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专题07 三角形全等的重要模型
考向一、倍长中线模型
考向二、旋转模型
考向三、垂线模型
考向四、平移全等模型
考向五、半角全等模型
考向一、倍长中线模型
1．（2020·河南焦作·七年级期末）已知AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝3，AD＝2，则AC的长可
以是（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020·四川成都·七年级期末）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD
的长为偶数，则AD＝_____．
3．（2021·陕西汉中·七年级期末）如图，在 中， 是 边上的中线，过 作 的平行线交
的延长线于 点．若 ， ，试求 的取值范围．
考向二、旋转模型
1．（2021·山西临汾·七年级期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
2．（2021·河北沧州市·八年级期末）如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝
∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：
“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
3．（2020·山东东营·七年级期末）如图，在 中， ， ，直线 经过点 ，且
于点 ， 于点 ．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；② ；
（2）当直线 绕点 旋转到如图2所示的位置时，求证： ；
（3）当直线 绕点 旋转到如图3所示的位置时，试问 ， ， 具有怎样的数量关系？请直接写
出这个等量关系，不需要证明．
考向三、垂线模型
1．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，在 中， ，过点 作 ，且
，连接 ，若 ，则 的长为________．2．（2020·辽宁锦州·七年级期末）在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且
AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）如图1所示位置时判断 ADC与 CEB是否全等，并说明理由；
（2）如图2所示位置时判断 ADC与 CEB是否全等，并说明理由．
3．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地
面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点
和 分别与木墙的顶端重合．
（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
考向四、平移全等模型
1．（2021·浙江温州市·八年级期末）如图， ， ，要说明 ，需添加
的条件不能是（ ）A． B． C． D．
2．（2021·云南昆明市·八年级期末）如图：已知 ， 且 ，求证：
．
3.（2021•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再添加
一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加 AB＝DE；乙说：添加
AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
考向五、半角全等模型
1．（2021·山东东营市·七年级期末）(1)问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的
点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明Δ ΔADG，再证明Δ
ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．(2)探索延伸：如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，
∠EAF= ∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．
2．（2022·四川绵阳市·八年级期末）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD
＝180°，AB＝BC（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出
∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
1．（2021·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，
并且有 ，求证： ．
2．（2020·四川巴中·七年级期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED
之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
3．（2021·广西百色市·八年级期末）如图，已知点 是 的中点， ∥ ，且 ．
（1）求证：△ACD≌△CBE．（2）若 ，求∠B的度数．
4．（2019·山西临汾·七年级期末）阅读材料，并回答下列问题
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；
如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角
形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外）， ．
（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝
．
（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′
的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．
（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位
置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．5．（2020·北京·清华附中七年级期末）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一
点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为△点D，E．
（1）求证： BCE≌△CAD；
（2）请直接△写出AD，BE，DE之间的数量关系： ．
6．（2021·广东揭阳·七年级期末）已知点C为线段AB上一点， 分别以AC、BC为边在线段AB同侧作
△ACD和△BCE， 且CA＝CD， CB＝CE， ∠ACD=∠BCE， 直线AE与BD交于点F．
(1)如图，求证：△ACE≌△DCB．
(2)如图， 若∠ACD＝60°， 则∠AFB＝ ；如图， 若∠ACD＝90°， 则∠AFB＝
；
(3)如图， 若∠ACD＝β， 则∠AFB＝ (用含β的式子表示)并说明理由．
7．（2020·四川成都·七年级期末）（1）如图1，在 ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延
长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在 ACE中，利用三角形三边关系可得AD的
取值范围是 ；
（2）如图2，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别
在BC，AB上，且∠EDF= ∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
8．（2020·河南郑州·七年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两
个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查
询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如
果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大
手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和
CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接
BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等
边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的
数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
