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专题 24.1 圆
1. 掌握圆以及圆的相关概念，能够熟练的判断并对其进行应用。
教学目标 2. 掌握圆的对称性，能判断圆作为轴对称图形的对称轴及其数量，能够判断圆作为中
心对称图形的对称中心。
1. 重点
（1）圆的相关概念；
2. 难点
教学重难点
（1）圆的简单计算；
（2）理解圆中最长的弦是圆的直径；
（3）圆的对称轴与圆的直径的区别。知识点01 圆的定义
1. 圆的定义：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是 圆心 ，定长
是圆的 半径 。
动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成
的 图形 叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA的长叫做 半径 。以O点为圆心的圆，
记作 ⊙ O ，读作 圆 O 。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
【即学即练1】
1
1．在平面内与某定点A的距离等于 cm的点有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
1 1
【解答】解：∵在平面内与某定点A的距离等于 cm的点在以A为圆心，以 cm为半径的圆上，
2 2
∴这样的点有无数个，故D正确．
故选：D．
【即学即练2】
2．到定点O的距离为3cm的点的集合是以点 0 为圆心， 3 cm 为半径的圆．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：到定点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm为半径的圆．
故答案为O，3cm．
知识点02 与圆有关的概念
1. 弦的概念：
如图：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 。如图中有弦CD与弦AB。
2. 直径：
过 圆心 的弦叫做直径。如图中弦AB是直径。直径是弦，但是弦不
一定是直径。
3. 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含 半圆 、 优弧 、 劣弧 。
（1）半圆： 直径 的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做 半圆 。
⌒
（2）优弧： 大于 半圆的弧叫做优弧。如图中的优弧AOC，表示为 AOC 。读作 弧 AOC。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。若只有两个字母默认为劣弧。
⌒
（3）劣弧： 小于 半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为 AC 。读作 弧 AC 。
4. 等圆：
能够 重合 的两个圆或半径 相等 的两个圆叫做等圆。
5. 等弧：
在 同圆或等圆 中，能够 重合 的两条弧叫做等弧。
【即学即练1】
3．下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【答案】D
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
【即学即练2】
4．下列语句中正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线
B．经过圆心的线段是半径
C．半圆是弧
D．以直径为弦的弓形是半圆
【答案】C
【解答】解：A、直径是经过圆心的弦，原说法错误，不符合题意；
B、经过圆心的线段不一定是半径，原说法错误，不符合题意；
C、半圆是弧，原说法正确，符合题意；
D、以直径为弦的弓形是半圆形，不是半圆，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
【即学即练3】
5．下列说法中正确的有 ①③④ （填序号）．
①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相
等的两个圆是等圆．
【答案】①③④．
【解答】解：①直径是圆中最大的弦，正确，符合题意；
②长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
④面积相等的两个圆是等圆，正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【即学即练4】
6．如图，点B为线段AC上一点，分别以线段AB、BC为直径作圆，O ，O 为圆心，AC＝10，则O O 长
1 2 1 2
度为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
1 1 1
【解答】解：根据题意知：O O ＝O B+O B= AB+ BC= AC＝5．
1 2 1 2 2 2 2
故选：C．
【即学即练5】
7．已知 O的半径是3cm，则 O中最长的弦长是 6 cm ．
【答案】6cm．
⊙ ⊙
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴ O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故答案为：6cm．
⊙
【即学即练6】
8． O的最长弦为8cm，则 O的半径长为 4 cm．
【答案】4．
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的最长弦为8cm，
∴ O的直径的长为8cm，
⊙
∴ O的半径为8÷2＝4（cm）．
⊙
故答案为：4．
⊙
知识点03 圆的对称性
1. 圆的对称性：
圆既是 轴对称 图形，有 无数 条对称轴。又是 中心对称 图形，对称中心是圆
的 圆心 。
注意圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径。
【即学即练1】
9．下列说法中，不正确的是（ ）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【答案】C
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．
题型01 圆的相关概念的认识
【典例1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
【变式1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线
B．半圆是弧
C．大于半圆的弧叫作优弧
D．长度相等的弧是等弧
【答案】BC
【解答】解：A、直径是经过圆心的弦，原说法错误，不符合题意；
B、半圆是半圆弧和直径组成的图形，原说法错误，不符合题意；
C、优弧定义为大于半圆的弧，原说法正确，符合题意；
D、在同圆或等圆中能够完全重合的两段弧是等弧，原说法错误，不符合题意，故选：BC．
【变式2】下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一个圆中，直径是最长的弦
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．半圆是弧，弧也是半圆
【答案】A
【解答】解：A、在同一个圆中，直径是最长的弦，正确，符合题意；
B、能够重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
D、半圆是弧，弧不一定是半圆，原说法错误，不符合题意，
故选：A．
【变式3】下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【解答】解：A．经过圆心的弦是直径，所以A选项不符合题意；
B．直径是同一个圆中最长的弦，所以B选项符合题意；
C．能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以C选项不符合题意；
D．弧分为半圆、优弧和劣弧，所以D选项不符合题意．
故选：B．
题型02 半径与直径（最长的弦）
【典例1】已知AB是 O的弦，若 O的半径为6cm，则弦AB的长不可能为（ ）
A．13cm B．12cm C．10cm D．6cm
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵AB是 O的弦， O的半径为6cm，
∴ O的直径为12cm，
⊙ ⊙
∴0＜AB≤12，
⊙
∴弦AB的长不可能为13cm，
故选：A．
【变式1】已知 O中最长的弦为6cm，则 O的半径为（ ）cm．
A．2 B．3 C．6 D．12
⊙ ⊙
【答案】B【解答】解：由题意得， O的直径为6cm，
∴ O的半径为3cm．
⊙
故选：B．
⊙
【变式2】已知 O的半径是8cm，则 O中最长弦长是 （ ）
A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm
⊙ ⊙
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径是8cm，
∴ O中最长弦长是16cm．
⊙
故选：C．
⊙
【变式3】在 O中，最长的弦是6cm，则 O的半径为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
⊙ ⊙
【答案】C
【解答】解：∵在 O中，最长的弦是6cm，
∴ O的直径为6cm，
⊙
∴ O的半径为3cm．
⊙
故选：C．
⊙
题型03 关于圆的简单计算
【典例1】如图， O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为 4 cm．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OA＝OB，
而∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝4cm．
故答案为4．
【变式1】如图，AB，AC为 O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝50°，则∠B+∠C等于（ ）
⊙A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠B+∠C＝∠OAB+∠OAC＝50°，
故选：B．
【变式2】如图，AB是半径为2的 O的弦，点C是 O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，
则MN长的最大值是 2 ．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴MN是△ABC的中位线，
1
∴MN= AC，
2
由题意可知：当AC为直径时，AC的值最大，最大值是4，
∴MN长的最大值是2，
故答案为：2．
【变式3】如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC，DNMO均为矩形，BC＝a，MD＝b，则a、b的关
系为（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≤b
【答案】B【解答】解：连接ON、OA，如图，
∵点A、N在半圆上，
∴ON＝OA，
∵四边形ABOC，DNMO均为矩形，
∴ON＝MD，OA＝BC，
∴BC＝MD，即a＝b．
故选：B．
题型04 圆的对称性
【典例1】如图，有（ ）条对称轴．
A．2 B．4 C．5 D．无数
【答案】B
【解答】解：如图所示的图形是正方形和圆的组合体，有4条对称轴．
故选：B．
【变式1】圆有 无数 条对称轴；半圆有 1 条对称轴．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴；
半圆有1条对称轴．
故答案为：无数，1．1．下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（
）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】D
【解答】解：①直径是弦，故①正确，
②圆心相同，半径不同的两个圆叫同心圆，故②不正确，
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③不正确，
故选：D．
2．“车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是（ ）
A．圆形是轴对称图形
B．圆形特别美观大方
C．圆形是曲线图形
D．从圆心到圆上任意一点的距离都相等
【答案】D
【解答】解：车轮都做成圆形，利用了圆心到圆上任意一点的距离都相等，即圆半径都相等，即圆心到
地面的距离都相等，这样子车子才不会颠簸，车子才会更平稳．
故选：D．
3．如图，在 O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（ ）
⊙
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【解答】解：弦为AB、CE、BC．故选：B．
4．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只
脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是3厘米 B．直径是3厘米
C．周长是3 厘米 D．面积是3 厘米
【答案】A
π π
【解答】解：∵两脚间的距离是3厘米，
∴圆的半径为3厘米，周长为6 厘米，面积为9 平方厘米，
故选：A．
π π
5．已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
【答案】D
【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长L≤10．
故选：D．
6．已知 O中最长的弦为8，则 O的半径是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O中最长的弦为8，即直径为8，
∴ O的半径为4．
⊙
故选：A．
⊙
7．如图， O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
⊙
A．42° B．29° C．21° D．20°
【答案】B
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
1 1
∴∠E= ∠AOC= ×87°＝29°．
3 3
故选：B．
8．如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为L ，n个小半圆弧长的和为L ，大半圆的弦AB，BC，
1 2
CD的长度和为L ．则（ ）
3
A．L ＝L ＞L
1 2 3
B．L ＝L ＜L
1 2 3
C．无法比较L 、L 、L 间的大小关系
1 2 3
D．L ＞L ＞L
1 3 2
【答案】A
180πnr 180πr
【解答】解：设小半圆的半径为r，大半圆的半径为nr，L = = n r，L = ×n＝n r，
1 180 2 180
π π
∴L ＝L ，
1 2
∵^AB＞弦AB，C^B＞弦BC，C^D＞弦CD，
∴L ＞L ，
1 3
∴L ＝L ＞L ，
1 2 3
故选：A．
9．小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心．任意长为半径，分别
在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别
交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形ABCD．下列结论错误的是（ ）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠ADB＝∠CDB D．∠BAD＝∠BCD
【答案】C【解答】解：由作法得BC＝DA，BA＝DC，所以B选项的结论正确；
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，所以A选项、D选项的结论正确，
只有BC＝BA时，∠ADB＝∠CDB，所以C选项的结论错误．
故选：C．
10．如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交 O于点
C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA=❑√BC2+OB2=10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
11．圆心决定圆的 位置 ，半径决定圆的 大小 ．
【答案】位置，大小．
【解答】解：∵圆由圆心和半径确定，
∴圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．
故答案为：位置，大小．
12．早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读 yuan），一中
同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是 半径 ．
【答案】半径．
【解答】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径，
故答案为：半径．
13．下列说法中正确的有 （ 1 ）（ 3 ）（ 4 ） （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；
（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不
但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条
弦为直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
14．如果一个圆最长的弦是10cm，那么它的半径是 5 cm ．
【答案】5cm．
【解答】解：∵一个圆最长的弦是10cm，
∴这个圆的直径为10cm，
1
∴这个圆的半径为 ×10＝5（cm），
2
故答案为：5cm．
15．如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长
为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：如图，连接OB与OE．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠CBA＝90°，OB＝AC．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC=❑√AC2=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5．
∴AC＝OB＝5．
∴OE＝OB＝5．
∵四边形ODEF为矩形，
∴DF＝OE＝5．故答案为：5．
16．如图，在 O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上．
（1）图中共有几条弦？请将它们写出来．
⊙
（2）请任意写出两条劣弧和两条优弧．
【答案】（1）2条；AD，AE；
（2）^AE，^DE（答案不唯一），优弧有^AEC，^ACE．
【解答】解：（1）图中共有2条弦，分别是AD，AE；
（2）图中的劣弧有^AE，^DE（答案不唯一），优弧有^AEC，^ACE．
17．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若
∠A＝25°，求∠DCE的度数．
【答案】40°．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
18．如图， O的半径OC⊥AB，D为^BC上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径
AB的长．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，
∴OD＝EF＝3，
∴AB＝6．
19．“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；
如图是某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径
为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积．
59
【答案】（1） r2；
100
59 π
（2） cm2．
25
π 1 1 59
【解答】解：（1）阴影面积： r2﹣ ×（ r）2﹣ ×（ r）2×4 = r2；
2 5 100
59 π π π π
阴影部分的面积为： r2；
100
5π9 59
（2）当r＝2cm，原式= × ×22= （cm2）．
100 25
59 π π
故答案为： cm2．
25
π
