的直径，连接BD，∠BCD+2∠ABD=90∘．(1)如图①，求证：AB=AC；
(2)如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，求证：BC=2PA；
(3)如图③，在（2）的条件下，PD=3BD，连接DA并延长至点E，连接OE交AC于点M，OE=AB，
G为B´C上一点，D´G=A´D，连接CG，点N在CG上，连接ON，∠EON=2∠EDC，CN=7，点F为
A´C的中点，连接EF，AF，求△AEF的面积．
基础夯实
1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(3,5)，半径为4，那么x轴与⊙M的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点
（网格线的交点）上，点O是（ ）
A．△ACD的外心B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且
只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正
确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
5．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为12cm，如果圆心与直线的距离是7cm，那么直线和圆
的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）．
6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．O在BC
边上，以O为圆心、OC为半径的⊙O与AB边相切，则⊙O半径= ．
7．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=10．(1)如图①，若∠ATB=45°，求直径AB的长；
(2)如图②，点C是OB上一点，若∠ATC=45°，TC与⊙O相交于点D，过点D作弦DE∥AT，与AB
相交于点F，DE=12，求AF和直径AB的长．
8．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在坐标系中，A(1,6)、B(5,6)、C(7,4)．
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
(2)这个圆的半径长为______；
(3)直接判断点D(5,−3)与⊙M的位置关系，点D(5,−3)在⊙M______．（填内、外、上）
(4)E是图中某一格点，连接BE，若BE是⊙M的切线，则E点有______个．
9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O交
CD于点E．(1)若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线；
(2)若E是A´C的中点，且AE=4❑√5，AC=16，求BC的长．
10．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦
车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心
O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
(1)小明猜想∠BDC=∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由．
(2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离2.5米，BC的长为1.5米，求车轮的半径．
培优拔高
11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在△ABC中，∠A=90°，
AB=6步，AC=8步，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的直径为（ ）A．4步 B．5步 C．6步 D．7步
12．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若
∠BOC=130°，则∠BIC的度数为（ ）
A．122.5° B．57.5° C．67.5° D．70°
13．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线y=x+5❑√2上，动
点Q在半径为3的⊙O上（O为坐标原点），过点P作⊙O的一条切线PR，R为切点，则PQ+PR的最小
值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点O在AC上，以O为
圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，与BC相交于点E，若D是AB的中点，则点E到AB的距离为
．15．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于
A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为16，
则PA长为 ．
16．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点
M，N，点P在M´N上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 ．
17．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C为AB的中点，延
长AC到点P，使AC=CP，连接BP．
(1)求∠BDC的度数；
(2)求证：直线BP是⊙O的切线．18．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，AB,CD,EF均为⊙O的直径，点C是弧AF的中点，点
N在OD上，且四边形ONBF是平行四边形，OM=ON=AM=2．
(1)求证：△BON≌△DOM；
(2)若点G在EF的延长线上，且∠BOF=2∠G，证明：CG是⊙O的切线；
⏜
19．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，点C为ΔABD的外接圆⊙O上的一动点（点C不在
BAD
上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．
(1)求∠BAD的度数．
(2)过点A作AE∥BD，交CD延长线于点E，求证：AE是⊙O的切线．
(3)是否存在常数m，使BC+CD=mAC存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC并延长
到D，使DC=CA，连接BD，BC，BD交半圆O于点E，已知AB=4．
(1)如图①，过点C作CM⊥BD于点M，求证：CM是半圆O的切线；
(2)如图②，当AD=BD时，求△ABD与半圆O重合的面积；
(3)如图③，若点P是△BCD的内心，则当点P在半圆O上时，求∠DPC的度数．
