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专题24.2.1 点和圆的位置关系
（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨...................................................................................................................................2
知识点梳理01：点与圆的位置关系............................................................................................................................2
知识点梳理02：确定圆的条件......................................................................................................................................2
知识点梳理03：三角形的外接圆与外心...................................................................................................................2
优选题型 考点讲练...................................................................................................................................2
考点1 判断点与圆的位置关系......................................................................................................................................2
考点2 利用点与圆的位置关系求半径........................................................................................................................4
考点3 已知半径和圆上两点作圆.................................................................................................................................5
考点4 点与圆上一点的最值问题.................................................................................................................................5
考点5 三角形外接圆的概念辨析.................................................................................................................................5
考点6 求三角形外心坐标...............................................................................................................................................6
考点7 求特殊三角形外接圆的半径............................................................................................................................7
考点8 已知外心的位置判断三角形的形状..............................................................................................................8
考点9 判断三角形外接圆的圆心位置........................................................................................................................9
考点10 判断确定圆的条件.............................................................................................................................................9
考点11 确定圆心（(尺规作图）...............................................................................................................................10
考点12 求能确定的圆的个数......................................................................................................................................11
考点13 画圆(尺规作图）.............................................................................................................................................11
考点14 反证法证明中的假设......................................................................................................................................12
考点15 用反证法证明命题..........................................................................................................................................13
考点16 举反例..................................................................................................................................................................13
中考真题 实战演练.................................................................................................................................14
男滴分层 拔尖冲刺.................................................................................................................................16
基础夯实...............................................................................................................................................................................16
培优拔高...............................................................................................................................................................................19知识点梳理01：点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以
确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左
端．
知识点梳理02：确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个
点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一
个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个
圆．
知识点梳理03：三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外
心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
考点1 判断点与圆的位置关系
【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系xOy中，如果点A的坐标为(x,y)，点B的坐标为(2x+2,2y−2)，则称点B为点A的“亲情点”
(1)如图1，如果⊙O的半径为❑√3+1．
①请你判断M(2,1)，N(−1,2)两个点的“亲情点”与⊙O的位置关系；
②设⊙O与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点P(a,a+2)的“亲情点”P′在直线CD上，
求a的值；
(2)如图2，如果⊙O的半径为1，且Q(−2,3)的“亲情点”为Q′，求点Q′到⊙O上任一点距离的最小值．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，
C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上考点2 利用点与圆的位置关系求半径
【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在平面直角坐标系中，点P(1,1)，△ABC三点
的坐标分别为：A(3,1),B(4,3),C(2,4)．
(1)以点P为旋转中心，将△ABC沿着顺时针方向旋转90°得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出
A′,B′,C′三点的坐标；
(2)以原点O为圆心，r长为半径，当点A,B,C,A′,B′,C′六个点中恰好有三个点在⊙O的内部时，直接
写出r的取值范围．
【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．
(1)若以A为圆心，8长为半径作⊙A，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值
范围是 ．考点3 已知半径和圆上两点作圆
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段AB，且AB<6，则经过A,B两点且半径为3
的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心❑√5为半
径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则
AD2+BD2的最大值为 ．
考点4 点与圆上一点的最值问题
【典例精讲】25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm，最小距离是
1cm，则这个圆的半径是（ ）．
A．3cm B．2cm C．3cm或2cm D．不能确定
【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是A´B的中点，点P是
⊙O上的任意一点，连接PA、PB、PC，过点O作OE⊥CP，垂足为E，交AP于点F，若AB=8，则
BF的最小值为 ．
考点5 三角形外接圆的概念辨析
【典例精讲】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，
OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF=6.5，△ABC的周长
为20，则EF的长为（ ）A．8 B．4 C．3 D．3.5
【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠C．连接AO
并延长，交BC于点D．
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)若⊙O的半径为5，BC=8，求AB的长．
考点6 求三角形外心坐标
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内一点，P为
x轴正半轴上一点，∠AOP=60°，且AP的最小值为4❑√3．将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段
AQ．
(1)求点A的坐标；
(2)已知x轴上存在一定点B(8,0)，满足不论点P在x轴正半轴的何处，都有∠ABQ的大小不变．
①求∠ABQ的大小；
②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下
列问题．若OP6 D．n≠7
【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，
垂足为D，AD=2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最
大值为4，则CD的值为（ ）7
A．2❑√3 B．2❑√2 C．3❑√2 D．
3
考点11 确定圆心（(尺规作图）
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点．点A，点B，点C均为格点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
(1)画出圆的圆心O．
(2)画出∠CAB的角平分线AD．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：求作⊙O，使⊙O经过A，B，C三点；
(2)仅用没有刻度的直尺在⊙O上找一点D，使∠BCD=90°，要求：保留作图或画图痕迹，不写作法）考点12 求能确定的圆的个数
【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，
则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线AB不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段AB的垂直平分线时，可作几个圆？
考点13 画圆(尺规作图）
【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠BAC．
(1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，连接CB，若∠BDC=98°，求∠CBD的度数．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知△ABC．(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为10，点O到BC的距离为6，求BC的长．
考点14 反证法证明中的假设
【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四
边形ABCD的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线
上的三个点确定一个圆”作出△ABC的圆心O，再证明点D也在⊙O上，在用反证法证明时，假设结论
“点D在⊙O上”不成立，那么点D与圆O的位置关系是（ ）
A．点D只能在⊙O内 B．点D只能在⊙O外
C．点D在圆心O或在⊙O外 D．点D在⊙O内或⊙O外
【变式训练】（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为
“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果AB∥CD，那么∠1=∠2”，
首先应假设 ．
考点15 用反证法证明命题
【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF，②CE⊥DF，③
∠AGE=∠CDF，④∠EAG=30°，正确的有几项（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在
AB，BC，AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
(1)求证：△≝¿是等腰三角形；
(2)用反证法证明△≝¿不可能是直角三角形．
考点16 举反例
【典例精讲】（25-26八年级上·浙江金华·月考）对于命题“如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都
大于45°”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=45°，∠2=50° D．∠1=46°，∠2=40°
【变式训练】（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命
题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若a2=b2，则a=b；(2)对于任意实数x,y，一定有x2+ y2>2xy；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧
BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB=1，则
△APQ的最大面积是（ ）
1 2−❑√3 ❑√2−1 ❑√2+1
A． B． C． D．
4 2 2 4
【演练2】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由
六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹
饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作
法）【演练3】（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰
好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知▱ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M
在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保
留作图痕迹）
【演练4】（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称
“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造
法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月
洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用AC´B表示，点O是AC´B所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是
月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，
拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC=a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作AC´B．
则AC´B就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．【演练5】（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方
形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长
的最小值为 ．
基础夯实
1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，E，F，G均在格
点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作一个半径为6的圆，
点P的坐标为(4,4)，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或外
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平面内，若⊙O的半径为2， OP=❑√5，则点P在⊙O（ ）
A．外 B．内 C．内或外 D．上
4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量
角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角
器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（ ）
A．48度 B．64度 C．96度 D．132度
5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，
其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是 ．
6．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直
角坐标系，使点A的坐标为(−1,3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．
7．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）有下列命题：
①已知⊙O的半径为6cm，点P在圆外，则线段OP的长度取值范围是OP>6cm；
②不在⊙O上的点P到⊙O上的点的最小距离是4，最大距离是9，则⊙O的半径是2.5；
③已知AB,CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为1或
7．
其中真命题的是 （填序号）．8．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦AB的垂直平分
线交弧AB于点C，交弦AB于点D， 连接AC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB=12,CD=3，求残片所在圆的半径．
9．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，已知△ABC．
(1)请作△ABC的外接圆⊙O，连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若∠C=60°，AB=3，求⊙O的半径．
10．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如
图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若∠B=45°，AC=2，求花坛的半径长．培优拔高
11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（ ）
A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆
C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
12．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，BC=8，
OD=3，⊙O所在的平面内有一点P，若OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，
连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0),B(0,4),⊙A的半径为
1，点C是⊙A上的动点，点M是线段BC的中点，则线段OM的最大值是（ ）
1 1 1 1
A． −❑√3 B． +❑√3 C． +❑√5 D． −❑√5
2 2 2 215．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 m2−14m＋48＝0
的两根，则该三角形外接圆的半径是 ．
16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，AB=5❑√2，点C是平面内一动点，且BC=5，连接AC，
将AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，则BD的最小值为 ．
17．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连
接AC,BC,OC．若∠CAB=60°,∠ACB=90°，则OC长的最大值为 ．
18．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，等腰△ABC,AB=AC=5,BC=6．
(1)尺规作图作出△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)作直径AD，证明：AD平分∠BAC；
(3)⊙O的半径=______________．
19．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，
如图，A(3,0),B(4,0)，则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．
(1)⊙O对点(5,2)的“最近覆盖距离”为________________；
(2)点P是函数y=−2x+3图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为2，则点P的坐标为________；
(3)若一次函数y=kx−6k的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为3❑√2−1，求k的取值
范围；
(4)D(m,−3)、E(m+1,−4)，且−4
