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专题 07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型..........................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型...........................................................................7
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型........................................................................................14
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型................................................................................21
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
模型总结：
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： .
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A.
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D.
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠DCB）=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）
.
即：2∠P=∠A+∠D.
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条 件 ： 如 图 3 ， CP 、 DP 平 分 ∠ BCD 、 ∠ CDE ， 两 条 角 平 分 线 相 交 于 点 P ； 结 论 ：
.证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- （∠BCD+∠CDE）=180°- （540°-∠A-∠D-∠E）
=∠A+∠D+∠E-90°. 即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°.
1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在 中， ， 的平分线 ， 相交于点
F， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等
于 ”是解题的关键．由 ，求得 ，因为 ， 的平分线 ，
相交于点F，所以 ， ，则 ，
求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】解： 在 中， ，
∴ ，
， 的平分线 ， 相交于点F，
， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若
，则 的度数为 ．
【答案】 /120度【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
先根据三角形内角和定理求出 的度数，再由 平分 ， 平分 ，得出
的度数，进而可得出结论．
【详解】解： ，
，
平分 ， 平分 ，
，
．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究
【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
（1）若 ，则 ___________；若 ，则 ________；
（2）求 与 之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的
数量关系．
【答案】(1) ； ；
(2) ，证明见解析；
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是
解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】（1）解：若 ，
∵ 分别是 和 的平分线， ， ，
∴ ，
∴ ．
若 ，
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）解： ；理由如下：
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ， ，
∴
；
（3）解： ．
如图，延长 ，交于点E，由（2）知， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ．
4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）【问题】
如图①，在 中， ， 平分 ， 平分 ．求 的度数，对于上述问题，在
以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵ （三角形内角和180° ）．
∴ （等式性质）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
同理， ；
∴ （等式性质）．
∵ ，
∴ （等式性质）．
【拓展】如图②，在 中， ， 平分 ， 平分 ．
则 （ ）．
【应用】如图③，在 中， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ．
若 ，则 ．【答案】【问题】 ； ； ； ； ；【拓展】 ；【应用】
【分析】（1）由三角形的内角和可 ，从而求得 ，再角平
分线的定义可得 ， ，再次利用三角形的内角和可求∠D的度数；
（2）仿照（1）即可求解；
（3）结合（1）的过程，不难求 的度数．
【详解】解：（1）∵ （三角形的内角和定理），
∴ （等式性质）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
同理， ．
∴ （等式性质）．
∵ ，
∴ （等式性质）．
故答案为： ； ； ； ； ；
（2）∵ （三角形的内角和定理），∴ （等式性质）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
同理， ．
∴ （等式性质）．
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
模型总结：
图1 图21）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， .
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A.
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴ ， .
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= .同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=
5．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰 中 ， ，三角形的内外角的角
平分线交于点 ， 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定
义；根据题意得出三角形的外角性质得出 ，即可得出 ，
根据三角形内角和定理求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
三角形的内角 的角平分线为 ，
，
平分 外角，
，在 中，由三角形的外角性质，得，
，
，
；
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在 中， ， 的平分线与 的外角（
）的平分线交于点 ； 的平分线与 的外角的平分线交于点 ，…，以此类推，则
（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的
数量关系．解题方法是先推导 与 的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的
等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求 ，再推导 ，归纳出
．
【详解】解： ， ，
，
，
而 ，
，
∴ ，
以此类推得， ； ，
，
故答案为： ．7．（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题：
(1)如图1所示， 平分 ， 平分 ，若 ，则 ______度；
(2)如图2所示， 平分 ， 平分 ，求证 ；
(3)如图3所示， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 、
平分 ， ，如此操作下去，直到 平分 ． 平分 ，若 ，请直
接写出 的值．（用含 ， 的代数式表示，其中 为正整数）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查角平分线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角
和，进行解答，即可．
（1）根据角平分线的性质，则 ， ，根据三角形的外角和，则 ，
，等量代换，进行解答，即可；
（2）根据角平分线的性质，则 ， ，根据三角形的外角和，则
， ，等量代换，进行解答，即可；
（3）根据（2）得到的结论，同理 ， ，得到 ，进行计算，即可．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故答案为： ．
（2）解：证明如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：由（2）可得， ，
∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 、 平分
， ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，在 中， ， 的平分线与
的平分线相交于点P．求 的度数．数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出 的度数．
证明：∵ 平分 ，
∴设 ，则 ．
∵ 平分 的外角，
∴设 ．则 ．
在 和 中，由三角形外角性质得：
请你补全余下的证明过程．
【探究】如图②，在四边形 中， ， 是四边形 的一个外角． 平
分 ， 平分 ，则 ．
【应用】如图③，在五边形 中，设 ， 是五边形 的一个外
角， 平分 ， 平分 ，则 （用含有 的代数式表示）
【答案】[感知]见解析
[探究]
[应用]
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角等知识．熟练掌握
与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角是解题的关键．
[感知]在 和 中，由三角形外角性质得： ， ，由
，可得 ，即 ，然后求解作答即可；
[探究]如图②，延长 交于点 ，同理感知， ，由题意知， ，
，然后计算求解即可；
[应用]如图③，延长 交于点 ，记 的交点为 ， 同理探究，
，由角平分线可得 ，设
，则 ，在四边形 中，
，可求 ①，在
中，由三角形内角和定理可求 ②，由 得， ，计算求解即可．
【详解】[感知]证明：∵ 平分 ，
∴设 ，则 ．
∵ 平分 的外角，
∴设 ．则 ．
在 和 中，由三角形外角性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ 的度数为 ．
[探究]解：如图②，延长 交于点 ，
同理感知， ，
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
[应用]解：如图③，延长 交于点 ，记 的交点为 ，
同理探究， ，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，即 ①，
在 中，由三角形内角和定理可得， ，
∵ ，
∴ ，即 ②，
得， ，
解得， ，
故答案为： ．
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
模型总结：
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， .
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A.
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD.证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD.,
9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中， ， 的平分线交于点O，
．
（1） 的度数为 ．
（2）若CD平分外角 ，交BO的延长线于点D，点E是 的两外角平分线的交点，则
的度数为 ．
【答案】 80° 10°
【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可．
（2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵BO平分 ，CO平分 ，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）知 .
∵点E是 的两外角平分线的交点，
∴ ， ，
∴
.
∵BO平分 ，CD平分外角 ，
∴ ， .
∵ ， ，∴
，
∴ .
10．（2026七年级下·全国·专题练习）在 中，已知 ．
(1)如图（1），角平分线 和 相交于点M，求 的度数．
(2)如图（2），外角平分线 和 相交于点N，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 ．也考查了三角形外角的
性质以及角平分线的定义．
（1）根据三角形内角和定理得到 ，则 ，
再根据角平分线的定义得 ，则 ，得
，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到 ．
【详解】（1）解： ，
，
∵ 平分 平分 ，
，
，
，
，
，
当 时， ；
（2）解： ，
∵ 平分 平分 ，
，，
∵ ，
，
∵ ，
，
即 ．
当 时， ．
11．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形 ， 、 分别平分四边形的外角 和
，若 ， ．
(1)如图 ，若 ，求 的度数；
(2)如图 ，若 与 相交于点 ， ，请直接写出 ， 所满足的数量关系式；
(3)如图 ，若 ，判断 ， 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体
代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．
（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；
（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解： 四边形 的内角和为 ，
，
和 是四边形 的外角，
， ，，
；
（2）解： ．
理由：如图1，连接BD，
由（1）有， ，
、 分别平分四边形的外角 和 ，
， ，
，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
，
，
．
故答案为 ；
（3）解： ．
理由：如图 ，过点 作 ，
则 ，
，
由（1）知 ，
，
，又 、 分别平分 和 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
．
12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点 ，已知 ，求 （用 表示）．
(3)如图③，延长线段 、 交于点 ，当 ___________时， 中存在一个内角等于另一个内角
的2倍（直接写出 的度数）．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用
三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出 即可解决问
题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出 与 ，再根据角平分线的性质可求得 ，
最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在 中，由于 ，求出 ， ，所以如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：① ；② ；③
；④ ；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解： ．
，
∵点P是 和 的平分线的交点，
；
（2）∵外角 ， 的角平分线交于点Q，
，
，
，
，
，
∵ ，
；
（3）延长 至F，
为 的外角 的角平分线，
是 的外角 的平分线，
，
平分 ，
，
，
，即 ，
又 ，
，即 ；
，
，
．
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
① ，则 ， ；
② ，则 ， ， ；
③ ，则 ，解得 ；
④ ，则 ，解得 ．
综上所述， 的度数是 或 或 ．
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
模型总结：
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图 2，F 为 的角平分线 AE 的延长线上的一点， 于 D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
13．如图， 是 的角平分线， 是线段 延长线上一点， 于点 ，当
时， 的度数为
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可．
【详解】解：设 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14．在 中， ， ， 是 的角平分线．（1）如图1，若 是 的高，则 的度数为 ．
（2）如图2，若 是 的角平分线，G是 延长线上一点，过点G作 于点H，则 的
度数为 ．
【答案】 /10度 /30度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出
是解本题的关键．
（1）首先根据三角形内角和定理得到 ，然后由角平分线概念得到
，然后由三角形外角的性质得到 ，进而求解即可；
（2）首先由角平分线的概念得到 ，然后由三角形外角的性质得到
，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴
∴ ；
（2）∵ 是 的角平分线
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ； ．
15．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在 中， ， 是角平分线， 是高， 、 相交于点F．求
证： ；
【变式思考】如图2，在 中， ， 是 边上的高，若 的外角 的平分线
交 的延长线于点F，其反向延长线与 边的延长线交于点E，则 与 还相等吗？说明理由；【探究延伸】如图3，在 中，在边 上存在一点D，使得 ， 的角平分线 交
于点F． 的外角 的平分线所在直线 与 的延长线交于点M．试判断 与 的
数量关系，并说明理由．
【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸： ，理由见
解析
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和是解题的关键．
习题回顾：先证明 ， ，再利用三角形的外角的性质可得：
， ，从而可得结论；
变式思考： 先证明 ， ，结合 ， 可得 ；
探究延伸： 先证明 ， ， 可得
， 结合 ， ， ， ，
可得 ， 从而可得答案．
【详解】习题回顾：证明：∵ ， 是高，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
变式思考： ，
证明：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ；
探究延伸： ，
证明：∵C、A、G三点共线， 、 为角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
16．已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作
于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；
(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
【答案】(1) (2) (3) (4) 的度数不会发生改变，理由见解析
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得 ，再结合角平分线的定义可知
，然后由“直角三角形两锐角互余”可得 ，
进而可得 ，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论；
（3）结合 ，易得 ，再证明 ，由“两直线平行，同位角相等”
可得 ，即可获得答案；（4）证明 ，由“两直线平行，内错角相等”可得 ，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ；
（2）由（1）可知， ，∴当 时，∴ ；
（3）∵ ，而 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
（4） 的度数大小不发生改变．理由如下：
∵ ， ，∴ ，∴ ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·新疆·期末）如图， 是 的角平分线， 是 的角平分线，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 ．
先根据角平分线的定义得到 ， ，再根据三角形内角和定理得
， ，根据等式的性质变形得 ，
然后把 代入计算即可．
【详解】解：∵ 分别平分 和 ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图， 的角平分线 与外角 的平分线交于点 ，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识
点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先根据角平分线的意义求得 ，再利用三角形内角和定理求得 ，然后三角形外角的性质求得
，根据角平分线的意义求得 ，再根据三角形外角的性质求得 ．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， 是外角，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题3．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知 中， 与 ， 相邻的外角的
角平分线交于点D，则 的度数为 ．
【答案】 /70度
【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关
系，结合角平分线表示出相关角的度数．
先根据三角形外角的性质，用 表示出 与 的外角和；再结合角平分线的定义，求出
所在三角形的内角和，进而得出 的度数．
【详解】解：在 中， ，
故
∴ ，
∵ 是外角平分线， ，
∴ ，
故 ．
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在 中， 的平分线与外角 的平分线的反向
延长线相交于点E．
（1）若 ，则 ．
（2）若外角 的平分线与 的平分线相交于点F，且 ，则 ．
【答案】 /35度 /45度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义．
（1）由角平分线的定义可得 ， ，由三角形外角的性质可得， ，等量代换可得答案；
（2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得 ，同（1）可得
， ，再根据 ，通过等量代换即可求解．
【详解】解： （1） 平分 ， 平分 ，
， ，
是 的外角， 是 的外角，
， ，
，
；
（2） 平分 ， 是 的外角，
，
由（1）得 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
三、解答题
5．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在 中， 平分 ， 为 延长线上一点，
于点 ．已知 ，求 和 的度数．【答案】 ，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，利用三角形内角和定理求
的度数即可；利用角平分线的定义得 的度数，利用外角的性质得 的度数．
【详解】解：由三角形内角和定理得： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ．
6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图， 中， 平分 交 于点 ， ，垂足
为点 ， ， 交于点 ，已知 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形
的内角和定理等知识点是解决本题的关键．
根据三角形内角和定理得出 ，再由角平分线得出 ，利用三角形外角的性质求解即
可．
【详解】解： ， ，
∵ ，
∴ 平分 交 于点 ，
∵
．，
∵ ，
∴ ．
∴
7．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在 中， ， 分别是 ， 的外角平分
线，
(1)若 ， ，那么 ___________．
(2)若 ，求 的度数 用含α的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义．
（1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出 ， ，再通过三
角形内角和定理求得结果；
（2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出 的表达
式．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， 分别是 ， 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ．
8．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在 中， 是角平分线， ， ．
(1)如图1，若 是 的高，求 的度数；
(2)如图2，若 是 上一点，且 ，垂足为 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由三角形内角和定理求得 ，由 是角平分线得到
，由三角形外角的性质得 ，由 是 的高得
，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解；
（2）由 得 ，根据三角形外角的性质得 ；
本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外
角和角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ，
，
是角平分线，
，
；
是 的高，
，
；
（2） ，
，
．
9．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）在 中， 和 的平分线相交于点 ．(1)若 ， ，则 _____ ；
(2)若 ，则 _____
(3)若 ，试猜想 _____，并证明你的猜想的正确性．
【答案】(1)120
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和等于
．
（1）根据角平分线的定义，即可得到 ， ，再根据三角形内角和定理进
行计算，即可得到 的度数；
（2）根据角平分线的定义，即可得到 ， ，再根据三角形内角和定理进
行计算，即可得到 的度数；
（3）根据角平分线的定义，即可得到 ， ，再根据三角形内角和定理进
行计算，即可得到 的表达式．
【详解】（1）解：∵ 的平分线交于点O，
∴ ，
∴
，
故答案为：120；
（2）解： ∵ 的平分线交于点O，
∴ ， ，
∴，
故答案为： ；
（3）解：∵ 的平分线交于点O，
∴ ， ，
∴
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如图， 是 的高线，E为 边上的一点，连接 交
于点F， ．
(1)求 的度数；
(2)若 平分 ，求 的度数．
(3)若 是 中 上的中线，且 ，求 与 周长的差．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段．
（1）由三角形外角的定义及性质可得 ，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出
，最后再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）由角平分线的定义可得 ，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（3）根据三角形中线的定义得到 ，结合 ，即可求解．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的高线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ 是 中 上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 与 周长的差为 ．
11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交 于
点 ， 平分 ，交 的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与 相
交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______°， _____°；
(2)求证： ；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3) 的度数为 或 或 或
【分析】（1）根据 ， ，可求出 ，再根据 平分 ， 平分 ，
，可求出 ， ，进而可求出 ；再根据 平分 ，可得出 ，
进而求出 ．
（2）设 ，根据三角形内角和定理对 进行表示，再根据 平分 ， 平分 ，，可求出 ， ，再根据三角形外角的性质求出 ，根据 ，求出 ，
将 与 相较即可证明．
（3）由（2）可知 ， ，则 的内角为 ， ， ，根据题意分类
讨论即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，即 ，
．
答： ， ．
（2）证明：设 ，则 ．
，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，，
，
，
，即 ，
，
．
（3）解：设 ，则 ， ．
,
可分类讨论：
①当 时，
，
解得 ，
；
②当 时，
，
解得 ，
③当 时，
，
解得 ，
;
④当 时，
，
解得 ，
综上可知 或 或 或 ．
答： 的度数为 或 或 或 ．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和
差运算与代数推导是解题关键．
12．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知 的三条角平分线相交于点O，点D在 边上，且有
．
(1)如图1，求证： ．
(2)如图2，延长 ，交 的外角 的平分线于点F．
①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②猜想 和 的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)① ，理由见解析；② ，证明见解析
【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：
三角形的内角和为 ，难度适中．
（1）先证明 ， ，进而得出 ，由三角形
外角的性质得 ，然后求出 即可；
（2）①只要证明 即可；
②由三角形外角的性质得 ，由角平分线的定义得 ，
，然后整理可得 ．
【详解】（1）证明：∵ 分别平分 ，
∴ ，
∴
．
在 中，
．
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①结论： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②∵ 是 的外角，
∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ．
13．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 中， 的角平分线与外角 的平分线交于 ．
(1)如图 ，若 ，则 ．
(2)如图 ，四边形 中， 的角平分线及外角 的角平分线相交于点 ，若
，求 的度数．(3)如图 ， 中， 的角平分线与外角 的角平分线交于 ，若 为 延长线上一动点，
连接 ， 与 的角平分线交于点 ，当 滑动时有下面两个结论：
的值为定值；
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)
(2)
(3)正确的结论是①，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义得到 ，再由三角形外角的性质得到
， ，由此即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义 ，根据三角形外角的性质得到
，利用四边形内角和定理得到 ，则 ，
由此即可求出 ；
（3）同理可得 ， ，利用三角形内角和定理得到
，再由三角形外角的性质得到 ，即可得到
，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 平分 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：正确的结论是①，理由如下：
同（1）可得 ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为定值，①正确，其值是 ．
14．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】
（1）如图1，在 中， 平分 ， 平分 ．若 ，则 ______；
如图2， 平分 ， 平分外角 ，则 与 的数量关系是______；
【继续探索】（2）如图3， 平分外角 ， 平分外角 ，求证： ；
【拓展应用】
（3）如图4，点P是 两内角平分线的交点，点N是 两外角平分线的交点，延长 交于
点M，在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求 的度数．
【答案】（1） ； ；（2）见解析；（3） 的度数为 或 或 或
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题
的关键．
（1）由角平分线可得 ，由三角形内角和可求
，根据 ，计算求解即可；
由角平分线与外角可得 ，整理即可；
（2）由角平分线可得 ，由
，可得 ，则根据 ，计算
求解即可；
（3）由题意知， ， ， ，分
四种情况：①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，分别
求解即可．
【详解】（1）解：如图1，∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图2，∵ 平分 ， 平分外角 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
整理得， ；
（2）证明：∵ 平分外角 ， 平分外角 ，
∴ ， ．∵ ，
∴
，
∴
．
∴ ．
（3）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
．
由（1）（2）知 ， ，
∵在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
∴①当 时， ，
∴ ．
②当 时， ，
解得 ．
③当 时， ，
解得 ．④当 时， ，
解得 ．
综上， 的度数为 或 或 或 ．
