文档内容
专题 24.1 圆
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.......................................................................................................1
知识点（一）圆的定义.........................................................................................................................2
【题型1】利用圆的半径相等求值.......................................................................................................2
知识点（二）圆的相关概念.................................................................................................................4
【题型2】圆的相关概念辨析..............................................................................................................5
【题型3】求圆中弦的条数..................................................................................................................6
知识点（三）圆中最长的弦——直径.................................................................................................8
【题型4】求圆中弦的条数..................................................................................................................8
知识点（四）教材挖掘——与圆有关周长和面积的计算................................................................10
【题型5】与圆有关周长和面积的计算.............................................................................................10
知识点（五）教材挖掘——四点共圆...............................................................................................12
【题型6】四点共圆............................................................................................................................12
二. 同步练习..................................................................................................................................14
【基础巩固（20题）】......................................................................................................................14
【能力提升（20题）】......................................................................................................................27
【中考真题5题】...............................................................................................................................46
一．知识梳理与题型分类精析
圆是生活中常见的图形，如上图三幅图给我们以圆的形状.
如上图，我们可以通过圆规作圆.知识点（一）圆的定义
在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形
叫做圆.其固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径. 如图1，以点 为圆心的圆，记作☉o，
读作“圆 ”.
图1
通过作图过程，我们可以发现，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，即到定点的距离都等
于定长的点在同一个圆上，因此，我们可以把圆看成：到定点的距离等于定长的所有点的集合.
【题型1】利用圆的半径相等求值
【例题1】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在 中， 是直径， 于 ，
若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质；
连接 ，求出半径 ，可得 ， ，则 垂直平分 ，然后根据线段垂直
平分线的性质可得答案．
解：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴ ， ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
故选：C．
【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图， 是 的弦， 过圆心O，且
，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，连接 ，先根据等边对等角
，从而得到 ，再利用等腰三角形的定义和三角形外角的性质得到
的度数即可．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图， 是 的半径，点C在 上，
，求 的度数．
【答案】 的度数为
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，先根据半径相等得 ，再运
用三角形内角和 得 ，故 ，然后由 得 ，
即可作答．
解：连接 ，
，
，
，
，
，
答： 的度数为 ．
知识点（二）圆的相关概念
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，如图2， 、 是弦，
是直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 、 为端点的弧记作 ，读作“圆弧”
，或“弧 ”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等，
在同圆或等圆中，能互相重合的弧叫做等弧.
大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，如图 2中的 是优
弧， 是劣弧.
图2
【题型2】圆的相关概念辨析
【例题2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直径是经过圆心的直线 B．半圆是弧
C．大于劣弧的弧叫作优弧 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的基本概念，需逐一分析各选项的正误
解：选项A：直径是经过圆心的线段，而非直线，直线是无限延伸的，而直径两端在圆上，有固定
长度，故A错误；
选项B：半圆是圆上一条直径将圆分成的两部分，每部分均为弧，且弧的度数为 ，故B正确；
选项C：优弧是大于半圆（ ）的弧，劣弧是小于半圆的弧，但选项未限定“在同圆或等圆中”，
且“大于劣弧”的弧可能仍为劣弧（如 弧大于 劣弧，但仍是劣弧），故C错误；
选项D：等弧需满足长度相等且在同圆或等圆中能完全重合，仅长度相等未必是等弧（如不同半径
的圆中可能存在长度相等的弧），故D错误；
故选B
【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在 中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条
直线上，则图中 是弦， 是直径， 是以A为端点的劣弧， 是以A
为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上）【答案】 ， ， ， ， ，
【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直
径，劣弧，优弧的定义即可解答．
解：由图，得： ， ， 是弦， 是直径， ， ， 是以A为端点的劣弧，
， 是以A为端点的优弧．
故答案为： ， ， ； ； ， ， ； ， ．
【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；
③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
解：①直径是弦，说法正确；
②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误．
综上，正确的只是①，
故选：D．
【题型3】求圆中弦的条数
【例题3】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点
，点 分别共线，则图中弦的条数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到
答案．
解：图中的弦有 共三条，
故选：B．
【变式】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 四点在 上，点
，点 分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到
答案．
解：图中的弦有 共三条，
故选：B．
知识引入
【例题4】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图所示，求证：直径是 中最长的弦．
【答案】见分析
【分析】本题考查了圆的概念，在 中，由三角形任意两边之和大于第三边有 ，
结合 ，故 大于 ，即可得出结论．
解：证明：如图， 是 中的任一直径， 是圆内任意一条弦，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴直径是圆中最长的弦．
这样我们就得到一个结论：
知识点（三）圆中最长的弦——直径
直径是圆中最长的弦.
【题型4】求圆中弦的条数
【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形 中，
，则 的最大值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取 的中点O，则
，即 四点共圆，当 是圆的直径时，其值最大为8．
解：取 的中点O，连接 ，，
，
四点在以点O为圆心， 为半径的同一个圆上，
∴当 是圆的直径时，其值最大为8．
故答案为：8．
【变式1】（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，点P是
劣弧 上任意一点．若 ，则 的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由 是 直径得 是 中最长的弦，且 ，
故有 ，所以可得结论．
解： 是 直径，
∴ 是 中最长的弦，
∴ ，
∵
∴
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上
的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．【答案】2
【分析】如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，由中位线定理，得 ，点A为
定点，C为动点， 的最大值为直径长，即 长．于是 的最大值为 ．
解：如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴ ．
点A为定点，C为动点， 的最大值为直径长，即 长．
∵ 是直径，
∴ ．
∴ 的最大值为 ．
故答案为：2
【点拨】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．
知识点（四）教材挖掘——与圆有关周长和面积的计算
小学我们已经学习过：设☉o的半径为 ，面积为 ，周长为以 ，则:
；
【题型5】与圆有关周长和面积的计算
【例题5】【教材源题】你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄．把树干的横截面看成是圆形的，如果
一棵20年树龄的树的树干直径是 ，这棵树的半径平均每年增加多少？
【答案】这棵树的半径平均每年增加0.575cm．
【分析】根据年轮的特点即可列式求解．
解：∵
∴这棵树的半径平均每年增加 0.575 （cm）．
【点拨】此题主要考查圆的特点，解题的关键是根据半径的特点列式求解．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）工厂生产一种图①所示的螺丝垫圈，其示意图如图②
所示．已知 ，则这个螺丝垫圈底部圆环的面积为 （结果保留 ）．
【答案】
【分析】本题主要考查圆的面积，根据“圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积”计算即可．
解：圆环的面积
，
故答案为： ．
【变式2】（2025·山东威海·一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并
且放大后的示意图，四边形 是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点 ．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化
为规则图形面积之间的关系．
由题意得半径为 ，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
解： 四边形 是边长为2的正方形，
正方形的对角线的长为 ，
半径的长为 ，
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，
∴阴影部分面积 ，
故选：A．
知识点（五）教材挖掘——四点共圆
到定点的距离等于定长的所有的点在同一个圆上.这样我们就能理解四点共圆：如果四个
点到一个点的距离相等，那么这四个点在同一个圆上，这就是四点共圆.
【题型6】四点共圆
【例题6】【教材源题】
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
解题分析：要求A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，即证明OA=OB=OC=OD即可.
证明： 四边形ABCD为矩形，又 AC=BD
A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
【变式1】（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证： ， ，
， 四点在同一个圆上．
【答案】见分析
【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证 ， ， ， 四点在同一个圆
上， 是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明 到 得中点
的距离等于 的一半就可以．
解：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
， 是 的高，
和 都是直角三角形．
， 分别为 和 斜边上的中线，
．
， ， ， 四点在以 点为圆心， 为半径的圆上．
【变式2】【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）下列语句中正确的个数是（ ）
①矩形的四边中点在同一个圆上； ②菱形的四边中点在同一个圆上；③等腰梯形的四边中点在同一个圆上； ④平行四边形的四边中点在同一个圆上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查四点共圆的条件，能够迅速判断一个四边形的四个中点组成的图形的形状是
解题的关键．
根据对角互补的四边形的四个顶点共圆逐项判断即可．
解：①矩形的四边中点组成的图形是菱形，对角不一定互补，错误，不符合题意；②菱形的四边中
点组成的图形是矩形，对角互补，则四个点共圆，正确，符合题意；③等腰梯形的四边中点组成的
图形是菱形，对角不一定互补，则不共圆，错误，不符合题意；④平行四边形的四边中点组成的图
形是平行四边形，对角不一定互补，则不共圆，错误，不符合题意．
综上，正确的只有1个．
二. 同步练习
【基础巩固（20题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为 的圆中测量弦 的长度，测量结果可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解．
解： 半径为 的圆，直径为 ，
在半径为 的圆中测量弦 的长度， 的取值范围是： ，
弦 的长度可以是 ，不可能为 、 、 ．
故选：D．
2．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【圆的周长】小圆的直径是 ，大圆的半径是 ，
小圆周长是大圆周长的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．
根据圆的面积公式计算即可．
解：∵小圆的直径是 ，大圆的半径是 ，
∴小圆的周长是 ，大圆的周长是 ，
∴小圆周长是大圆周长的 ，
故选：A．
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图所示，点P是 上的任意一点，则以点P为端点的半
径（ ）
A．有1条 B．有2条 C．有无数条 D．不存在
【答案】A
【分析】本题考查了圆的认识，掌握与圆有关的概念是解题的关键；根据圆的半径的定义求解即可．
解：以点P为端点的半径为 ，有1条，
故选： ．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的直径 ，若点 ， 在半圆上运动，
且保持弦 ，延长 相交于点 ．则 的大小（ ）
A． B． C． D．随 、 位置的变化而变
化
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内
角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．连接 ，证明 是等边三角形，则 ，再根据等腰三角形的性质以及三角形内
角和定理即可求解．
解：如图，连接 ，
∵直径 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在 中， ， ，以C为圆心，
为半径的圆交 于点D，连接 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得
，再由等腰三角形的性质求出 ，则 与 互余．解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（ ）
①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为 且经过点P的圆有无数个；
④以点P为圆心， 为半径的圆有无数个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关
知识逐一分析即可．
解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则：
① 经过一个点P的圆有无数个，正确；
②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确；
③半径为 且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确；
④以点P为圆心，以 为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误；
综上，错误的为④，即1个．
故选：A．
7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图， 是 的直径，点 在 上， ，垂足为
，已知 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接 构造直角三角形利用勾股定理是解题的关
键．连接 ，在 中利用勾股定理求出 的长，再结合 是 的直径即可得出答案．解：如图，连接 ，
，
，
， ，
，
是 的直径，
．
故选：D．
8．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．半圆是弧
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．长度相等两条弧是等弧
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，根据圆的基本概念逐一分析选项．
解：A．直径是弦，但弦不一定是直径（只有过圆心的弦才是直径），故A错误．
B． 半圆是圆周的一部分，属于弧，且为 的弧，故B正确．
C． 过圆心可以作无数条直径，过圆内非圆心的点不能作直径，故C错误．
D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定为等弧，故D错误．
故选：B
二、填空题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）等腰 中， ， ，以C为圆心， 为半径作
圆弧与 的边交于点D．则 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形
内角和定理得到 ，再分点D在 上和点D在 上两种情况，画出对应的示
意图，讨论求解即可．解：∵ ， ，
∴ ，
如图，当 与 交于D时，
∵ ，
∴ ，
如图，当 与 交于D时，
∵ ，
∴ ；
∴ 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
10．（24-25九年级上·重庆秀山·阶段练习）如图， 的半径为 ， 是 的弦，半径
于点 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的基本知识，勾股定理，根据题意得 ， ，利用勾股定理得
，代入数据计算即可．掌握圆的基本知识是解题的关键．解：∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
11．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫 的面积为4平方米，
则餐桌的面积为 平方米．
【答案】2π
【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接 ，由正方形的两种可求出 根
据勾股定理求出 ，再根据圆的面积计算公式可得结论．
解：∵四边形 是正方形，且面积为4，
∴ ，
连接 ，如图，
∵正方形 内接于 ，
∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E在y轴上， 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若 ， ，则 半径r为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，坐标与图形，根据点的坐标得到
，则 ，由勾股定理可得 ，解方程即可得到答
案．
解：如图所示， 连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 半径r为5，
故答案为：5．
13．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示， 为 的直径， 是 的弦， 的
延长线交于点E，已知 ， ，则 ．【答案】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接 ，可证明
，得到 ，由三角形外角的性质得到 ，再由
得到 ，则 ．
解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系 中， 与x轴交于B，C两点，与y轴
交于点A，且 ，则圆的半径为 ．
【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接 ，设 ，则
，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴圆的半径为5，
故答案为：5．
15．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图， 为 的直径，过点D的弦 平行于半径
，若 的度数是 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由
，得出 ，由三角形的外角性质得出 ，再由平行线的性质即可得出 的
度数．
解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
故答案为： ．
16．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与 相交于点A，B，点A的坐标为 ，
则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个
点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 关于原点O的对称点是 ，据此解
答即可．
解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称，
∵点A的坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
三、解答题
17．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， ， 的中点为
O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．【答案】见分析
【分析】连接 、 ，由直角三角形斜边上的中线定理得 ，则可得
出结论．
解：证明：连接 ， ，
∵ ，AB的中点为O，
∴ ，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心， 长为半径的圆上．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记
性质是解题的关键．
18．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图， 是 的弦， 是 上一点，且 ，
．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连
接 ，由等边对等角得 ， ， 进而得 ．再根据直角三角
形的两锐角互余即可得解。
，从而得到答案．
解：连接 ．，
．
，
．
．
，
．
，即 ．
．
19．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦， 、 的
延长线交于点 ， ． 若 求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质；根据已知得出
，根据 得出 ，进而根据三角形外角的性
质，得出 ，即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵∴
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵
∴
20．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ，求∠2的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明 得到
，即可推出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形 的顶点 在半径为5的半圆 上，顶点 在直径
上．若 ，则矩形 的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握
矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
连接 ，可由勾股定理求得 ，再证明 ，则
，那么 ，即可求解矩形面积．
解：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，
故选：C．
2．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．半圆是圆中最长的弧 B．圆内接平行四边形一定是矩形
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆的直径是圆的对称轴
【答案】B
【分析】本题主要考查圆的条件以及圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．利用圆的有
关定义以及性质分别判断即可．
解：半圆不是圆中最长的弧，故选项A错误；
圆内接平行四边形一定是矩形，故选项B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项C错误；
圆的直径所在的直线是圆的对称轴，故选项D错误；
故选B．3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图， ， 为 上两点， ， 为 上一动
点（不与 ， 重合）， 为 的中点．若 的半径为2，则 的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接 ，取 的中点 ，连
接 ，根据中位线的性质可得 ，再利用勾股定理求得 ，根据三角形边长关
系可得 ，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
为 的中点， 的中点 ，
， ,
,
,
根据三角形边长关系可得 ，
的最大值为 ，
故选：A．
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系 中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，
交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线 与 相交于点E．若 ，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接 ，
设 交于 ，由作图方法可得 垂直平分 ，则 ， ，再
利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，设 交于 ，
由作图方法可得 垂直平分 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
故选：B．
5．（2025·广东揭阳·三模）如图，某仓库正门的截面是一个半径为 的半圆 ，一辆高为 的
矩形货车 恰好能通过该仓库正门．则车宽 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的对称性，勾股定理，熟练掌握对称性和勾股定理是解题的关键.连接 ，
根据勾股定理，得 ，根据圆的对称性，得到 ，解答即
可.
解：连接 ，根据勾股定理，得 ，
根据圆的对称性，得到 ，
故 ，
故选：A.
6．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）甲、乙两个圆，甲圆的面积是 ，乙圆的周长是
，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
解：由题意得
解得： ，
解得： ，所以 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两
个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点
可以作无数条直径．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、
半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可．
解：①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；
②半径相等的两个半圆是等弧，正确；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；
⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；
综上，正确的有：②③，共2个，
故选：B．
8．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线 围成．若 ，
则 （ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出 ．得到 ，代入
得到 ，则 ，即可求出答案．解：由题意可得， ．
∴ ,
将 代入抛物线 ， ，
解得 ，
∴ ,
∴
．
故选：C
二、填空题
9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，A，B，C是 上的三个点，若四边形 为菱形，
则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运
用相关性质定理成为解题的关键．
如图： 连接，易得 ，再根据菱形的性质可得 ，即 是等边三角形可
得 ，同理可得 ，最后根据角的和差即可解答．
解：如图： 连接，
∵A，B，C是 上的三个点，
∴ ，∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，线段 经过圆心O，点B，C在圆上，且
， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，含 角的直角三角形性质，圆的基本性质等．根据题意过点
作 于点 ，则 ，继而得到 ，再利用勾股定理求出
，再列式 ，继而得到本题答案．
解：过点 作 于点 ，连接
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
11．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 中， 为 边的中
线，以O为圆心，线段 长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、圆的定义，属于
基础题，明确直角三角形斜边中线等于斜边一半是关键．先由勾股定理求 ，再根据直角三角
形斜边中线等于斜边一半可得 的长，由半径相等得 长，从而写出 的坐标．
解： ，
，
，
，
为 边的中线，
，
，，
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，在
上截取 ，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明 是等
腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，连接 ．
，
．
，
，
．
，
．
，
则 是等腰直角三角形．
，
．．
故答案为： ．
13．（2025·陕西西安·三模）在菱形 中， ，连接 ，以点 为圆心， 长为半径
作弧，交射线 于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
【答案】 /78度
【分析】本题考查了圆的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握
以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质求得 ，然后根据 ，得到
，最后利用三角形内角和定理即可求得答案．
解：根据题意，如图，
四边形 是菱形，
，
又 以点 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 ，
，
，
．
故答案为： ．
14．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，点
是在直线 上方到 距离等于3的一个动点，当点 在以点 为圆心， 为半径长的圆上时，
的长为 ．【答案】5或
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
如图，过 作 于 ，则 ，根据勾股定理得到 ，求得
，根据勾股定理得到 ；过点 作 交 的延长线于 ，
同理得 ，根据勾股定理得到 ．
解：如图，过 作 于 ，
则 ，
在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
；
过点 作 交 的延长线于 ，同理得 ，
，
∴ ，
综上所述， 的长为 5 或 ，
故答案为： 5 或 ．
15．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在 中， ， ， ，垂足
为点 ， ，垂足为点 ， ，则四边形 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接 ，
证明 ，则有 ， ，再由直角
三角形性质可得 ，然后通过勾股定理求出 即
可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ，
故答案为： ．
16．（2025·内蒙古通辽·三模）如图，在 中， ， ， ， 分别是 ，
边上的中点，点 在 的延长线上， ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线定理，圆的有关概念，勾股定理等知识，取 中点 ，连接 ，由
中位线定理得 ，又 ， ，则 ，因为 分别是 上的中
点，所以 ，从而得 ，则点 在以 为圆心， 为直径的圆上，
如图，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键．
解：如图，取 中点 ，连接 ，∵ 分别是 上的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 分别是 上的中点，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点A，B，C是 上的三点， 平分 ．求证：
．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了圆的概念与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关
知识是解题的关键．连接 ， ，由 ， 与 平分 可得相关角的关系，
从而证得 ，根据全等三角形的性质即可求解．
解：证明：连接 ， ，如图，∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，线段 过圆心O，交 于B，C两点，线段 交
于D，E两点，且 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】连接 ，推出 ，根据三角形的外角定理得出 ，则 ，最
后根据 即可求解．
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题主要考查了圆的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握圆心到圆上任意一点距
离相等，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和．
19．（2025·江西·模拟预测）课本再现
如图1， ， ， ，垂足分别为 ， ， 与 相等吗？为什么？
（1）完成上述课本习题．
知识应用
（2）如图2， 的弦 ， 的延长线相交于点 ，连接 并延长．若 ，求证：
为 的平分线．
【答案】（1） ，见分析；（2）见分析
【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定．
（1）证明 ，根据 于点 ， 于点 ，即可证明；
（2）过点 分别作 ， ，垂足分别为 ， ．同理（1）即可得出结论．
解：（1） ．理由如下：
在 和 中，
，
．
又 于点 ， 于点 ，即 分别是 边 上的高，
．
（2）证明：如图，过点 分别作 ， ，垂足分别为 ， ．，
同理可得： ，
， ，
为 的平分线．
20．（2025·四川广元·三模）如图，二次函数 的图象的顶点坐标为 ，与
轴交于点 ，与 轴分别交于点 和点 （点 在点 左侧）， ， 为抛物线上的两点．
（1）求该二次函数的解析式和 ， 两点的坐标．
（2）以 为直径作圆，圆心为 ，求点 与 上的点的最短距离．
（3）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 的面积 是否存在最小值？若存在，请
求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）存在， ．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的性质，圆的有关概念，掌握知识
点的应用是解题的关键．
（ ）利用待定系数法求解析式即可；
（ ）连接 ，由 为 的直径， ， ，则 ， ，由勾股定理得，从而即可求出点 与 上的点的最短距离；
（ ）点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，则点 ，点 ，
然后分 当直线 轴时， 当直线 与 轴不平行时两种情况分析即可．
解：（1）解：由题意，设 ，将 代入，得 ，
∴ ，
∴该二次函数的解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ， ，
∴ ， ；
（2）解：如图 ，连接 ，
∵ 为 的直径， ， ，
∴ ， ，
∴ 的直径为 ，
∴半径为 ，
由勾股定理，得 ，
∴点 与 上的点的最短距离为 ；
（3）解：存在，由（ ）得该二次函数的解析式为 ，
∵点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴点 ，点 ，
当直线 轴时，
∴ ，解得： ，
∴点 ，点 ，
∴ ，
当直线 与 轴不平行时， ，如图 ，设直线 交 轴于点 ，
由点 ，点 ，
设 解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ 的面积，
，
综上所述， 的面积 存在最小值，为 ．
【中考真题5题】
一、单选题
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重
物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆
弧，
故选：C．
2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是
由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下
列叙述正确的是（ ）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；
丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
【点拨】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
二、填空题
3．（2023·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把
绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接
， ，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】过点A作 交 的延长线于点G，求出 ，然后由旋转的性质可知
点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线
的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．
解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，
∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了含 直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基
本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线 距离的最大值是解答本题的关键．
三、解答题
4．（2025·广西·中考真题）如图，已知 是 的直径，点 在 上，
．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）详见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌
握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用 证明全等即可；
（2）根据 ，求出 ，再利用全等求出 ，最后利用等边对等角即可求．
解：（1）证明： 的半径为 ，
，
， ，
；
（2）解： ，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
5．（2025·河南·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以 为直径的圆交 于点 ．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点 是 的中点，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1）作图见详解；（2）证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关
键．
（1）运用尺规作直径 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到 ， ，即 ，由一
组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
解：（1）解：如图所示，
∵ 是直径，
∴运用尺规作直径 的垂直平分线角 于点 ，
∴点 即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
