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专题 07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型..........................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型...........................................................................7
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型........................................................................................14
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型................................................................................21
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
模型总结：
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： .
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A.
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D.
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠DCB）=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）
.
即：2∠P=∠A+∠D.
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条 件 ： 如 图 3 ， CP 、 DP 平 分 ∠ BCD 、 ∠ CDE ， 两 条 角 平 分 线 相 交 于 点 P ； 结 论 ：
.证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， .
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- （∠BCD+∠CDE）=180°- （540°-∠A-∠D-∠E）
=∠A+∠D+∠E-90°. 即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°.
1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在 中， ， 的平分线 ， 相交于点
F， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若
，则 的度数为 ．
3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究
【感知】如图1，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
【应用】
（1）若 ，则 ___________；若 ，则 ________；
（2）求 与 之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，求 与 的
数量关系．
4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）【问题】
如图①，在 中， ， 平分 ， 平分 ．求 的度数，对于上述问题，在
以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵ （三角形内角和180° ）．
∴ （等式性质）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
同理， ；
∴ （等式性质）．
∵ ，
∴ （等式性质）．
【拓展】如图②，在 中， ， 平分 ， 平分 ．
则 （ ）．
【应用】如图③，在 中， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ．
若 ，则 ．
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
模型总结：图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， .
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A.
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴ ， .
∴∠P
1
=∠P
1
CD-∠P
1
BC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= .同理：∠P
2
= ∠P
1
= ，∠P
n
=
5．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰 中 ， ，三角形的内外角的角
平分线交于点 ， 的度数为 ．
6．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在 中， ， 的平分线与 的外角（
）的平分线交于点 ； 的平分线与 的外角的平分线交于点 ，…，以此类推，则
（用含 的式子表示）7．（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题：
(1)如图1所示， 平分 ， 平分 ，若 ，则 ______度；
(2)如图2所示， 平分 ， 平分 ，求证 ；
(3)如图3所示， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 、
平分 ， ，如此操作下去，直到 平分 ． 平分 ，若 ，请直
接写出 的值．（用含 ， 的代数式表示，其中 为正整数）
8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，在 中， ， 的平分线与
的平分线相交于点P．求 的度数．
数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出 的度数．
证明：∵ 平分 ，
∴设 ，则 ．
∵ 平分 的外角，
∴设 ．则 ．
在 和 中，由三角形外角性质得：
请你补全余下的证明过程．
【探究】如图②，在四边形 中， ， 是四边形 的一个外角． 平
分 ， 平分 ，则 ．
【应用】如图③，在五边形 中，设 ， 是五边形 的一个外
角， 平分 ， 平分 ，则 （用含有 的代数式表示）题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
模型总结：
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， .
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A.
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD.
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD.,
9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中， ， 的平分线交于点O，
．
（1） 的度数为 ．
（2）若CD平分外角 ，交BO的延长线于点D，点E是 的两外角平分线的交点，则
的度数为 ．
10．（2026七年级下·全国·专题练习）在 中，已知 ．(1)如图（1），角平分线 和 相交于点M，求 的度数．
(2)如图（2），外角平分线 和 相交于点N，求 的度数．
11．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形 ， 、 分别平分四边形的外角 和
，若 ， ．
(1)如图 ，若 ，求 的度数；
(2)如图 ，若 与 相交于点 ， ，请直接写出 ， 所满足的数量关系式；
(3)如图 ，若 ，判断 ， 的位置关系，并说明理由．
12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点 ，已知 ，求 （用 表示）．
(3)如图③，延长线段 、 交于点 ，当 ___________时， 中存在一个内角等于另一个内角
的2倍（直接写出 的度数）．
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
模型总结：1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图 2，F 为 的角平分线 AE 的延长线上的一点， 于 D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
13．如图， 是 的角平分线， 是线段 延长线上一点， 于点 ，当
时， 的度数为
14．在 中， ， ， 是 的角平分线．（1）如图1，若 是 的高，则 的度数为 ．
（2）如图2，若 是 的角平分线，G是 延长线上一点，过点G作 于点H，则 的
度数为 ．
15．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在 中， ， 是角平分线， 是高， 、 相交于点F．求
证： ；
【变式思考】如图2，在 中， ， 是 边上的高，若 的外角 的平分线
交 的延长线于点F，其反向延长线与 边的延长线交于点E，则 与 还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在 中，在边 上存在一点D，使得 ， 的角平分线 交
于点F． 的外角 的平分线所在直线 与 的延长线交于点M．试判断 与 的
数量关系，并说明理由．
16．已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作
于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
一、单选题
1．（24-25八年级上·新疆·期末）如图， 是 的角平分线， 是 的角平分线，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图， 的角平分线 与外角 的平分线交于点 ，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知 中， 与 ， 相邻的外角的
角平分线交于点D，则 的度数为 ．
4．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在 中， 的平分线与外角 的平分线的反向
延长线相交于点E．（1）若 ，则 ．
（2）若外角 的平分线与 的平分线相交于点F，且 ，则 ．
三、解答题
5．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在 中， 平分 ， 为 延长线上一点，
于点 ．已知 ，求 和 的度数．
6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图， 中， 平分 交 于点 ， ，垂足
为点 ， ， 交于点 ，已知 ， ，求 的度数．
7．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在 中， ， 分别是 ， 的外角平分
线，
(1)若 ， ，那么 ___________．
(2)若 ，求 的度数 用含α的式子表示）．8．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在 中， 是角平分线， ， ．
(1)如图1，若 是 的高，求 的度数；
(2)如图2，若 是 上一点，且 ，垂足为 ，求 的度数．
9．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）在 中， 和 的平分线相交于点 ．
(1)若 ， ，则 _____ ；
(2)若 ，则 _____
(3)若 ，试猜想 _____，并证明你的猜想的正确性．
10．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如图， 是 的高线，E为 边上的一点，连接 交
于点F， ．
(1)求 的度数；
(2)若 平分 ，求 的度数．
(3)若 是 中 上的中线，且 ，求 与 周长的差．
11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中，点 在 上，过点 作 ，交 于
点 ， 平分 ，交 的平分线于点 ， 与 相交于点 ， 的平分线 与 相
交于点 ．(1)若 ， ，则 ______°， _____°；
(2)求证： ；
(3)若 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的 的度数．
12．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知 的三条角平分线相交于点O，点D在 边上，且有
．
(1)如图1，求证： ．
(2)如图2，延长 ，交 的外角 的平分线于点F．
①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②猜想 和 的数量关系，并给出证明．
13．（25-26八年级上·全国·期末）如图， 中， 的角平分线与外角 的平分线交于 ．
(1)如图 ，若 ，则 ．
(2)如图 ，四边形 中， 的角平分线及外角 的角平分线相交于点 ，若
，求 的度数．
(3)如图 ， 中， 的角平分线与外角 的角平分线交于 ，若 为 延长线上一动点，
连接 ， 与 的角平分线交于点 ，当 滑动时有下面两个结论：
的值为定值；
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
14．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】
（1）如图1，在 中， 平分 ， 平分 ．若 ，则 ______；
如图2， 平分 ， 平分外角 ，则 与 的数量关系是______；【继续探索】
（2）如图3， 平分外角 ， 平分外角 ，求证： ；
【拓展应用】
（3）如图4，点P是 两内角平分线的交点，点N是 两外角平分线的交点，延长 交于
点M，在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求 的度数．
